1

ROZCIĄGANIE PRĘTA PROSTEGO

NAPRĘśENIA DOPUSZCZALNE

1. Analiza pręta statycznie wyznaczalnego

Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występu-
ją tylko naprężenia normalne

σ

. Badania doświadczalne wykazują, że przy ściska-

niu większość materiałów podlega tym samym zależnościom, co przy rozciąganiu.
Zatem, rozpatrzymy przypadek pręta rozciąganego siłą N (rys. 1).

Rys. 1. Pr

ę

t rozci

ą

gany sił

ą

N

Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, że niezależnie od sposobu
przyłożenia obciążenia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprę-
ż

enia normalne są rozłożone równomiernie (

σ

= const). Stąd

N

dA

dA

A

A

A

=

=

=

∫

∫

σ

σ

σ

σ

=

N

A

(1)

Podczas rozciągania długość początkowa pręta l

o

zwiększa się, a wymiary po-

przeczne ulegają zmniejszeniu.
Bezwzględne wydłużenie pręta jest równe

∆

l

Nl

EA

E

l

=

=

0

0

σ

(2)

W celu obliczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych przekrojach

pręta należy wyznaczyć rozkład sił wzdłużnych N. Wartość siły wzdłużnej w do-
wolnym przekroju poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta
wszystkich sił zewnętrznych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju

N

P

i

i

n

=

=

∑

1

(3)

2

W przypadku, gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o różnych prze-
krojach, wydłużenie bezwzględne pręta oblicza się sumując algebraiczne zmiany
odległości poszczególnych jego odcinków

∆

l

N l

E A

i i

i

i

i

n

=

=

∑

1

(4)

2. Naprężenia dopuszczalne. Obliczenia wytrzymałościowe

Wzrost naprężeń i związanych z nimi odkształceń ciała powoduje zmiany w je-

go stanie fizycznym, które prowadzą w rezultacie do odkształceń trwałych, a na-
wet zniszczenia spójności materiału. Zmiany te określa się jako wytężenie mate-
riału Wzrost wytężenia mówi nam "o wyczerpywaniu wytrzymałości materiału".
Miarą wytężenia w przypadku osiowego działania siły w pręcie jest naprężenie
normalne

σ

w jego przekroju. Próba rozciągania lub ściskania pozwala na wyzna-

czenie naprężenia niebezpiecznego

σ

nieb

, za które w zależności od warunków

można uznać R

m

, R

e

lub wytrzymałość na zmęczenie. W poprawnie zaprojektowa-

nej konstrukcji wytężenie nie powinno nigdzie osiągnąć stanu niebezpiecznego.
W przypadku prętów rozciąganych (ściskanych) naprężenia

σ

powinny mieć war-

tość mniejszą niż naprężenia niebezpieczne. Tę dopuszczalną wartość naprężenia

nazywa się naprężeniem dopuszczalnym

σ

dop

(

σ

dop

<

σ

nieb

).

σ

σ

dop

nieb

n

=

(5)

gdzie

n > 1

-

współczynnik bezpieczeństwa

(pewno

ś

ci).

Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypad-
kowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę obliczeń. Można by się
spodziewać, że współczynnik ten będzie niewiele większy od 1. W praktyce jed-
nak współczynnik ten, odnoszący się do wytrzymałości

R

m

nierzadko osiąga war-

tość 6, a nawet 10. Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa jest jednym z
podstawowych zagadnień w nauce konstrukcji maszyn i wymaga dokładnej zna-
jomości całokształtu problemów konstrukcyjnych, technologicznych i eksploata-
cyjnych.

Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych prętów poddanych działaniu siły

osiowej jest równanie (1)

σ

=

N

A

i warunek

σ σ

≤

dop

3

Zależnie od tego, która z wielkości równania

σ

=

N

A

jest nieznana, rozróżnia się

trzy typy obliczeń wytrzymałościowych.


2.1. Obliczenie sprawdzające

Dane są: siła podłużna N, kształt oraz wymiary przekroju pręta, a tym samym
wielkość

A

i

σ

dop

lub

σ

nieb

. Wyznacza się wartość naprężeń normalnych

σ

i spraw-

dza, czy spełniony jest warunek

σ σ

≤

dop

lub oblicza wartość współczynnika bezpieczeństwa

n

nieb

=

σ

σ

2.2. Wyznaczenie obciążenia dopuszczalnego

Dane są: pole powierzchni przekroju pręta

A

i

σ

dop

. Wyznacza się dopuszczalną

wartość siły osiowej

N

A

dop

dop

=

σ

a stąd w zależności od związków między obciążeniem

P

a siłą podłużną

N

- war-

tość obciążenia dopuszczalnego

P

dop

.

2.3. Wyznaczenie wymiarów

Dane są: siła podłużna

N

i naprężenie dopuszczalne

σ

dop

.

Wyznacza się konieczną

wielkość przekroju.

A

N

dop

=

σ

Znając zaś

A

, oblicza się dla danego kształtu przekroju jego wymiary charaktery-

styczne.

4

Zadanie 1. Wykonać wykresy sił i naprężeń normalnych dla pręta przedstawione-
go na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie tego pręta oraz przemieszczenie
punktu B dla danych jak na rysunku.

1. Warunki równowagi.

Q

N

=

1

dla

l

x

≤

≤

0

Q

N

3

2

−

=

dla

l

x

l

2

≤

≤

2. Warunki geometryczne.

2

1

λ

λ

λ

+

=

3. Związki fizyczne.

∫

=

=

→

=

2

1

;

x

x

dx

dx

d

dx

d

ε

λ

ε

λ

λ

ε

E

σ

ε

=

∫

=

2

1

1

x

x

dx

E

σ

λ

σ

λ

=

→

⋅

⋅

=

F

N

F

E

l

N

∫

∫

=

=

l

l

l

dx

F

N

E

dx

F

N

E

2

2

2

0

1

1

1

;

1

λ

λ

5

F

Q

F

N

F

Q

F

N

2

3

2

;

2

2

1

1

−

=

=

=

=

σ

σ

l

F

Q

E

l

F

Q

E

dx

F

N

E

dx

F

N

E

l

l

l

2

3

1

;

1

2

1

;

1

2

1

2

2

2

0

1

1

⋅

−

=

⋅

=

=

=

∫

∫

λ

λ

λ

λ

EF

Ql

l

F

Q

E

l

F

Q

E

2

1

)

2

3

1

(

1

2

1

−

=

⋅

−

+

⋅

=

+

=

λ

λ

λ

Wykresy sił i naprężeń normalnych

Rys. Wykresy siły normalnej i napr

ęż

enia

6

Zadanie 2. Przeprowadzić analizę pryzmatycznego pręta pionowego obciążonego
siłami P

1

, P

2

i ciężarem własnym. Wyznaczyć wartości sił rozciągających, naprę-

ż

eń normalnych i wydłużeń poszczególnych części. Długość

l

1

,

l

2

, przekrój

A

, mo-

duł Younga

E

oraz ciężar właściwy

γ

są znane.

1.

Warunki równowagi.

Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w prze-
krojach określonych współrzędnymi

x

a

i

x

b

a

a

Ax

P

N

1

γ

+

=

dla

1

0

l

x

≤

≤

1

P

N

A

=

1

1

Al

P

N

B

γ

+

=

i

1

2

1

Al

P

P

N

B

γ

+

+

=

.............................................................................................................

N

P

P

Ax

b

b

= + +

1

2

γ

dla

2

1

0

l

l

x

+

≤

≤

1

2

1

Al

P

P

N

B

γ

+

+

=

(

)

2

1

2

1

l

l

A

P

P

N

C

+

+

+

=

γ

..............................................................................................................

(

)

R

P

P

A l

l

c

= +

+

+

1

2

1

2

γ

dla

2

1

0

l

l

x

+

≤

≤

7

2. Warunki geometryczne.

BC

AB

λ

λ

λ

+

=

3. Związki fizyczne.

Wydłużenia poszczególnych odcinków wynoszą

∫

=

=

→

=

2

1

;

x

x

dx

dx

d

dx

d

ε

λ

ε

λ

λ

ε

E

σ

ε

=

∫

=

2

1

1

x

x

dx

E

σ

λ

σ

λ

=

→

⋅

⋅

=

F

N

F

E

l

N

Wartości naprężeń normalnych w przedziałach

AB

i

BC

wynoszą

A

A

x

A

P

a

AB

1

γ

σ

+

=

i

b

BC

x

A

P

P

2

1

γ

σ

+

+

=

oraz w punktach

A, B

i

C

σ

A

P

A

=

1

σ

γ

B

P

A

l

=

+

1

1

i

σ

γ

B

P

P

A

l

=

+

+

1

2

1

(

)

σ

γ

C

P

P

A

l

l

=

+

+

+

1

2

1

2

∫

∫

+













+

+

=













+

=

2

1

1

0

2

1

0

1

1

;

1

l

l

b

b

BC

l

a

a

AB

dx

x

A

P

P

E

dx

x

A

P

E

γ

λ

γ

λ

γ

λ

E

l

EA

l

P

AB

2

2

1

1

1

+

=

(

) (

)

γ

λ

E

l

l

l

l

EA

P

P

BC

2

2

2

1

2

1

2

1

+

+

+

+

=

BC

AB

λ

λ

λ

+

=

8