1. Równowaga względna.
Występuje, gdy siła bezwzględna jest równoważona przez siłę unoszenia. Zakładamy, że punkt znajduje się w
równowadze względem układu ruchomego, który porusza się względem innego układu mającego cechy układu Galileusza.
Równanie ruchu punktu względem układu ruchomego
mp
W
= F - mp
U
- mp
C
w przypadku równowagi w=0 pw=0 pc=0 Równanie równowagi względnej
F - mp
U
= 0 F + F
U
= 0
2. Przyspieszenie Coriolisa.
P.C. jest to przyspieszenie wynikające z ruchu unoszenia
p
C
=2
w.
P.C. jest równe podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej i prędkości względnej, jest prostopadłe
do wektorów
i w
p
C
=2
wsin
gdzie
kąt między wektorami w i
. Zwrot tego przyspieszenia wynika z przyjętego przez nas zwrotu, określonego
przez prawoskrętny prostokątny układ współrzędnych.
P.C. jest równe 0 gdy:
(1) ruch unoszenia jest postępowy
=0,
(2) w pewnej chwili prędkość względna punktu jest równa 0 w=0,
(3) prędkość względna punktu jest równoległa do osi obrotu układu ruchomego sin
=0
=0 (ruch śrubowy).
P.C. występuje gdy układ unoszenia dokonuje obrotu. Występuje, gdy punkt znajduje się w początku ruchomego
układu wsp. Np. ruch obrotowy ziemi powoduje powstawanie przyspieszenia coriolisa.
3. Przyspieszenie unoszenia
P.U. jest to przyspieszenie złożone z przyspieszenia punktu ruchomego oraz przyspieszenia stycznego i normalnego
p
U
=p
A
+p
UT
+p
UN
p
A
=dV
A
/dt
p
UT
=
p
UN
=
(
)
p
U
= p
A
+
(
)
4. Równanie dynamiki ruchu względnego (Człowiek w jadącym tramwaju, itp. )
Dynamiczne równania ruchu p.m. w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod
warunkiem, że do siły
F
B
dodamy siłę unoszenia
F
U
= -mp
U
i Coriolisa
F
C
= -mp
C
.
F
W
=F+F
U
+F
C
F
U
= -mp
U
- siła bezwładności unoszenia
F
C
= -mp
C
- siła bezwładności Coriolisa
mp
w
= F -mp
U
-mp
C
równowaga względna układu: prędkość względna i przyspieszenie względne jest równe 0
w = 0 p
w
= 0
F – mp
u
= 0
5. Uderzenie punktu mat o przegrodę.
Punkt uderzenia o powierzchnię przegrody będącej w spoczynku z prędkością v1 której kierunek tworzy kąt α
(padania) z normalną powierzchni przegrody. Po uderzeniu punkt odbija się i porusza się z prędkością v2 tworząc kąt β
(odbicia) z normalną. W trakcie zderzenia wystąpi reakcja mająca charakter siły zderzeniowej
mV
2
cosβ + mV
1
cosα = J
RN
mV
2
sinβ – mV
1
sinα = 0 J
RT
=0
J – impuls reakcji normalnej.
J
RT
= hipoteza idealności więzów
Współczynnik restytucji – stosunek bezwzględnych wartości normalnych składowych prędkości po i przed
zderzeniem i jest niezależny od prędkości i wymiarów ciał zderzających się tylko od materiałów, z których są wykonane.
k = V
2n
/V
1n
k = v
2
cosβ/v
1
cosα
Przy uderzeniu idealnie sprężystym k = 1 przy plastycznym k = 0.
6. Współczynnik restytucji przy zderzeniu dwóch kul
W.R. jest to stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości względne mają różne znaki
gdyż kule przed zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu oddalają się od siebie
k=
v
12
–v
22
/v
11
–v
21
7. Prawo zmienności pędu w postaci całkowej.
Przyrost pędu układu w przeciągu pewnego czasu = sumie impulsów wektora głównego sił zew i wektora głównego
reakcji w przeciągu tego czasu.
B-B
0
=∫(t-t
0
) Sdt + ∫(t-t
0
) Rdt
Prawo zmienności pędu pozwala na wyciagnięcie ogólnych wniosków dotyczących ruchu układu:
dB=0 B= const
B
X
=C
X
B
Y
=C
Y
B
Z
=C
Z
– rów skalarowe pędu
8*. Ruch ciała sztywnego pod działaniem sił zderzeniowych
Uderzenie jest to suma impulsów sił zderzeniowych J oraz reakcji zderz R jeżeli ciało nie jest swobodne. Moment
główny impulsów sił zderzeniowych-L, a moment reakcji – H Ruch ten bada się za pomocą prawa zmienności pędu i krętu.
B
2
-B
1
=J+R,
K
2
-K
1
=L+H
2-po zderzeniu, 1-przed. Rzutując te równania na osie układu współrzędnych. Otrzymamy równania określające
przyrosty prędkości postępowej i kątowej ciała wywołanej impulsami sił zderzeniowych: m.(x’
2
-x’
1
)=J
x
+R
x
itd.
9. Środek uderzenia
Jest to punkt, w którym nie zaobserwuje się wstrząsu wywołanego uderzeniem ciała. Współrzędna tego punktu:
y
a
=k
x
2
/y
c
Uderzenie nie wywoła wstrząsu, jeżeli:
(1) kierunek jego jest prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu i środek masy,
(2) Oś obrotu jest osią główną punktu będącego rzutem punktu uderzenia na oś obrotu oraz
(3) punkt uderzenia leży w odległości danej od osi obrotu. Wykorzystuje się to przy projektowaniu narzędzi i
maszyn.
10. Rozpraszanie en. Kinetycznej przy zderzeniu.
Punkt uderza w przegrodę prostopadle do jej powierzchni
=0 k=v2/v1 v2=kv1. Różnica energii kinetycznej po i
przed zderzeniem wynosi
E2-E1= 0.5m(V
2
2
– V
1
2
) = 0.5 mV
1
2
cos
2
α (1+k)
Następuje więc ubytek energii kinetycznej tym większy im mniejszy jest współczynnik restytucji. W przypadku
zderzenia plastycznego cała energia kinetyczna zostaje stracona. W przypadku uderzenia idealnie sprężystego nie ma straty
energii. W przypadku częściowo sprężystego zderzenia część energii kinetycznej zostaje stracona, zamienia się w ciepło.
11,12. Energia kinetyczna ciała sztywnego względem dowolnego punktu i środka masy. (tw. Koniga).
E=0.5 (mV
2
C
+ I
lc
2
)
Energia kinetyczna jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego z prędkością środka masy i energii
ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy. Energia kinetyczna ciała składa się więc z dwóch części.
Pierwsza to energia ruchu postępowego ciała z prędkością środka masy. Jeżeli prędkość środka masy = 0, to ruch bryły jest
chwilowym ruchem obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy. Druga część wzoru przedstawia więc energię
kinetyczną w ruchu obrotowym.
13. Niewyrównoważenie statyczne i dynamiczne ciała sztywnego.
W maszynach zawierających elementy wirujące występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska, co
wywołuje drgania.
Dynamiczne – występują gdy środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz oś ta nie jest osią główną,
ponieważ przy wykonywaniu elementu nie zawsze da się to spełnić, więc każdy element jest poddawany sprawdzeniu.
Dodając lub odejmując masę można wpłynąć na położenie środka masy i rozkład momentów bezwładności –
wyrównoważenie.
14. Reakcje dynamiczne łożysk.
Jeżeli środek masy ciała leży na osi obrotu i jednocześnie oś ta jest osią główną ciała dla dowolnego jej punktu to
reakcje dynamiczne są równe 0. Reakcje dynamiczne występują, jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu
oraz jeżeli oś ta nie jest osią główną.
Do reakcji statycznych wynikających z obciążenia siłami dochodzą reakcje dynamiczne konieczne do utrzymania
ciała w określonym ruchu obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian pędu i krętu ciała. Gdy oś obrotu nie przechodzi przez
środek masy ciała występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska. Siła ta przenosząc się na elementy fundamentu
wywołuje drgania.
15. Zjawisko żyroskopowe.
Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły obrotowej obracającej się szybko wokół swej osi symetrii. Oś obrotu
oprócz prędkości kątowej
1
ma jeszcze prędkość kątową
2
wokół osi Z przechodzącej przez środek masy O. Ciało
wykonuje ruch kulisty i ruch ten jest precesją regularną. Dla wywołania ruchu przykładamy moment sił zewnętrznych M
o
.
Zakładamy, że
2
obrotu osi wirującej jest dużo mniejsza od
1
obrotu własnego a więc kręt nie zależy od
2
tylko od
1
i
leży na osi obrotu własnego.
Moment żyroskopowy:
M
A
= I
X
1
x
2
Żyroskop wykorzystywany jest jako wskaźnik położenia i zmian kierunku ruchu oraz do sterowania ruchem
obiektów ruchomych. W tym celu zostaje on zamocowany w przegubach umożliwiających swobodny ruch żyroskopu
względem obiektu ruchomego. Stosowany w samolotach (sztuczny horyzont) statki (stabilizacja)
16. Równanie ruchu punktu o zmiennej masie – równanie Mieszczerskiego.
v-prędkość punktu
u-prędkość dołączającej się cząstki
u – v = w
17. Równanie ruchu punktu materialnego o zmiennej masie w postaci II prawa Newtona
Gdy prędkość względna dołączającej się masy jest równa zero
w=0
Równanie ma formalnie postać identyczną z równaniem ruchu punktu o stałej masie, z tym że masa jest funkcją
czasu.
18. Kiedy równanie Mieszczerskiego ma postać II prawa Newtona
Gdy prędkość bezwzględna dołączającej się masy jest równa u=0. Otrzymujemy
d/dt(mv)=F.
19. Zdefiniować przyrost przygotowany, współrzędną uogólnioną i siłę uogólnioną.
Współrzędne uogólnione- niezależne wsp. których liczba jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia
układu (3n-k) Mogą to być wsp kątowe bądź liniowe. Liczba wsp uogólnionych jest najmniejszą potrzebną do określenia
położenia i ruchu. Min liczbę wsp potrzebną do określenia położenia układu nazywamy liczba stopni swobody S=3n-k.
Siła uogólniona - wielkość, która pomnożona przez przyrost przygotowany wsp uogólnionej daje wartość pracy
wykonanej przez układ sił działających na dany układ materialny na przesunięciach przygotowanych wywołanych
przyrostem wsp uogólnionej
20. Zasda d’Lamberta, sformuowanie i zastosowanie.
Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz wektorów (-
mipi) i przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0.
(F
i
+R
i
+W
i
-m
i
p
i
)
r
i
=0.
Do badania ruchu układu swobodnego pod działaniem sił zewnętrznych może być zastosowana zasada:
Układ sił zewnętrznych działających na punkty układu materialnego swobodnego równoważy się w każdej chwili z
układem sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0
Dla układu nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił zewnętrznych
działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem równoważnym 0. S+SB+R=0
MO+MBO+HO=0
21. Określenie przemieszczenia przygotowanego i pracy przygotowanej.
Przesunięciem przygotowanym nazywamy takie dowolnie pomyślane przez obserwatora przesunięcie będące
jednym z przesunięć możliwych niezwiązane ani z działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na punkt materialny działa siła
F
i
to po nadaniu punktom przesunięcia przygotowanego
r
i
zostanie wykonana praca elementarna
L
i
=F
i
r
i
Pracę elementarną siły na przesunięciu przygotowanym nazywamy pracą przygotowaną. W położeniu równowagi
układu suma prac przygotowanych wszystkich sił zew i reakcji = 0. Zasada ta przedstawia warunek konieczny i
dostateczny równowagi układu mechanicznego. Zastosowanie – dla dowolnych układów materialnych
22. Zderzenia proste, centralne
Przy zderzeniu dwóch ciał powierzchnie tych ciał zetkną się w jednym punkcie. Punkt A 1 ciała zetknął się z
punktem D 2 ciała. Powierzchnie tych ciał w punkcie zetknięcia mają wspólną normalną (linia zderzenia). Prędkość
względna punktu A w stosunku do punktu D jest równa i przeciwna prędkości względnej punktu D w stosunku do punktu
A. Jeżeli te prędkości względne są położone na linii zderzenia to zderzenie nazywamy prostym w przeciwnym razie
ukośnym. Przy zderzeniu prostym siły chwilowe działają na linii zderzenia. Jeżeli linia zderzenia przechodzi przez środek
masy ciała to zderzenie nazywamy centralnym w odróżnieniu od zderzenia mimośrodowego w przypadku przeciwnym.
23. Zderzenie dwóch kul
Zakładamy, że dwie kule o masach m
1
i m
2
poruszają się ruchem postępowym z prędkościami v
11
i v
12
przed
zderzeniem tak, że torem środka masy każdej z nich jest prosta, na której znajdują się ich środki O
1
i O
2
. Aby zderzenie
było możliwe v
11
-v
12
>0. Rzut wektora pędu na oś x wobec braku sił zewnętrznych jest stały. Po uderzeniu kule zaczną
poruszać się z prędkościami v
12
i v
22
skierowanymi także wzdłuż osi x.
Stałość pędu oznacza, że pęd układu po i przed zderzeniem jest taki sam
m
1
v
12
+m
2
v
22
= m
1
v
11
+m
2
v
21
Stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem jest równy współczynnikowi restytucji
k=
v
12
-
v
22
/
v
11
-
v
21
Przy zderzeniu plastycznym k=0 przy idealnie sprężystym k=1.
24. Co to jest ruch kulisty bryły. Precesja regularna.
Ruch kulisty ciała sztywnego występuje, gdy jeden z punktów układy związanego z ciałem jest nieruchomy. Ruch
ten jest ruchem o trzech stopniach swobody. K’=M. (można zrzutować na osie x,y,z w układzie nieruchomym). W układzie
ruchomym K’^+
xK
0
=M
0
Precesja regularna jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała, w którym prędkości kątowe obrotu własnego
i precesji są stałe
’=
1
=const
’=
2
=const a prędkość kątowa nutacji jest równa 0, więc kąt nutacji jest stały
’=0
=
0=const Ruch ten cechuje się tym, że ciało obraca się wokół osi własnej
z prędkością kątową
1
a oś ta obraca się
wokół osi stałej z z prędkością kątową
2. Kąt między osiami jest stały. Stałe prędkości oznaczają, że kąty
i
zmieniają
się w sposób jednostajny. Ruch opisany jest równaniami ruchu
=
1
t
=
2
t
=
0
przy założeniu, że w chwili początkowej t=0 kąty
i
są równe 0
=
1
+
2
25. Równanie ruchu rakiety
Ruch rakiety w czasie działania silnika rakietowego jest ruchem ciała o zmiennej masie, podczas którego następuje
wypływ gazów spalinowych z dyszy silnika z prędkością względną uzyskiwaną w wyniku spalania paliwa. Zakładamy, że
prędkość względna gazów jest styczna do trajektorii oraz prędkość względna gazów jest stała w=u-v=-w
-wektor
jednostkowy styczny do trajektorii.
26. Równania ruchu ciała sztywnego.
K
A
’+v
A
xmv
C
=M
A
mv
C
=B
B’=S
K
A
’+v
A
xB=M.
A
Występujące w powyższych wzorach pochodne są pochodnymi bezwzględnymi, odniesionymi do nieruchomego
układu odniesienia.
K
A
’+
xK
A
+v
A
xB=M
A
R.r.c.s. otrzymamy jako szczególny przypadek równań ruchu układu materialnego. Możemy je otrzymać za pomocą zasady
pędu i krętu. Pochodna pędu względem czasu równa jest wektorowi głównemu sił zewnętrznych i reakcji a pochodna krętu
względem nieruchomego punktu momentowi głównemu sił zewnętrznych i reakcji. B’=S K’o=Mo B’x=Sx ...K’x=Mx...
27. Równanie Lagrangea II rodzaju
Są to równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Rozwiązanie tych równań stanowi najkrótszy sposób badania
ruchu. Liczba równań różniczkowych jest przy tej metodzie najmniejsza i równa liczbie stopni swobody układu. W
równaniach tych występuje s niewiadomych przedstawiających s współrzędnych uogólnionych określających ruch układu.
Równania te nie zawierają reakcji toteż nie pozwalają one na wyznaczenie wartości tych reakcji
28.Równania Lagrange’a potencjalne
W przypadku gdy siły zewnętrzne działające na układ mają potencjał siłę uogólnioną można obliczyć jako
pochodną potencjału względem odpowiedniej współrzędnej
wtedy równania Lagrange’a
Potencjał kinetyczny L=E-V jest to różnica energii kinetycznej i potencjału sił. Ponieważ potencjał nie zależy od
prędkości uogólnionej d/dt(
L/
q’j)-
L/
qj=0 Potencjał kinetyczny przedstawia nadmiar energii kinetycznej nad
potencjalną.
29. Dynamika toczącego się koła.
Ruch taki wykonują koła pojazdu, jeżeli pudło pojazdu wykonuje ruch postępowy po linii prostej. Przy takim ruchu
koło toczy się po jezdni obracając się jednocześnie. Koło obciążone jest siłami przekazanymi przez oś, na której zostało
osadzone oraz reakcjami prostej (jezdni) i własną siłą ciężkości. Przyjmujemy, że siły obciążające koło przekazane przez oś
z uwzględnieniem własnego ciężaru sprowadzają się do dwóch składowych pionowej P i poziomej F oraz pary sił o
momencie M. Siły te przyłożone są w punkcie C. Zakładamy, że punkt ten pokrywa się ze środkiem masy koła. Ze strony
toru (jezdni) działa na koło reakcja normalna N i siła tarcia T. Reakcja normalna ze względu na opór toczny przesunięta
jest o f w kierunku ruchu a siła tarcia skierowana w dodatnią stronę osi x gdyż przeciwstawia się poślizgowi koła po szynie
przy wskazanym kierunku działania momentu M.
Jeżeli koło toczy się bez poślizgu to między prędkością środka masy C a prędkością kątową istnieje związek
r
-vc=0 czyli
=vc/r Równania ruchu są następujące
mv’c=F+T
0=N-P
I
’=M-Nf-Tr
mV
C
’=F+T=F+(M.-Qfr-k
2
F)/r
2
+k
2
k-ramię bezwładności
30. Równania ruchu pojazdów.
Równanie ruchu środka masy (całego pojazdu)
F
X
=(GV
C
’-
T
i
-W+F-Gsin
)g=0
Rów ruchu koła: -M.
Bi
-M.
Oi
+T
i
r
i
-N
i
f
i
=0
M
Bi
=J
i
=(Gk
2
V
C
’)/gr
i
z tych wzorów obliczamy
T
i
=(N
i
f
i
+M.
Oi
)/r
i
+(Q
i
V
i
’k
2
)/gr
i
podstawiając to równanie do pierwszego otrzymamy rów ruchu.
31. Dynamiczne równania Eulera dla bryły sztywnej.
A
’
+(C-B)
’
+(A-C)
’
+(B-A)
=M.
A,B,C- rzuty krętów na główne osie
bezwładności
32. Prawo zmienności energii u.p.m. w potencjalnym polu sił.
Przyrost energii kinetycznej układu = jest spadkowi potencjału. Suma energii kinetycznej i potencjalnej jest równa
energii całkowitej, czyli
E
p2
+E
v2
=E
p1
+E
v1
E
C2
=E
C1
Energia całkowita układu w polu potęcjalnym. Ma wartość stałą. Układy te nazywamy zachowawczymi.
33 inne jakieś pyatnie. Ogólne równanie mechaniki. Zasada d’Alamberta dla układu nieswobodnego
Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz wektorów (-mipi) i
przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0.
(Fi+Wi-mipi)
ri=0. Do badania ruchu układu
swobodnego pod działaniem sił zewnętrznych może być zastosowana zasada: Układ sił zewnętrznych działających na
punkty układu materialnego swobodnego równo-waży się w każdej chwili z układem sił bezwładności S+SB=0
MO+MBO=0 Dla układu nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił
zewnętrznych działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem równoważnym 0.
S+SB+R=0 MO+MBO+HO=0
34*. Ruch obrotowy ciała sztywnego.
Ruch obrotowy ciała sztywnego dokoła osi stałej jest ruchem o jednym stopniu swobody. Ruch ciała określa się
jednym równaniem ruchu podającym zależność kąta obrotu od czasu. Najkorzystniej jest jako równanie to przyjąć jedno z
równań krętu
lub
Il
=Ml
Il-moment bezwładności względem osi obrotu Ml-moment sił zewnętrznych i reakcji względem osi obrotu
35 inne jakieś. Udowodnić że dla ciała idealnie sprężyst impuls jest dwukrotnie większy niż dla ciała idealnie plast.
J = mv
1
(k+1)cos
kspręż=1, kplast=0
36. Znane zasady mechaniki analitycznej.
Zasady różniczkowe i całkowe. Obszar tej mechaniki nie jest precyzyjnie określony. Oprócz omówienia zasad
mechaniki do mech analitycznej zalicza się równania ruchu zapisana za pomocą rów więzów, przesunięć i prac
przygotowanych. Należy więc zaliczyć do tej mechaniki równania Lagrangea i Hmiltona.
37. Równanie przyrostów prędkości postępowej
Impulsowi zderzenia odpowiadającemu niesk małemu przedziałowi czasu
odpowiada skończony przyrost
prędkości p. m. Wynikający ze wzoru m.(v-v
0
)=J Stąd wartość prędkości po zderzeniu v=v
0
+J/m.
38. Pojęcie więzów układu mechanicznego, ich klasyfikacja.
Układ, którego punkty nie mogą zajmować dowolnych położeń i mieć dowolnych prędkości niezależnie od
działających sił nazywamy nieswobodnym.
Na położenie i prędkości wszystkich lub niektórych punktów układu nałożone są warunki ograniczające ich
swobodę zwane więzami.
Więzy określone równaniami nazywają się więzami dwustronnymi, nierównościami jedno-stronnymi. Jeżeli
równanie więzów zawiera tylko współrzędne punktów to nazywamy je więzami geometrycznymi.
Równania więzów mogą być także zależne od prędkości punktów (więzy kinematyczne). Oba rodzaje więzów mogą
być ponadto zależne od czasu (więzy niestacjonarne).
Więzy niezależne od czasu- więzy stacjonarne. Więzy całkowalne są to więzy kinematyczne, które można
przedstawić jako pochodną innej funkcji, która jest funkcją współrzędnych i czasu. Wtedy równaie więzów kinematycznych
może być zastąpione równoważnym równaniem więzów geometrycznych.
Wiezy idealne- są to więzy dwustronne, przy których suma prac przygotowanych i reakcji wywołanych tymi
więzami n1a dowolnym przesunięciu przygotowanym jest równa 0.
*--39. Zdefiniować i podać przykłady więzów niholonomicznych.
Są to więzy kinematyczne nie całkowalne.
40. Wyznaczenie siły uogólnionej odpowiadającej danej współrzędnej uogólnionej w równaniach Lagrnge’a,
przykład.
Siłę uogólnioną można obliczyć jako pochodną potencjału względem odpowiedniej współrzędnej w przypadku gdy
potencjał jest przedstawiony jako funkcja współrzędnych uogólnionych
Q
i
=-deltv/deltq
i
.
Niezależne współrzędne, których liczba jest najmniejszą potrzebną do określenia położenia układu nazywamy
współrzędnymi uogólnionymi. Mogą być dowolnymi współrzędnymi liniowymi lub kątowymi. Siłą uogólnioną nazywamy
taką wielkość, która pomnożona przez przyrost przygotowany
qj współrzędnej uogólnionej daje wartość pracy wykonanej
przez układ sił działających na dany układ materialny na przesunięciach przygotowanych wywołanych przyrostem
współrzędnej uogólnionej.
Qj=
Lj/
qj.