dr Krzysztof Kisiel

Ci ˛

agi liczbowe

Definicja 1. Funkcje okre´slon ˛

a na zbiorze liczb naturalnych

N

nazywamy ci ˛

a-

giem niesko´nczonym i oznaczamy:

(a

n

)

Ci ˛

agi monotoniczne

Definicja 2. Ci ˛

ag

(a

n

)

nazywamy

?

rosn ˛

acym, je˙zeli

∀

n∈N

a

n+1

≥ a

n

?

malej ˛

acym, je˙zeli

∀

n∈N

a

n+1

≤ a

n

?

´sci´sle rosn ˛

acym, je˙zeli

∀

n∈N

a

n+1

> a

n

?

´sci´sle malej ˛

acym, je˙zeli

∀

n∈N

a

n+1

< a

n

Ci ˛

agi ograniczone

Definicja 3. Ci ˛

ag

(a

n

)

nazywamy

?

ograniczonym z dołu, je˙zeli

∃

m∈R

∀

n∈N

a

n

≥ m

?

ograniczonym z góry, je˙zeli

∃

M ∈R

∀

n∈N

a

n

≤ M

?

ograniczonym, je˙zeli jest jednocze´snie ograniczony z dołu i z góry, tzn.:

∃

m∈R

∃

M ∈R

∀

n∈N

m ≤ a

n

≤ M,

lub

∃

M ∈R

∀

n∈N

| a

n

|≤ M,

Granica ci ˛

agu

Definicja 4. Liczb˛e

g

nazywamy granic ˛

a ci ˛

agu

(a

n

)

, je˙zeli dla ka˙zdej liczby

 > 0

, istnieje taka liczba

n

0

∈ N

, ˙ze nierówno´s´c:

| a

n

− g |< ,

jest spełniona dla ka˙zdej liczby naturalnej

n > n

0

.

∗

Definicj˛e t˛e mo˙zemy wyrazi´c krócej:

∀

>0

∃

n

0

∈N

∀

n>n

0

| a

n

− g |< 

∗

Fakt, ˙ze liczba

g

jest granic ˛

a ci ˛

agu

(a

n

)

zapisujemy nast˛epuj ˛

aco:

lim

n→∞

a

n

= g

lub

a

n

→ g, przy n → ∞

Uwaga 5. Ci ˛

ag, który ma granic˛e, nazywamy zbie˙znym. W przypadku przeciw-

nym ci ˛

ag jest rozbie˙zny.

Twierdzenia ogólne o granicach ci ˛

agu

Twierdzenie 6. (o jednoznaczno´sci granicy ci ˛

agu)

Ka˙zdy ci ˛

ag zbie˙zny ma dokładnie jedn ˛

a granic˛e.

Twierdzenie 7. Warunkiem koniecznym zbie˙zno´sci ci ˛

agu jest jego ograniczo-

no´s´c (Je˙zeli ci ˛

ag jest zbie˙zny to jest ograniczony)

Twierdzenie 8. Ci ˛

ag rosn ˛

acy (malej ˛

acy) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbie˙z-

ny.

Definicja 9. (podci ˛

ag)

Niech

(a

n

)

b˛edzie dowolnym ci ˛

agiem oraz niech

(k

n

)

b˛edzie rosn ˛

acym ci ˛

agiem

liczb naturalnych. Podci ˛

agiem ci ˛

agu

(a

n

)

nazywamy ci ˛

ag

(b

n

)

okre´slony wzo-

rem

b

n

= a

k

n

.

(o granicy podci ˛

agu)

Twierdzenie 10. Je˙zeli ci ˛

ag

(a

n

)

jest zbie˙zny do granicy

g

, to ka˙zdy jego pod-

ci ˛

ag

(a

n

k

)

jest równie˙z zbie˙zny do

g

.

Twierdzenie 11. Je˙zeli ka˙zdy podci ˛

ag ci ˛

agu

(a

n

)

jest zbie˙zny do tej samej gra-

nicy

g

, to ci ˛

ag

(a

n

)

jest zbie˙zny do

g

.

Arytmetyka granic ci ˛

agu

Twierdzenie 12. Je˙zeli ci ˛

agi

(a

n

)

,

(b

n

)

maj ˛

a granice wła´sciwe i liczba

c ∈ R

,

to

1.

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

,

2.

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

,

3.

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = ( lim

n→∞

a

n

) · ( lim

n→∞

b

n

),

4.

lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

,

o ile

lim

n→∞

b

n

6= 0,

5.

lim

n→∞

(c · a

n

) = c · lim

n→∞

a

n

,

Twierdzenie o trzech ci ˛

agach

Twierdzenie 13. Je˙zeli ci ˛

agi

(a

n

)

,

(b

n

)

,

(c

n

)

spełniaj ˛

a dwa nast˛epuj ˛

ace warun-

ki:

1.

a

n

≤ c

n

≤ b

n

dla n > n

0

,

2.

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

= g,

to

lim

n→∞

c

n

= g,

Twierdzenie o ci ˛

agach szczególnych

Twierdzenie 14.

∀

a∈R

+

lim

n→∞

n

√

a = 1.

Twierdzenie 15.

lim

n→∞

n

√

n = 1.

Twierdzenie 16. (o ci ˛

agu geometrycznym)

∀

|a|<1

lim

n→∞

a

n

= 0.

∀

a>1

lim

n→∞

a

n

= ∞.

∀

a≤1

lim

n→∞

a

n

nie istnieje.

Twierdzenie 17.

∀

n∈N

a

n

> 0 ∧ lim

n→∞

a

n

= g > 0

!

⇒ lim

n→∞

n

√

a

n

= 1

Twierdzenie 18. Ci ˛

ag

1 +

1

n

!

n

jest rosn ˛

acy i ograniczony z góry, a zatem

jest zbie˙zny.

Twierdzenie 19.

lim

n→∞

1 +

1

n

!

n

= e ≈ 2, 718

Twierdzenie 20. Je˙zeli ci ˛

ag

(a

n

)

jest rozbie˙zny do

∞

lub

−∞

, to

lim

n→∞

1 +

1

a

n

!

a

n

= e

Ci ˛

agi rozbie˙zne do

+∞

,

−∞

Definicja 21.

lim

n→∞

a

n

= ∞ ⇔ ∀

M ∈R

∃

n

0

∈N

∀

n>n

0

a

n

> M.

Definicja 22.

lim

n→∞

a

n

= −∞ ⇔ ∀

m∈R

∃

n

0

∈N

∀

n>n

0

a

n

< m.

Twierdzenie 23. (o granicach niewła´sciwych ci ˛

agu)

⊗

a + ∞ = ∞ dla − ∞ < a ≤ ∞

⊗

a · ∞ = ∞ dla 0 < a ≤ ∞

⊗

a

∞

= 0 dla − ∞ < a < ∞

⊗

a

0

+

= ∞ dla 0 < a ≤ ∞

⊗

a

∞

= 0 dla 0

+

≤ a ≤ 1

⊗

a

∞

= ∞ dla 1 < a ≤ ∞

⊗

∞

b

= 0 dla − ∞ ≤ b < 0

⊗

∞

b

= ∞ dla 0 < b ≤ ∞

Symbole nieoznaczone

∗

∞ − ∞

∗

0 · ∞

∗

0

0

∗

∞
∞

∗

1

∞

∗

∞

0

∗

0

0

Definicja 24. Ci ˛

ag postaci:

1

n

α

, α ∈ R,

nazywamy ci ˛

agiem harmonicznym rz˛edu

α

.

Granica ci ˛

agu w

C

Definicja 25. Liczb˛e

g ∈ C

nazywamy granic ˛

a ci ˛

agu

(z

n

) ∈ C

, je˙zeli dla

ka˙zdej liczby

 > 0

, istnieje taka liczba

n

0

∈ N

, ˙ze nierówno´s´c:

| z

n

− g |< ,

jest spełniona dla ka˙zdej liczby naturalnej

n > n

0

.

∗

Definicj˛e t˛e mo˙zemy wyrazi´c krócej:

∀

>0

∃

n

0

∈N

∀

n>n

0

| z

n

− g |< 

∗

Fakt, ˙ze liczba

g

jest granic ˛

a ci ˛

agu

(z

n

)

zapisujemy nast˛epuj ˛

aco:

lim

n→∞

z

n

= g

lub

z

n

→ g, przy n → ∞

Uwaga 26. Je˙zeli

g = x

0

+ iy

0

,

z

n

= x

n

+ iy

n

, to:

| z

n

− g |=

p

(x

n

− x

0

)

2

+ (y

n

− y

0

)

2

.

Twierdzenie 27. Niech

g = x

0

+ iy

0

,

z

n

= x

n

+ iy

n

, wówczas:

lim

n→∞

z

n

= g ⇔

lim

n→∞

x

n

= x

0

∧ lim

n→∞

x

n

= x

0

!

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe

Ci ˛

agi liczbowe