1

SZEREG LICZBOWY

1. Zapisać szereg w postaci skróconej.

(a)

1
2

3

4

5
6

7
8



(b)

1
1

1
3

1
5

1
7



(c)





4

1

3

1

2

1

1

1

sin

sin

sin

sin

2. Określić

n

ty wyraz szeregu. Czy szereg jest zbieżny? Określić sumę szeregu.

(a)

1

7

4

)

3(

n

n

(b)

1

1

1

2

4

3

n

n

n

(c)

1

6

2

7

3

2

2

n

n

n

n

(d)

1

6

1

1

2

)

(

9

5

n

n-

n

3. Obliczyć wartość liczbową ułamka okresowego.

(a)

)

7

(

,

0

(b)

)

66

(

,

0

(c)

)

303

(

,

6

4. Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność szeregu.

(a)

1

2

1

2

n

n

n

(e)

1

!

2

n

n

n

n

n

(i)

2

3

4
9

6

27

8

81



(b)

1

)!

1

2

(

2

n

n

n

(f)

!

1

)

(

4

n

n

n

n

(j) 1

3

2 3

3

2 5

3

2 7

3

2 9

2

2

3

3

4

4



(c)

1

3

)!

1

(

n

n

n

(g)

1

)!

2

(

)

!

(

3

2

n

n

n

n

(k)

1

3

5

2 3

9

3 3

13

4 3

2

3

4



(d)

1

3

5

3

n

n

n

n

(h)

1

)

10000

(

)!

(

n

n

n

(l)

21

3

41

9

61

27

81
81



5. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregu.

(a)

1

9

25

n

n

n

(b)

1

5

3

1

n

n

n

(c)

1

82

87

2

n

n

n

n

(d)

1

9

3

2

1

2

2

n

n

n

n

6. Wykazać, korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu, że szereg jest rozbieżny.

(a)

1

4

1

)

-

(1

n

n

n

(b)

1

2

3

5

4

2

2

n

n

n

n

n

(c)

1

3

2

2

n

n

n

(d)

1

)

cos(

n

n

(e)

1

2

4

3

5

2

ln

n

n

n

n

Odpowiedzi.

1(a)

1

2

1

2

n

n

n

, nie

(b)

1

2

1

1

n

n

, tak

(c)

sin

1

1

n

n

, tak

2(a)

n

n

a

)

(

3

7

4

,

4

S

, zbieżny

(b)

n

n

a

)

(

12

4

9

, S

, rozbieżny

(c)

n

n

)

(

a

2

1

2

,

n

n

b

)

(

7

3

2

,

2

1

S

,

14

2

S

,

12

2

1

S

S

S

, zbieżny

(d)

n

54

5

20

1

)

(

n

a

,

196

1

S

zbieżny

3(a)

9

7

(b)

3

2

(c)

333

2101

4. szeregi zbieżne:

(a)

2

1

q

(b)

0

q

(e)

e

q

2

(g)

4

3

q

(i)

2

3

1

n

n

n

,

3

1

q

(k)

0

3

)

1

(

1

4

1

n

n

n

n

,

3

1

q

(l)

20

1

3

1

n

n

n

,

3

1

q

szeregi rozbieżne: (c), h) q

(d)

3

5

q

(f)

e

q

4

(j)

0

)

1

2

(

2

3

n

n

n

n

,

2

3

q

5(a) zbieżny,

9

1

q

(b) zbieżny,

3

1

q

(c) zbieżny,

87

82

q

(d) rozbieżny,

3

4

q