1. Liczby a cyfry

Nieraz słyszymy, że ludzie używają słowa „cyfra” tam, gdzie powinno się mówić „liczba”, np. „te wielkie cyfry mówią same za siebie”.

• Liczba jest pojęciem abstrakcyjnym określającym pewną ilość lub wielkość. Liczb jest nieskończenie wiele.

• Cyfry są znakami graficznymi służącymi do zapisywania liczb. Cyfr – w powszechnie stosowanym systemie dziesiątkowym – jest tylko dziesięć: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Liczby mogą być np. trzycyfrowe (324).

• Pewne cyfry mogą pojawić się kilkakrotnie w zapisie liczby, np. cyfra 5 występuje dwukrotnie w zapisie liczby 525.

• Zmiana kolejności cyfr zmienia liczbę, np. 209 jest różne od 902.

• Istnieją liczby jednocyfrowe, w których ciężko rozdzielić pojęcia „liczba” i „cyfra”. Gdy na tablicy jest 5, można powiedzieć „liczba 5” jak i „cyfra 5”, zależnie od kontekstu.

1. System liczbowy

Już w trzecim tysiącleciu p.n.e. używano w Egipcie hieroglifów do oznaczania liczebności. Innych cyfr używano w Babilonii, jeszcze innych w starożytnej Grecji i Rzymie. Umiejętność nazywania liczb znacznie wyprzedziła umiejętność ich zapisywania, z czasem jednak wprowadzono znaki, za pomocą których zapisywano liczby. Powstawały też zasady tworzenia nowych liczb i tak powstały systemy liczbowe. Systemem liczbowym nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach.

1. Systemy pozycyjne

• cyfry są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę

• wyróżnia się m.in. system pozycyjny:

1. jedynkowy: w systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie znaku 1 lub pionowej kreski, np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje

2. dwójkowy: z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów jest najbardziej naturalnym systemem w informatyce. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0, 1, np. 1101₍₂₎= 13₍₁₀₎

1101₍₂₎= 1 • 2³ + 1 • 2² + 0 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13₍₁₀₎

1. dziesiętny, zwany arabskim: podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10; do zapisu liczb potrzebne jest w nim 10 cyfr. Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne. W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego.

 Na przykład liczbę 12345 można przedstawić następująco:

1 • 10⁴ + 2 • 10³ + 3 • 10² + 4 • 10 + 5

1. sześćdziesiątkowy system liczbowy: stosowany w Mezopotamii, w którym podstawowymi wielokrotnościami są 10 i 60. Jest on najstarszym znanym systemem. W życiu codziennym spotykamy ślady babilońskiego systemu w podziale godziny na 60 minut, a minuty na 60 sekund, oraz przy podawaniu miar kątowych, a zwłaszcza szerokości i długości geograficznej.

Zaletą systemów pozycyjnych jest ich klarowność, łatwość dokonywania nawet złożonych operacji arytmetycznych oraz możliwość zapisu dowolnie dużej liczby, jednak do zapisu bardzo dużych liczb (nawet okrągłych) jest potrzebna duża liczba cyfr.

1. Systemy addytywne

•  liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa

1. systemem addytywnym dziesiątkowym był system egipski. Opierał się na liczbie 10. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify.

Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do mierzenia, zapisywano zaś go jako pionową kreskę. Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10 przypominał podkowę. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu. Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. Znak dla miliona przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego".

100	1000	10000	100000	1000000

Liczby zapisywano w Egipcie tak jak u nas, od lewej do prawej, umieszczając obok siebie jednostki danego rzędu, aż do jego wyczerpania. Dodawanie liczebników hieroglifowych jest dość proste. Zliczamy poszczególne symbole, gdy zliczymy pełną dziesiątkę jednakowych symboli, to zastępujemy ją hieroglifem wyższego liczebnika.

1. Innym przykładem addytywnego systemu jest dobrze znany i wciąż stosowany rzymski system zapisywania liczb. Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki. W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie:

I = 1,   V = 5,   X = 10,    L = 50,   C = 100,   D = 500,    M = 1000.

Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. Rzymski system ma jedną wadę, jest niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych. Rzymianie jednak potrafili dość sprawnie wykonywać działania dodawania i odejmowania posługując się przy tym abakusem - pierwszą w świecie "maszyną do liczenia".

1. Runiczne cyfry w systemie piątkowym używane były w średniowieczu w Skandynawii do zapisu dat

Ćwiczenia

1. Podaj wszystkie znane Ci cyfry

2. Ustaw obok siebie:

• 2 cyfry

• 3 cyfry

• 4 cyfry

1. Ułóż kolejno znane Ci cyfry od 1 do 9, od prawej do lewej w grupach po 3 cyfry w każdej. Następnie powtórz tę samą czynność układając tak samo, tylko że od lewej do prawej. Czy otrzymałeś te same liczby?

Zapamiętaj:
Kolejność ustawiania cyfr w liczbach ma znaczenie. Każda grupa 3 cyfr obok siebie – licząc trójkami od lewej do prawej – ma swoją nazwę. Każda cyfra w danej liczbie odpowiada za tzw.: rząd.
W liczbie 987 654 321 z Zadania 3: cyfry 321 tworzą grupę jedności, w której: 1 – cyfra jedności 2 – cyfra dziesiątek 3 – cyfra setek cyfry 654 tworzą grupę tysięcy, w której: 4 – cyfra jedności tysięcy 5 – cyfra dziesiątek tysięcy 6 – cyfra setek tysięcy cyfry 987 tworzą grupę milionów, w której: 7 – cyfra jedności milionów 8 – cyfra dziesiątek milionów 9 – cyfra setek milionów

1. Dawno temu ludzie uwięzieni licząc dni spędzone w celi, nie mając dostępu do kalendarza, każdy nowy dzień zaznaczali kreskami. Jeden dzień to jedna kreska. Grupę 9 kresek przekreślali 10 kreską, tak aby łatwiej było obliczyć ich łączną ilość. Zaznacz w ten sposób 48 dni.

2. Zapisz podane liczby w systemie rzymskim: 550, 110, 1005, 57

3. Zamień liczbę z systemu dwójkowego na system dziesiętny: 11001₍₂₎

4. Zapisz datę 1579 w postaci runicznych cyfr.