Systemy liczbowe

Spis treści

4. System siódemkowy
5. System ósemkowy
6. System dziesiętny
7. System dwunastkowy
8. System szesnastkowy
9. System sześćdziesiątkowy
10. Zastosowanie systemów liczbowych w

informatyce

System jedynkowy

Najbardziej prymitywnym systemem

liczbowym jest jedynkowy system
liczbowy, w którym występuje tylko
jeden znak (np. 1, albo (częściej)
pionowa kreska). W systemie tym
kolejne liczby są tworzone przez
proste powtarzanie tego znaku. Np. 3
w tym systemie jest równe 111, a
pięć 11111.

System dwójkowy

System binarny, bin – pozycyjny system

liczbowy, w którym podstawą jest liczba

2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko

dwie cyfry: 0 i 1. Powszechnie używany

w elektronice cyfrowej, gdzie

minimalizacja liczby stanów (do dwóch)

pozwala na prostą implementację

sprzętową odpowiadającą zazwyczaj

stanom wyłączony i włączony oraz

zminimalizowanie przekłamań danych.

System trójkowy

Trójkowy system liczbowy – pozycyjny

system liczbowy, w którym podstawą jest

liczba 3. Do zapisu liczb są potrzebne 3

cyfry: 0, 1 i 2. Cyfry trójkowe często

nazywa się tritami na podobieństwo

bitów w systemie binarnym. Liczby w

systemie trójkowym są pomocne w

definiowaniu zbioru Cantora. Zbiór ten

tworzą liczby z przedziału od 0 do 2,

których trójkowa reprezentacja nie

zawiera cyfry 1.

System siódemkowy

Siódemkowy system liczbowy to pozycyjny system

liczbowy o podstawie 7. System siódemkowy jest

czasem nazywany septymalnym (łac. septem -

siedem). Do zapisu liczb używa się w nim siedmiu

cyfr, od 0 do 6. Współcześnie nie stosuje się

systemu siódemkowego w praktyce. Nie ma również

dowodów naukowych na stosowanie systemu

siódemkowego w przeszłości, można jedynie

odnotować, że od drugiej połowy pierwszego

tysiąclecia p.n.e. do dziś funkcjonuje podział

tygodnia na siedem dni, a w starożytnym Egipcie

istniał wynikający z proporcji anatomicznych podział

łokcia królewskiego na siedem dłoni.

System ósemkowy

Pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. System

ósemkowy jest czasem nazywany oktalnym od

słowa octal. Do zapisu liczb używa się w nim

ośmiu cyfr, od 0 do 7. System ósemkowy jest

stosowany w informatyce. Przykładowo, w

systemie Linux polecenie "chmod" ustawiające

prawa dostępu do pliku może przyjąć jako

argument oktalną reprezentację żądanych praw

dostępu (np: "chmod u=rwx g=rx o=r plik"

odpowiada zapisowi "chmod 754 plik"). W

językach programowania C/C++/Java/Perl/PHP

liczby oktalne poprzedza się pojedynczym zerem

(np. 0212).

System dwunastkowy

Pozycyjny system liczbowy, w którym

podstawą pozycji są kolejne potęgi
liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne
jest dwanaście cyfr. Poza cyframi
dziesiętnymi od 0 do 9 używa się
pierwszych dwóch liter alfabetu
łacińskiego: A i B.

System szesnastkowy

• System heksadecymalny, hex – pozycyjny system

liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Skrót

hex pochodzi od angielskiej nazwy hexadecimal[1].

Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest

szesnaście znaków (cyfr szesnastkowych).

• W najpowszechniejszym standardzie poza cyframi

dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych

sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F

(wielkich lub małych). Cyfry 0-9 mają te same

wartości co w systemie dziesiętnym, natomiast

litery odpowiadają następującym wartościom: A =

10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15.

System sześćdziesiątkowy

• Pozycyjny system liczbowy o podstawie 60. Był używany w Babilonie, i

to już 1750 p.n.e., stąd dotarł do Europy. Babilończycy zapożyczyli

system od Sumerów. Arabscy astronomowie używali w atlasach i

tabelach zapisu przejętego od Ptolemeusza, który był oparty na

ułamkach o podstawie sześćdziesiąt. Również europejscy matematycy

używali początkowo tej konwencji przy operacjach na ułamkach (np.

Fibonacci).

• Obecnie układ sześćdziesiątkowy jest używany w związku z

jednostkami czasu. Godzina dzieli się na 60 minut, minuta na 60

sekund. Również powszechnie spotyka się układ sześćdziesiątkowy

przy podawaniu miar kątowych, a zwłaszcza szerokości i długości

geograficznej. Historycznie stosowano zarówno dla jednostek czasu

jak i kątów tercję – 1/60 część sekundy. Zaletą układu

sześćdziesiątkowego jest podzielność liczby 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10,

12, 15, 20, 30 oraz 60. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych.

Dla przykładu, jeśli chcemy ułożyć rozkład jazdy autobusów, gdzie

pojazd kursuje 3 razy w ciągu godziny otrzymamy praktyczne i

wygodne liczby np.: 700, 720, 740, 800 itd. W układzie dziesiątkowym

mielibyśmy zamiast tego 7,0; 7,333333333... itd.

Zastosowanie systemów

liczbowych w informatyce

• Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów,

najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy

system liczbowy.

• W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę

odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś.

Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został

wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania

wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie

w korzystaniu z komputerów.

• Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często

najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych

przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system

liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb

takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. System

szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML),

gdzie stosowany jest do zapisu kolorów.

Document Outline