SYSTEMY LICZBOWE
SYSTEMY LICZBOWE
SYSTEM DWÓJKOWY
•Systemem liczbowym stosowanym w technice
cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system
liczbowy o podstawie 2.
•Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości
istnienia dwóch stanów, które można interpretować
jako dwie różne cyfry.
•W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz
dwóch cyfr: 0 i 1.
• Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne
potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek
(2
0
), pozycję dwójek (2
1
), czwórek (2
2
), ósemek (2
3
),
itd.
Wartości dziesiętne wybranych liczb
zapisanych w systemie dwójkowym:
Zapis w
systemie
dwójkowym
Wartość w
systemie
dziesiętnym
Wartość w
systemie
dziesiętnym
Zapis w systemie
dwójkowym
1 2
0
= 1
0,1
2
-1
=0,5
10 2
1
= 2
0,01
2
-2
=0,25
100 2
2
= 4
0,001
2
-3
=0,125
1000 2
3
= 8
0,0001
2
-4
=0,0625
10000 2
4
= 16
0,00001
2
-5
=0,03125
100000 2
5
= 32
0,000001
2
-6
=0,015625
1000000 2
6
= 64
0,0000001
2
-7
=0,0078125
10000000 2
7
= 128
0,00000001
2
-8
=0,00390625
100000000 2
8
= 256
0,000000001
2
-9
=0,001953125
1000000000 2
9
= 512
0,0000000001
2
-10
=0,0009765625
1000000000
0
2
10
= 1024
0,0000000000
1
2
-11
=0,00048828125
W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do
zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system
dwójkowy:
Zamiana liczby z systemu
dziesiętnego na binarny.
gdzie:
• k oznacza pozycję cyfry w liczbie
(liczoną od prawej do lewej),
•b
k
to cyfra z k-tej pozycji należąca
do zbioru cyfr sytemu binarnego,
b
k
є {0, 1}
Wzór ogólny liczby naturalnej
zapisanej w systemie binarnym
Zamiana ułamka dziesiętnego
na binarny:
SYSTEMY:
ÓSEMKOWY
I
SZESNASTKOWY
SYSTEM ÓSEMKOWY
Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie
ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:
0 1 2 3 4 5 6 7
Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 2
3
.
Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest
trzykrotnie.
SYSTEM ÓSEMKOWY
SYSTEM ÓSEMKOWY
W tym systemie mamy szesnaście cyfr:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Symbolom literowym odpowiadają
wartości dziesiętne:
A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15
SYSTEM SZESNASTKOWY
Podstawą systemu szesnastkowego jest 16,
czyli 2
4
,
co pozwala skrócić zapis binarny
czterokrotnie.
SYSTEM SZESNASTKOWY
Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny)
Dec – system dziesiątkowy (decymalny)
Oct – system ósemkowy (oktalny)
Bin – system dwójkowy (binarny)
Wzór na wartość n-cyfrowej liczby
całkowitej zapisanej w dowolnym
systemie liczbowym:
gdzie:
• k oznacza pozycję cyfry
w liczbie (liczoną od prawej
do lewej),
• c
k
to cyfra z k-tej pozycji
należąca do zbioru cyfr
sytemu,
c
k
є {0, 1, …, r – 1}
Działania arytmetyczne w
różnych systemach liczbowych
Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w
różnych systemach liczbowych są takie same jak
w znanym Ci systemie dziesiętnym.
Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka
mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn
znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb.
Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym
systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę
mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.
Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie
dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
System
System
Dalej
Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami
działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
System czwórkowy
+
0
1
0
0
1
1
1
10
DODAWANIE
×
0
1
0
0
0
1
0
1
MNOŻENIE
Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami
działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
System dwójkowy
+
0
1
0
0
1
1
1
2
DODAWANIE
2
2
3
3
3
10
2
3
3
10
10
11
11
12
×
0
1
0
0
0
1
0
1
MNOŻENIE
2
0
2
3
0
3
2
3
0
0
2
3
10
12
12
21
2
3
Znasz już
sposób postępowania przy zamianie
liczby z układu dziesiętnego np. na układ
ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez
8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności.
Na następnym slajdzie podany jest inny
sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego
na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania
działań arytmetycznych w różnych systemach.
11000101001010111010010110111000011010110111
Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę
835
(10)
w systemie ósemkowym
• Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym:
8
(10)
=10
(8)
Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr –
wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku:
83
(10)
=8
(10)
·10
(10)
+3
(10)
=10
(8)
·12
(8)
+3
(8)
=120
(8)
+3
(8)
=123
(8)
Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z trzech
kolejnych cyfr: 835
(10)
=?
(8)
835
(10)
=83
(10)
·10
(10)
+ 5
(10)
=123
(8)
·12
(8)
+ 5
(8)
=1476
(8)
+ 5
(8)
=1503
(8)
W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.