Kolokwium 1 z Matematyki II - 16.IV.2007 r.

Zestaw A

Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania punktowane są jednakowo. Kolejność rozwiązań dowolna.
Wszystkie czynności oraz odpowiedzi należy dokładnie uzasadniać.
Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie oddzielając rozwiązania zadań (np. grubą poziomą kreską
na całą szerokość strony). Każdą kartkę należy podpisać imieniem oraz nazwiskiem; pierwszą dodatkowo
numerem indeksu. Kartki należy ponumerować.

1. Dany jest układ równań:







3x

1

+ 2x

2

− x

3

+ 3x

4

=

1

−x

1

− 3x

2

+ 2x

3

− 2x

4

=

−3

x

1

− 4x

2

+ 3x

3

− x

4

=

−5

Wyznacz wszystkie rozwiązania bazowe ~

x, takie że x

3

jest zmienną bazową oraz (~

x|~

x) > 4.

2. Dana jest przestrzeń liniowa:

U = L













1
2
3

−1







,







−2

1

−3

2







,







2
2

−1

1







,







−4

0

−13

7













Wyznacz wymiar oraz bazę przestrzeni U . Sprawdź, czy wektor ~

y = [3, −2, 10, −6]

T

należy do przestrzeni

U ; jeśli tak, to wyznacz jego współrzędne w podanej wcześniej bazie.

3. Dane są macierze

D =



5

3

3

2



oraz

E

−1

=



1

4

0

1



Wyznacz macierz X spełniającą równanie

(DXE

−1

+ E)

T

= D

4. W zależności od parametru p wyznacz ilość rozwiązań układu równań. Dla wybranej wartości parametru p

proszę podać rozwiązanie układu równań (lub jedno z rozwiązań, jeśli jest ich więcej).







3x

1

+x

2

−2x

3

=

−2

px

1

+2x

2

+x

3

=

1

(3 − p)x

1

−x

2

+(p + 2)x

3

=

−3

5. Dana jest macierz

A =







3

−2

2

−1

2

−1

0

−4

−1

3

−2

1

3

2

1

0







Oblicz wyznacznik macierzy −3AA

T

A

−1

.

W razie jakichkolwiek wątpliwości proszę pytać.
Powodzenia!