Tylko jeden zestaw - pozostale sa prawie identyczne.
Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania punktowane są jednakowo. Kolejność rozwiązań dowolna.
Wszystkie czynności oraz odpowiedzi należy dokładnie uzasadniać.
Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie zaznaczając początek i koniec zadania.
1. Rozwiąż równanie niewiadomej x ∈ R:
1
πn4 + 2n − ln(n)
1 + 2i
lim
− cos
· n
p23n + 5n−2 + 3n−3 + 2n + 2n2 + 3 ln(n2) = Re n→+∞
8
−3n4 + 2n3 − 2
x − i
2. Dany jest szereg:
+∞
X
un
.
n2 + 25n − 20 + 70 ln(n) n=13
Zbadaj jego zbieżność dla u = −1, 1 , 3.
5
3. Wyznacz wartości parametrów a i b, tak by poniższa funkcja była ciągła w całej dziedzinie:
x · sin a
dla
x < 0
x
f (x) =
2a + 1
dla
x = 0
ln(1+bx)
dla
x > 0
3x
4. Rozwiąż nierówność: 4
sin(2x) 6 2x − x3
3
5. Zbadaj przebieg zmienności funkcji g, czyli: wyznacz asymptoty; podaj, gdzie funkcja jest rosnąca, a gdzie malejąca; gdzie jest wypukła, gdzie wklęsła; wyznacz ekstrema oraz punkty przegięcia; narysuj wykres.
Dodatkowo podaj, czy funkcja przyjmuje najmniejszą / największą wartość.
(
√
x4
− 1
dla
x 6= 3 2
g(x) =
2−x3
√
1
dla
x = 3 2
I zadania z innych zestawów: 6. Wyznacz wartości parametrów γ i δ, tak by poniższa funkcja była ciągła w całej dziedzinie:
x · sin γ
dla
x > 0
x
f (x) =
δ2 − 5δ + 4
dla
x = 0
√
4
1+γx−1
dla
x < 0
2x
7. Rozwiąż nierówność: 9
27
cos(3x) 6 1 − x2 +
x4
2
8
8. Zbadaj przebieg zmienności funkcji g, czyli: wyznacz asymptoty; podaj, gdzie funkcja jest rosnąca, a gdzie malejąca; gdzie jest wypukła, gdzie wklęsła; wyznacz ekstrema oraz punkty przegięcia; narysuj wykres.
Dodatkowo podaj, czy funkcja przyjmuje najmniejszą / największą wartość.
(
2x3
dla
x 6= −1
g(x) =
(x+1)2
0
dla
x = −1