Tylko jeden zestaw - pozostale sa prawie identyczne.

Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania punktowane są jednakowo. Kolejność rozwiązań dowolna.

Wszystkie czynności oraz odpowiedzi należy dokładnie uzasadniać.
Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie zaznaczając początek i koniec zadania.

1. Rozwiąż równanie niewiadomej x ∈ R:

lim

n→+∞



−

1

8

cos

 πn

4

+ 2n − ln(n)

−3n

4

+ 2n

3

− 2



·

n

p

2

3n

+ 5

n−2

+ 3

n−3

+ 2

n

+ 2n

2

+ 3 ln(n

2

)



= Re

 1 + 2i

x − i



2. Dany jest szereg:

+∞

X

n=13

u

n

n

2

+ 25n − 20 + 70 ln(n)

.

Zbadaj jego zbieżność dla u = −1,

1
5

, 3.

3. Wyznacz wartości parametrów a i b, tak by poniższa funkcja była ciągła w całej dziedzinie:

f (x) =







x · sin

a
x

dla

x < 0

2a + 1

dla

x = 0

ln(1+bx)

3x

dla

x > 0

4. Rozwiąż nierówność:

sin(2x) 6 2x −

4

3

x

3

5. Zbadaj przebieg zmienności funkcji g, czyli: wyznacz asymptoty; podaj, gdzie funkcja jest rosnąca, a gdzie

malejąca; gdzie jest wypukła, gdzie wklęsła; wyznacz ekstrema oraz punkty przegięcia; narysuj wykres.
Dodatkowo podaj, czy funkcja przyjmuje najmniejszą / największą wartość.

g(x) =

(

x

4

2−x

3

− 1

dla

x 6=

3

√

2

1

dla

x =

3

√

2

I zadania z innych zestawów:

6. Wyznacz wartości parametrów γ i δ, tak by poniższa funkcja była ciągła w całej dziedzinie:

f (x) =







x · sin

γ
x

dla

x > 0

δ

2

− 5δ + 4

dla

x = 0

4

√

1+γx−1

2x

dla

x < 0

7. Rozwiąż nierówność:

cos(3x) 6 1 −

9

2

x

2

+

27

8

x

4

8. Zbadaj przebieg zmienności funkcji g, czyli: wyznacz asymptoty; podaj, gdzie funkcja jest rosnąca, a gdzie

malejąca; gdzie jest wypukła, gdzie wklęsła; wyznacz ekstrema oraz punkty przegięcia; narysuj wykres.
Dodatkowo podaj, czy funkcja przyjmuje najmniejszą / największą wartość.

g(x) =

(

2x

3

(x+1)

2

dla

x 6= −1

0

dla

x = −1