Grupa 1 
1.  Harmoniczna fala elektromagnetyczna o λ = 550 nm rozchodzi się w próżni w dodatnim 

kierunku osi x a jej pole elektryczne jest skierowane wzdłuż osi z. Jaka jest częstotliwość 
tej fali? Proszę podać wartości ω i k dla tej fali. Jeśli amplituda pola elektrycznego fali 
wynosi 600 V/m, jaka jest amplituda pola magnetycznego? Zapisz wyrażenie na E(x,t) i 
B(x,t) jeśli wiemy, że oba pola równe są zero dla t = 0 i x = 0. W każdym przypadku 
proszę podać odpowiednie jednostki. 

Rozwiązanie: 
Obliczamy częstotliwość korzystając ze wzoru ν = c/λ dostajemy ν = 3×10

8

 m/s / 550×10

-9

 m 

= 5,45×10

14

 Hz. Obliczamy częstotliwość kołową ω = 2πν = 3,43×10

15

 rad/s oraz wartość 

wektora falowego k = 2π/ λ = 11,42×10

6 

m

-1

. Wartość amplitudy pola magnetycznego 

obliczmy znając amplitudę pola elektrycznego B

0

 = E

0

/c czyli B

0

 = 600 V/m/ 3×10

8

 m/s = 

2×10

-6

 T. Ogólne wyrażenie na falę harmoniczną ma postać  

       

 

   (           ) 

musimy jeszcze określić znak (+ czy −) i ustalić fazę φ. Fala rozchodzi się w dodatnim 
kierunku osi x, czyli miejsce o stałej fazie przemieszcza się w tym kierunku: dla późniejszej 
chwili czasu położenie x musi mieć większą wartość – zatem znak musi być ujemny. Jeśli dla 
t = 0 i x = 0 pole ma wartość zerową, to faza musi być ±π/2, albo możemy zapisać, że fala ma 
postać sin(ωt – kx). Zatem fala ma postać: 

E = (600 V/m) sin[(3,43×10

15

 rad/s)t – (11,42×10

6 

m

-1

)x] 

B = (2×10

-6

 T) sin[(3,43×10

15

 rad/s)t – (11,42×10

6 

m

-1

)x]. 

2.  Średnia wartość wektora Poyntinga (gęstości strumienia energii) światła słonecznego na 

wysokości powyżej atmosfery Ziemi wynosi ok. 1,4 kW/m

2

. Jaka siła będzie działała na 

ścianę stacji kosmicznej o wymiarach 40 m×50 m orbitującej wokół Ziemi. Ściana jest 
płaska, całkowicie pochłania światło i jest ustawiona prostopadle do oświetlających ją 
promieni słonecznych.  

Rozwiązanie: 
Korzystamy ze wzoru na ciśnienie promieniowania dla sytuacji całkowitego pochłaniania 
światła p = I/c (dla przypadku niecałkowitego pochłonięcia pojawia się współczynnik 
mniejszy od jedności, dla odbicia – czynnik dwa). Zatem całkowitą siłę obliczamy jako 
iloczyn ciśnienia i powierzchni: F = Ap = AI/c. Przy danych I = 1,4 kW/m

2

, A = 2 000 m

2

 

dostajemy F = 9,33×10

-3

 N. 

3.  Ryba patrzy prawie prosto w górę poprzez gładką powierzchnię stawu. Widzi krąg 

wypełniony obrazem nieba, ptaków, drzew na skraju stawu i wszystkiego innego, co tam 
się znajduje. Ten jasny krąg otoczony jest ciemnym polem. Proszę wyjaśnić to zjawisko i 
wyliczyć kąt rozwarcia stożka widzenia, jeśli współczynnik załamania wody n

w

=1,33. 

Ciemne pole wynika z tego, że promienie wchodzące z całej półprzestrzeni po stronie 
powietrza załamują się na granicy woda-powietrze i mają tylko określony zakres kątów. Jeśli 
maksymalny kąt padania wynosi 90°, to maksymalny kąt załamania θ

max

 obliczamy z prawa 

Snella: sin 90° = n

w

 sin θ

max

; a zatem θ

max

 = arcsin 1/n

w

; θ

max

 = 48,7°i kąt rozwarcia stożka 

widzenia wynosi 2θ

max

 = 97,4°. 

4.  Wiązka światła pada pod kątem α = 30° na środek pręta szklanego o 

przekroju półkolistym wykonany ze szkła o współczynniku załamania 
n = 1.5. Proszę obliczyć kąt odchylenia tej wiązki światła po przejściu 
przez pręt względem kierunku początkowego. Jakie będzie odchylenie 
wiązki, jeśli pręt umieszczony zostanie w wodzie? 

Rozwiązanie: 
Wiązka załamuje się na pierwszej powierzchni zgodnie z prawem załamania, ponieważ 
kształt pręta szklanego jest półkolisty, to wiązka propagująca w szkle pada na drugą 
powierzchnię prostopadle do niej (promień jest zawsze prostopadły do okręgu!) i nie doznaje 

załamania. W zadaniu trzeba było obliczyć odchylenie wiązki światła względem kierunku 
początkowego czyli różnicę między kierunkiem początkowym a kierunkiem wiązki 
załamanej.  
a) dla powietrza sin 30° = n sin θ; θ = 19,47° odchylenie wiązki  30°-19,47° = 10,52°  
b) dla wody:  n

w

 sin 30° = n sin θ; θ = 26,32° odchylenie wiązki  30°-26,32° = 3,68° 

 
5.  Wiązka światła przechodzi z powietrza przez płytę szkła o współczynniku załamania  n

2

 = 

1,5 do materiału o współczynniku załamania n

3

. Wiązka pada na granicę powietrze-szkło 

pod kątem Brewstera, ale kąt padania promienia załamanego w szkle na granicę szkło-
nieznany materiał jest także kątem Brewstera dla tego przypadku. Proszę obliczyć 
wartość n

3

. 

Rozwiązanie: 
Kąt Brewstera dla granicy powietrze-szkło θ

B

 jest określony przez związek tg θ

B

 = n

2

, zatem  

θ

B

 = 56,31°, przy przejściu przez płaską płytkę szkła kąt załamania w szkle = kąt padania na 

następna powierzchnię = 90°–56,31= 33,69°, jeśli to jest kąt Brewstera, to tg 33,69° = n

3

/ n

2

; 

n

3

 = 1,5 tg 33,69° = 1. Wniosek: jeśli promień przechodzi przez granicę ośrodków pod kątem 

Brewstera, to przejście w odwrotną stronę też jest pod kątem Brewstera. 
 
 

 

a

1

b

2

b

1

a

2

j

Grupa 2 
1.  Proszę zapisać wyrażenie opisujące falę harmoniczną o amplitudzie 10

3

 V/m, okresie 

2,2×10

-15

 s i prędkości 3×10

8

 m/s. Fala rozchodzi się wzdłuż osi x w kierunku ujemnych 

wartości i ma wartość pola elektrycznego 10

3

 V/m dla t = 0 i x = 0. Jaka jest długość 

fali? 

Rozwiązanie: 
Ogólne wyrażenie na falę harmoniczną ma postać  

       

 

   (           )    

 

    (

   

 

 

   

 

   ) 

musimy jeszcze określić znak (+ czy −) i ustalić fazę φ. Fala rozchodzi się w ujemnym 
kierunku osi x, czyli miejsce o stałej fazie przemieszcza się w tym kierunku: dla późniejszej 
chwili czasu położenie x musi mieć mniejszą wartość – zatem znak musi być dodatni. Jeśli dla 
t = 0 i x = 0 pole ma wartość zerową, to faza musi być 0, albo możemy zapisać, że fala ma 
postać cos(ωt + kx). Obliczamy długość fali korzystając ze wzoru λ = cT  i dostajemy λ = cT  
= 3×10

8

 m/s·2,2×10

-15

 s = 660×10

-9

 m . Możemy obliczyć częstotliwość kołową ω = 2πν = 

2π/T oraz wartość wektora falowego k = 2π/ λ lub zapisać wzór w drugiej z proponowanych 
postaci. Zatem fala ma postać: 

E = (10

3

 V/m) cos [2πt /(2,2×10

-15

 s) + 2πx/(660×10

-9 

m)] 

2.  Wiązka lasera o średnicy 3,0 mm jest skierowana pionowo w górę i pada na dolną 

ściankę cylindrycznej płytki o średnicy 2,6 mm i wysokości 0,5 mm zbudowanej z 
całkowicie odbijającego materiału o gęstości 1,2 g/cm

3

. Chcemy, aby cylinder lewitował 

pod wpływem skierowanej do góry siły promieniowania równoważącej siłę ciężkości. 
Jaka musi być moc w wiązce lasera? 

Rozwiązanie: 
Oznaczamy: średnica wiązki D, średnica cylindra d, wysokość cylindra h, gęstość materiału 
cylindra ρ, natężenie w wiązce lasera I, całkowita moc w wiązce P. 
Zaczynamy od obliczenia siły ciężkości: πd

2

hρg/4; uwaga na jednostki – wymiary cylindra są 

podane w mm, a gęstość w g/cm

3

, należy wszystko zamienić na jednakowe jednostki! Siła od 

promieniowania 2I πd

2

/4c = 2P πd

2

/4πcD

2

; (czynnik dwa pojawił się, bo powierzchnia 

całkowicie odbijająca) 
Zapisujemy warunek równowagi: πd

2

hρg/4 = 2P πd

2

/4πcD

2

;  

P = πcD

2

hρg/2 =3,14 (3×10

8 

m/s) (3×10

-3 

m)

2

 (0,510

-3 

m) (1,2×10

3 

 kg/m

3

) (10 m/s

2

)/2 = 

25 447 W 
3.  Mamy do dyspozycji szklany pryzmat o kącie przy 

wierzchołku równym 60° i o współczynniku załamania n = 
1,60. Oblicz wartość najmniejszego kąta padania, dla 
którego promień padający na jedną ściankę pryzmatu 
wyjdzie przez drugą (nie ulegnie całkowitemu 
wewnętrznemu odbiciu)? 

Rozwiązanie: 
Rozważamy graniczny przypadek, gdy wiązka załamana na drugiej powierzchni wyjdzie z 
pryzmatu pod kątem załamania β

2

 = 90°. Obliczmy śledząc promień propagujący w 

przeciwnym kierunku (od tyłu). Na drugiej powierzchni: sin 90° = n sin α

2

; wewnątrz 

pryzmatu: α

2

 + β

1

 = φ, na pierwszej powierzchni: sin α

1

 = n sin β

1

,  

α

2

 = arc sin (1/n) = 38,68°, β

1

 = φ – α

2

 = 21,32°, α

1

 = arc sin (n sin β

1

) = 35,57° 

 
4.  Wiązka światła o kącie rozwarcia 66° rozchodzi się z wnętrza szkła o współczynniku 

załamania 1,5. Wiązka przechodzi przez warstwę wody (n

w

=1,33) i wychodzi do 

powietrza. Proszę obliczyć kąt rozwarcia stożka, jaki tworzy ta wiązka światła w 
powietrzu. 

Rozwiązanie: 
 
Kąt rozwarcia stożka w szkle = 2α = 66°, stosujemy dwa razy prawo załamania na granicy 
szkło-woda i woda-powietrze i obliczamy kąty. 
n

sz

 sin α = n

w

 sin β = sin γ;  γ = arc sin (n

sz

 sin 33°) = 54,78°; kąt rozwarcia stożka = 

2×54,78°= 109,56° 
 
5.  Światło, które propaguje w wodzie (o współczynniku załamania 1,33) pada na płytkę 

szklaną (o współczynniku załamania 1,53). Przy jakim kącie padania światło odbite 
będzie całkowicie spolaryzowane? 

Rozwiązanie:  
Kąt Brewstera dla granicy woda-szkło θ

B

: tg θ

B

 = n

sz

/n

w

; θ

B

 = 49° 

 

 

n =1,6

sz

n =1,33

w

n =1

pow

a

b

g