Grupa 1
1. Harmoniczna fala elektromagnetyczna o λ = 550 nm rozchodzi się w próżni w dodatnim

kierunku osi x a jej pole elektryczne jest skierowane wzdłuż osi z. Jaka jest częstotliwość
tej fali? Proszę podać wartości ω i k dla tej fali. Jeśli amplituda pola elektrycznego fali
wynosi 600 V/m, jaka jest amplituda pola magnetycznego? Zapisz wyrażenie na E(x,t) i
B(x,t) jeśli wiemy, że oba pola równe są zero dla t = 0 i x = 0. W każdym przypadku
proszę podać odpowiednie jednostki.

Rozwiązanie:
Obliczamy częstotliwość korzystając ze wzoru ν = c/λ dostajemy ν = 3×10

8

m/s / 550×10

-9

m

= 5,45×10

14

Hz. Obliczamy częstotliwość kołową ω = 2πν = 3,43×10

15

rad/s oraz wartość

wektora falowego k = 2π/ λ = 11,42×10

6

m

-1

. Wartość amplitudy pola magnetycznego

obliczmy znając amplitudę pola elektrycznego B

0

= E

0

/c czyli B

0

= 600 V/m/ 3×10

8

m/s =

2×10

-6

T. Ogólne wyrażenie na falę harmoniczną ma postać

( )

musimy jeszcze określić znak (+ czy −) i ustalić fazę φ. Fala rozchodzi się w dodatnim
kierunku osi x, czyli miejsce o stałej fazie przemieszcza się w tym kierunku: dla późniejszej
chwili czasu położenie x musi mieć większą wartość – zatem znak musi być ujemny. Jeśli dla
t = 0 i x = 0 pole ma wartość zerową, to faza musi być ±π/2, albo możemy zapisać, że fala ma
postać sin(ωt – kx). Zatem fala ma postać:

E = (600 V/m) sin[(3,43×10

15

rad/s)t – (11,42×10

6

m

-1

)x]

B = (2×10

-6

T) sin[(3,43×10

15

rad/s)t – (11,42×10

6

m

-1

)x].

2. Średnia wartość wektora Poyntinga (gęstości strumienia energii) światła słonecznego na

wysokości powyżej atmosfery Ziemi wynosi ok. 1,4 kW/m

2

. Jaka siła będzie działała na

ścianę stacji kosmicznej o wymiarach 40 m×50 m orbitującej wokół Ziemi. Ściana jest
płaska, całkowicie pochłania światło i jest ustawiona prostopadle do oświetlających ją
promieni słonecznych.

Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na ciśnienie promieniowania dla sytuacji całkowitego pochłaniania
światła p = I/c (dla przypadku niecałkowitego pochłonięcia pojawia się współczynnik
mniejszy od jedności, dla odbicia – czynnik dwa). Zatem całkowitą siłę obliczamy jako
iloczyn ciśnienia i powierzchni: F = Ap = AI/c. Przy danych I = 1,4 kW/m

2

, A = 2 000 m

2

dostajemy F = 9,33×10

-3

N.

3. Ryba patrzy prawie prosto w górę poprzez gładką powierzchnię stawu. Widzi krąg

wypełniony obrazem nieba, ptaków, drzew na skraju stawu i wszystkiego innego, co tam
się znajduje. Ten jasny krąg otoczony jest ciemnym polem. Proszę wyjaśnić to zjawisko i
wyliczyć kąt rozwarcia stożka widzenia, jeśli współczynnik załamania wody n

w

=1,33.

Ciemne pole wynika z tego, że promienie wchodzące z całej półprzestrzeni po stronie
powietrza załamują się na granicy woda-powietrze i mają tylko określony zakres kątów. Jeśli
maksymalny kąt padania wynosi 90°, to maksymalny kąt załamania θ

max

obliczamy z prawa

Snella: sin 90° = n

w

sin θ

max

; a zatem θ

max

= arcsin 1/n

w

; θ

max

= 48,7°i kąt rozwarcia stożka

widzenia wynosi 2θ

max

= 97,4°.

4. Wiązka światła pada pod kątem α = 30° na środek pręta szklanego o

przekroju półkolistym wykonany ze szkła o współczynniku załamania
n = 1.5. Proszę obliczyć kąt odchylenia tej wiązki światła po przejściu
przez pręt względem kierunku początkowego. Jakie będzie odchylenie
wiązki, jeśli pręt umieszczony zostanie w wodzie?

Rozwiązanie:
Wiązka załamuje się na pierwszej powierzchni zgodnie z prawem załamania, ponieważ
kształt pręta szklanego jest półkolisty, to wiązka propagująca w szkle pada na drugą
powierzchnię prostopadle do niej (promień jest zawsze prostopadły do okręgu!) i nie doznaje

załamania. W zadaniu trzeba było obliczyć odchylenie wiązki światła względem kierunku
początkowego czyli różnicę między kierunkiem początkowym a kierunkiem wiązki
załamanej.
a) dla powietrza sin 30° = n sin θ; θ = 19,47° odchylenie wiązki 30°-19,47° = 10,52°
b) dla wody: n

w

sin 30° = n sin θ; θ = 26,32° odchylenie wiązki 30°-26,32° = 3,68°

5. Wiązka światła przechodzi z powietrza przez płytę szkła o współczynniku załamania n

2

=

1,5 do materiału o współczynniku załamania n

3

. Wiązka pada na granicę powietrze-szkło

pod kątem Brewstera, ale kąt padania promienia załamanego w szkle na granicę szkło-
nieznany materiał jest także kątem Brewstera dla tego przypadku. Proszę obliczyć
wartość n

3

.

Rozwiązanie:
Kąt Brewstera dla granicy powietrze-szkło θ

B

jest określony przez związek tg θ

B

= n

2

, zatem

θ

B

= 56,31°, przy przejściu przez płaską płytkę szkła kąt załamania w szkle = kąt padania na

następna powierzchnię = 90°–56,31= 33,69°, jeśli to jest kąt Brewstera, to tg 33,69° = n

3

/ n

2

;

n

3

= 1,5 tg 33,69° = 1. Wniosek: jeśli promień przechodzi przez granicę ośrodków pod kątem

Brewstera, to przejście w odwrotną stronę też jest pod kątem Brewstera.

a

1

b

2

b

1

a

2

j

Grupa 2
1. Proszę zapisać wyrażenie opisujące falę harmoniczną o amplitudzie 10

3

V/m, okresie

2,2×10

-15

s i prędkości 3×10

8

m/s. Fala rozchodzi się wzdłuż osi x w kierunku ujemnych

wartości i ma wartość pola elektrycznego 10

3

V/m dla t = 0 i x = 0. Jaka jest długość

fali?

Rozwiązanie:
Ogólne wyrażenie na falę harmoniczną ma postać

( )

(

)

musimy jeszcze określić znak (+ czy −) i ustalić fazę φ. Fala rozchodzi się w ujemnym
kierunku osi x, czyli miejsce o stałej fazie przemieszcza się w tym kierunku: dla późniejszej
chwili czasu położenie x musi mieć mniejszą wartość – zatem znak musi być dodatni. Jeśli dla
t = 0 i x = 0 pole ma wartość zerową, to faza musi być 0, albo możemy zapisać, że fala ma
postać cos(ωt + kx). Obliczamy długość fali korzystając ze wzoru λ = cT i dostajemy λ = cT
= 3×10

8

m/s·2,2×10

-15

s = 660×10

-9

m . Możemy obliczyć częstotliwość kołową ω = 2πν =

2π/T oraz wartość wektora falowego k = 2π/ λ lub zapisać wzór w drugiej z proponowanych
postaci. Zatem fala ma postać:

E = (10

3

V/m) cos [2πt /(2,2×10

-15

s) + 2πx/(660×10

-9

m)]

2. Wiązka lasera o średnicy 3,0 mm jest skierowana pionowo w górę i pada na dolną

ściankę cylindrycznej płytki o średnicy 2,6 mm i wysokości 0,5 mm zbudowanej z
całkowicie odbijającego materiału o gęstości 1,2 g/cm

3

. Chcemy, aby cylinder lewitował

pod wpływem skierowanej do góry siły promieniowania równoważącej siłę ciężkości.
Jaka musi być moc w wiązce lasera?

Rozwiązanie:
Oznaczamy: średnica wiązki D, średnica cylindra d, wysokość cylindra h, gęstość materiału
cylindra ρ, natężenie w wiązce lasera I, całkowita moc w wiązce P.
Zaczynamy od obliczenia siły ciężkości: πd

2

hρg/4; uwaga na jednostki – wymiary cylindra są

podane w mm, a gęstość w g/cm

3

, należy wszystko zamienić na jednakowe jednostki! Siła od

promieniowania 2I πd

2

/4c = 2P πd

2

/4πcD

2

; (czynnik dwa pojawił się, bo powierzchnia

całkowicie odbijająca)
Zapisujemy warunek równowagi: πd

2

hρg/4 = 2P πd

2

/4πcD

2

;

P = πcD

2

hρg/2 =3,14 (3×10

8

m/s) (3×10

-3

m)

2

(0,510

-3

m) (1,2×10

3

kg/m

3

) (10 m/s

2

)/2 =

25 447 W
3. Mamy do dyspozycji szklany pryzmat o kącie przy

wierzchołku równym 60° i o współczynniku załamania n =
1,60. Oblicz wartość najmniejszego kąta padania, dla
którego promień padający na jedną ściankę pryzmatu
wyjdzie przez drugą (nie ulegnie całkowitemu
wewnętrznemu odbiciu)?

Rozwiązanie:
Rozważamy graniczny przypadek, gdy wiązka załamana na drugiej powierzchni wyjdzie z
pryzmatu pod kątem załamania β

2

= 90°. Obliczmy śledząc promień propagujący w

przeciwnym kierunku (od tyłu). Na drugiej powierzchni: sin 90° = n sin α

2

; wewnątrz

pryzmatu: α

2

+ β

1

= φ, na pierwszej powierzchni: sin α

1

= n sin β

1

,

α

2

= arc sin (1/n) = 38,68°, β

1

= φ – α

2

= 21,32°, α

1

= arc sin (n sin β

1

) = 35,57°

4. Wiązka światła o kącie rozwarcia 66° rozchodzi się z wnętrza szkła o współczynniku

załamania 1,5. Wiązka przechodzi przez warstwę wody (n

w

=1,33) i wychodzi do

powietrza. Proszę obliczyć kąt rozwarcia stożka, jaki tworzy ta wiązka światła w
powietrzu.

Rozwiązanie:

Kąt rozwarcia stożka w szkle = 2α = 66°, stosujemy dwa razy prawo załamania na granicy
szkło-woda i woda-powietrze i obliczamy kąty.
n

sz

sin α = n

w

sin β = sin γ; γ = arc sin (n

sz

sin 33°) = 54,78°; kąt rozwarcia stożka =

2×54,78°= 109,56°

5. Światło, które propaguje w wodzie (o współczynniku załamania 1,33) pada na płytkę

szklaną (o współczynniku załamania 1,53). Przy jakim kącie padania światło odbite
będzie całkowicie spolaryzowane?

Rozwiązanie:
Kąt Brewstera dla granicy woda-szkło θ

B

: tg θ

B

= n

sz

/n

w

; θ

B

= 49°

n =1,6

sz

n =1,33

w

n =1

pow

a

b

g