14.01.2010

Kolokwium z MP - nr 2, zestaw 1 - z rozwiązaniami IŚ WBiA ZUT, s.3, r. 2009/2010

1. Ruch cieczy w potencjalnym polu sił ciężkości określony jest składowymi prędkości: v_x=-4x, v_y=6y, v_z=2z. Wyprowadzić równanie rozkładu ciśnienia przy założeniu, że początek układu OXYZ leży na powierzchni swobodnej cieczy ( oś Z skierowana do góry), a ciśnienie barometryczne wynosi p_b (10p)

Wskazówki: Wektor siły masowej jest równy: Podpowiedź: Wyznaczyć pochodne składowych pola prędkości, wstawić je i wektor siły do równań Eulera.	Następnie wymnożyć odpowiednie równania przez dx, dy i dz i dodać je stronami. Otrzymane równanie będzie obustronnie różniczką zupełną, którą trzeba scałkować a stałą wyznaczyć z podanego warunku .
Rozwiązanie: równania Eulera mają postać:	Zadane pole prędkości skutkuje tym, że:
Zostaje więc tylko uproszczony układ: czyli Przemnożymy te równania	przez przyrosty dx,dy i dz: … i	dodajemy obustronnie, dostając różniczki zupełne: To można już scałkować, otrzymując:
	Stała C wynika z warunku: dla (0,0,0) p=pb, czyli C=pb,

2. Określić rodzinę linii prądu dla przepływu o następującym ustalonym polu prędkości: v_x = -4y, v_y = 4x, v_z = 0 (6p)

Wykorzystać równanie różniczkowe linii prądu (będą tylko dwie składowe), następnie scałkować (będą to różniczki o zmiennych rozdzielonych). Stałej C nie wyznaczać.

Rozwiązanie: równanie różniczkowe linii prądu: ale tutaj mamy tylko: Wstawiając podane prędkości dostajemy:

czyli Po scałkowaniu otrzymujemy szukane linie prądu:

3. Wodna pompa strumieniowa wypompowywuje wodę ze zbiornika B. Jaka musi być wysokość wody w zbiorniku A, aby przy pozostałych danych podanych na rysunku nastąpiło zassanie wody ze zbiornika B ? Przepływ jest ustalony, a ciśnienia na pow. swobodnych w zb. A, B i w przekroju wylotowym są równe ciśnieniu atmosferycznemu p_a (10p)

	Podpowiedź: Równanie Bernoulliego piszemy dla przekrojów 1-1 i 2-2. Środki przekrojów są na tym samy poziomie. Dane: H1, gw, D, d, pa Szukane: H (wzór) Dodatkowo: v1=?, v2=v1(d/D)^2, p1=?, p2=pa, z1=z2=0
Rozwiązanie:	Po przekształceniach dostajemy wyrażenie na energię kinetyczną w p. 1-1:
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1 ma ogólna postać:	W p. 0-0: v0=0, p0=pa, z0=H, W p. 1-1: , , z1=0
Po podstawieniu do równania Bernoulliego otrzymano:
Ostatecznie

4. Wyznaczyć siłę, jaka działa na naczynie na skutek wypływu wody przez otwór o średnicy d = 15 mm i o zaokrąglonym profilu, gdy wysokość słupa wody wynosi H = 40 cm. (10p)

Wskazówki: Przyrost pędu masy cieczy wypływającej ze zbiornika musi wywoływać się reakcyjną skierowaną przeciwnie do wektora przyrostu pędu. Prędkość jest oznakowana zgodnie z biegiem osi X (jest dodatnia), reakcja strumienia będzie oznakowana także zgodnie z tym biegiem. Prędkość początkowa cieczy v0 =0 (w naczyniu z dala od otworu wypływowego). Prędkością końcową v jest prędkość wypływu cieczy doskonałej przez otwór z łagodną krawędzią.	Wypływ Q przez otwór jest iloczynem prędkości i pola przekroju otworu
Przyrost pędu masy cieczy wypływającej ze zbiornika wywołuje reakcję skierowaną przeciwnie do wektora przyrostu pędu:
Prędkość początkowa cieczy v0 jest równa zero (w naczyniu z dala od otworu wypływowego). Prędkością końcową v jest prędkość uzyskana przez ciecz na wylocie z otworu.	Prędkość wypływu cieczy doskonałej przez otwór z łagodną krawędzią wynosi: Ciecz wypływa w kierunku osi x, więc znak v jest + .
Objętościowe natężenie przepływu Q przez otwór wyrazimy za pomocą prędkości i pola przekroju otworu. W otworze z łagodną krawędzią nie powstaje zjawisko kontrakcji.
Reakcja strumienia wynosi więc:	Liczbowo: Ujemny znak reakcji strumienia wskazuje na to, że reakcja ta jest zwrócona w lewo (naczynie odjedzie na rolkach w lewo).

5. Kanał o średnicy d=0.1 m i długości A=3m łączy dwa zbiorniki, między którymi różnica poziomów lustra wody wynosi H. Obliczyć objętościowe natężenie przepływu, przyjmując współczynnik strat liniowych w kanale λ równy 0.03 , współczynnik straty wlotowej ζ_w=0.5, a współczynnik straty wylotowej ζ_wy=1. (12p)

	Podpowiedź: Zadanie na zast. uogólnionego r. Bernoulliego. Za pomocą tego równania znajduje się prędkość, a później oblicza natężenie przepływu. Przekrój 1 znajduje się na poziomie lustra cieczy w lewym zbiorniku, przekrój 2 w miejscu wypływu z kanału do prawego zbiornika. Poziom odniesienia to poziom tego wypływu.
Niech h oznacza różnicę poziomów między lustrem wody w prawym zbiorniku a poziomem odniesienia.	Uogólnione równanie Bernoulliego dla p. 1-1 i 2-2 ma postać:
Podstawienia do równania Bernoulliego: prędkość v1 jest pomijalnie mała; ciśnienie absolutne w przekroju (1): p1 = pat; wysokość z1 względem poziomu odniesienia jest równa H+h; prędkość v2 to nieznana prędkość przepływu v, potrzebna do obliczenia natężenia przepływu; ciśnienie absolutne w przekroju (2) określamy zgodnie z wiedzą na temat ciśnienia hydrostatycznego: p2 = pat+ ρ·g·h; wysokość z2 względem poziomu odniesienia jest równa zero.	Suma strat wysokości jest opisana zależnością: Po wprowadzeniu tych podstawień równanie Bernoulliego przyjmie następującą postać: czyli:
Po przekształceniu tej zależności można obliczyć prędkość przepływu:
Ostatecznie przepływ Q=F⋅v jest równy:	=

6. Dwa zbiorniki połączono rurociągiem stalowym o średnicy d(wew)=1.8 m, grubości ścianek δ=20 mm i długości l=2 km. Na jego końcu zainstalowano zawór motylowy. W rurociągu przepływa woda z prędkością średnią v₀=3 m/s. Moduł sprężystości stali E=2.6105 MPa, moduł ściśliwości wody B=5·10^-4 m²/MN (B=1/E₀). Obliczyć czas t_z zamykania zaworu, przy którym naprężenia w rurociągu nie przekroczą wartości dopuszczalnej k_r=4000 N/cm² (12p)

Podpowiedź: Naprężenia na ściankach przewodu:	,
Prędkość rozchodzenia się fali uderzeniowej jest równa:	,
Czas przejścia tej fali:	,
Przyrost ciśnienia w rurociągu:
Naprężenia na ściankach przewodu:	, STĄD
Więc	Średnica podziałowa rurociągu:
czas tz zamykania zaworu motylowego :	,

---