26.11.2009

Kolokwium z MP - nr 1, zestaw 2 - IŚ WBiA ZUT, s.3, r. 2009/2010

1. Wiedząc, że gęstość wody morskiej ρ_w≅1030 kg/m³, a gęstość lodu ρ_L≅900 kg/m³, obliczyć jaka część góry lodowej znajduje się nad powierzchnią wody.

Rozwiązanie :

Z rys. objętość góry lodowej V=V1+V2 Ciężar góry jest równy ciężarowi wypartej wody: V·ρL=V2·ρw Dalej już tylko przekształcenia w kierunku uzyskania V1/V: V·ρL=(V-V1)·ρw V1·ρw=V(ρw- ρL)

2. Dane jest naczynie prostopadłościenne o wymiarach b=2m (długość) i c=1m (szerokość), wypełnione wodą o objętości V=3m³ i masie m=3600 kg, które zjeżdża bez tarcia ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a=3 m/s² po równi pochyłej o kącie nachylenia α=0.5 rad. Obliczyć maks. ciśnienie wywierane przez ciecz na tylną ścianę naczynia.

Szukane: pmax = ? [N/m^2]	Dane: b=2 m, c=1 m, V=3 m^3, a=3 m/s^2, α=0.5 rad, g=9.81 m/s^2, ρ=1000 kg/m^3, pa=1013 hPa =1.013105 Pa Układ współrzędnych: punkt OXYZ leży na pow. swobodnej cieczy w połowie szerokości naczynia - niezależnie od zmiany kata nachylenia pow. swobodnej, punkt ten podczas ruchu leży zawsze na powierzchni swobodnej cieczy. Podpowiedź: skorzystać z podstawowego równania hydrostatyki. Pole jednostkowych sił masowych: X=-a·cos α, Y=0, Z=g-a·sin α. Współrzędne p-ktu A: xA=-d•cos α, yA=y, zA=d•sin α, d - odl. A od OXYZ, wyzn. z tw. Pitagorasa dla trójkąta o bokach przyprostokątnych b/2 i h, gdzie h=V/(bc)
Rozwiązanie: Podstawowe równanie hydrostatyki:	Wstawiając do niego występujące w zadaniu pole sił masowych mamy: . To równanie możemy scałkować i otrzymujemy:
Z lokalizacji początku układu OXYZ wynika, że p(0,0,0)=pa czyli C=pa	Ogólna postać równania ciśnienia jest zatem równa:
Średnia głębokość wody w naczyniu: h=V/(bc) czyli h=3/(2·1)=1.5m	Odległość d p-ktu A od OXYZ jest przeciwprostokątną trójkąta o wierzchołkach A, b/2 i OXYZ, czyli Liczbowo:
Współrzędne p-ktu A są zatem: xA=-d·cos α, yA=y, zA=d·sin α	Wstawiając te współrzędne do równania ciśnienia, otrzymujemy:
Liczbowo: =0.5 rad =(0.5/Pi)180≈28.65º	sin  ≈, cos^2 ≈0.77

3. Ruch cieczy w potencjalnym polu sił ciężkości określony jest składowymi prędkości: v_x=6x, v_y=-12y, v_z=2z. Wyprowadzić równanie rozkładu ciśnienia przy założeniu, że początek układu OXYZ leży na powierzchni swobodnej cieczy (Oś Z skierowana do góry), a ciśnienie barometryczne wynosi p_b

Wskazówki: Wektor siły masowej jest równy: Podpowiedź: Wyznaczyć pochodne składowych pola prędkości, wstawić je i wektor siły do równań Eulera.		Następnie wymnożyć odpowiednie równania przez dx, dy i dz i dodać je stronami. Otrzymane równanie będzie obustronnie różniczką zupełną, którą trzeba scałkować a stałą wyznaczyć z podanego warunku .
Rozwiązanie: równania Eulera mają postać:	Zadane pole prędkości skutkuje tym, że:
i dostajemy uproszczony układ: czyli Przemnożymy te równania	przez przyrosty dx. dy i dz: … i	dodajemy obustronnie, dostając różniczki zupełne: To można już scałkować, otrzymując:
Stała C wynika z warunku: dla (0,0,0) p=pb, czyli C=pb/ρ,	i ostatecznie szukane równanie ciśnienia ma postać:

4. Korzystając z prawa Archimedesa obliczyć, jak duży ciężar można przeprawić przez rzekę za pomocą tratwy zbudowanej z 10 okrągłych kłód drewnianych o średnicy 20 cm i długości 3 m każda. Gęstość drewna przyjąć równą 750 kg/m³ a gęstość wody 1000 kg/m3

	Podpowiedź: Nośność = Siła Wyporu (przy zadanym zanurzeniu) - Ciężar Własny.
Rozwiązanie: Dane: n =10 kłód drewnianych o średnicy d = 20 cm i długości l = 3 m każda. Gęstość drewna ρd = 750 kg/m3, gęstość wody ρw = 1000 kg/m3, przyspieszenie grawitacyjne g = 10 m/s^2.	Siła wyporu działająca na tratwę ma zrównoważyć ciężar tratwy z ładunkiem: Fwyporu=Qtratwy+Qladunku czyli Qladunku =Fwyporu-Qtratwy Maksymalna siła wyporu jest wtedy, gdy tratwa jest cała zanurzona w wodzie - objętość wypartej wody jest wtedy równa objętości tratwy i wynosi V=n·π·r^2·l.
Ostatecznie:	Wykorzystując powyższą zależność, otrzymujemy, że nośność:

5. Określić równanie linii prądu dla przepływu o następującym ustalonym polu prędkości :

v_x = 0, v_y = -4z, v_z =2y

dla elementu płynu, który w pewnej chwili przechodzi przez punkt (0,16,4).

Wykorzystać równanie różniczkowe linii prądu (będą tylko dwie składowe), następnie scałkować (będą to różniczki o zmiennych rozdzielonych). Stałą C wyznaczać z podanego warunku.

Rozwiązanie: równanie różniczkowe linii prądu: ale tutaj mamy tylko: Wstawiając podane prędkości dostajemy:	czyli Po scałkowaniu otrzymujemy szukane linie prądu:
Z warunku przechodzenia przez punkt C=288	czyli równ. linii prądu w płaszczyźnie y-z ma postać:

6. Woda jest dostarczana do domu rurą o średnicy d₁=2 cm, pod ciśnieniem p₁ = 4·10⁵ Pa. Rura prowadząca na piętro na wysokości 5 m ma średnicę d₂ = 1 cm. Po odkręceniu kranu na piętrze prędkość wody w rurze zewnętrznej wynosi v₁ = 1.5 m/s. Obliczyć ciśnienie i prędkość wody w kranie. (12p)

	Podpowiedź: Piszemy równanie Bernoulliego dla przekroju 1 na rurze prowadzącej do domu i przekroju 2 na rurze w mieszkaniu na wysokości kranu. Skorzystać także z równania ciągłości.
Rozwiązanie: , Ponieważ h1=0, więc czyli	Aby wyrazić niewiadomą v2 przez v1, trzeba skorzystać z równania ciągłości: . Dostajemy więc, że Daje to po podstawieniu do r. Bernoulliego: Prędkość wyliczamy zaś z podanego wyżej wzoru:

---