14.01.2010

Kolokwium z MP - nr 2, zestaw 2 - z rozwiązaniami IŚ WBiA ZUT, s.3, r. 2009/2010

1. Ruch cieczy w potencjalnym polu sił ciężkości określony jest składowymi prędkości: v_x=4x, v_y=-6y, v_z=8z. Wyprowadzić równanie rozkładu ciśnienia przy założeniu, że początek układu OXYZ leży na powierzchni swobodnej cieczy (Oś Z skierowana do góry), a ciśnienie barometryczne wynosi p_b (10p)

Wskazówki: Wektor siły masowej jest równy: Podpowiedź: Wyznaczyć pochodne składowych pola prędkości, wstawić je i wektor siły do równań Eulera.		Następnie wymnożyć odpowiednie równania przez dx, dy i dz i dodać je stronami. Otrzymane równanie będzie obustronnie różniczką zupełną, którą trzeba scałkować a stałą wyznaczyć z podanego warunku .
Rozwiązanie: równania Eulera mają postać:	Zadane pole prędkości skutkuje tym, że:
i dostajemy uproszczony układ: czyli Przemnożymy te równania	przez przyrosty dx. dy i dz: … i	dodajemy obustronnie, dostając różniczki zupełne: To można już scałkować, otrzymując:
Stała C wynika z warunku: dla (0,0,0) p=pb, czyli C=pb	i ostatecznie szukane równanie ciśnienia ma postać:

2. Określić równanie linii prądu dla przepływu o następującym ustalonym polu prędkości :

v_x = 0, v_y = -8z, v_z =4y

dla elementu płynu, który w pewnej chwili przechodzi przez punkt (0, 16, 4). (6p)

Wykorzystać równanie różniczkowe linii prądu (będą tylko dwie składowe), następnie scałkować (będą to różniczki o zmiennych rozdzielonych). Stałą C wyznaczać z podanego warunku.

Rozwiązanie: równanie różniczkowe linii prądu: ale tutaj mamy tylko: Wstawiając podane prędkości dostajemy:	czyli Po scałkowaniu otrzymujemy szukane linie prądu:
Z warunku przechodzenia przez punkt C=576	czyli równ. linii prądu w płaszczyźnie y-z ma postać:

3. Ciecz doskonała wypływa ze zbiornika przewodem o zmiennych średnicach D₁=100 mm, D₂=60 mm i D₃=40 mm. Długości poszczególnych odcinków są następujące: L₁=20 m, L₂=30 m, L₃=10 m. Wzniesienie zwierciadła cieczy w zbiorniku ponad oś przewodu H=2 m. Ciśnienie atmosferyczne p_a=1.013 10⁵ N/m². Określić: a) prędkości cieczy we wszystkich odcinkach przewodu, b) rozkład ciśnienia w przewodzie,. (10p)

	Dane: D1 = 0.1 m , D2 = 0.06 m , D3 = 0.04 m L1 = 20 m , L2 = 30 m , L3 = 10 m H = 2 m , pa=1.013 10^5 N/m^2 , g = 9.81 m/s^2 Szukane: a) v1 = ?, v2 = ?, v3 = ? b) p1 = ?, p2 = ?, p3 = ? Podpowiedź: Dla przyp. a) piszemy Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3, korzystamy także z równania ciągłości. Dla przyp. b) piszemy r. Bernoulliego dla przekrojów 2-2 i 3-3
Ad. a) Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3: p.0-0: v0≈0, p0 = pa, z0 = H , p.3-3: v3 = ?, p3 = pa, z3 = 0
Po podstawieniu parametrów do równania i wykonaniu prostych przekształcen
Prędkości w przekrojach 2-gim ( o średnicy D2) i pierwszym (o średnicy D1) z r. ciągłości (Av=Q).	,
Ad. b) Aby wyznaczyć ciśnienie w p. 2-2, należy rozwiązać r. Bernoulliego dla przekr. 2-2 i 3-3:
, p2 =?, z2 =0 p.3-3: , p3 = pa, z3 = 0	Podstawienie parametrów i przekształcenia dają wys. ciśnienia w przekroju 2-2:
Podobnie porównując przekroje 1-1 i 3-3 można wyznaczyć zależność na wysokość ciśnienia w przekroju 1-1:

4. Woda wypływa z dyszy o średnicy 12 mm do góry z prędkością 8 m/s, unosząc płaską tarczę o masie 200 g. Na jakiej wysokości h tarcza pozostanie w równowadze? Pominąć straty spowodowane tarciem. (10p)

	Oznaczenia: średnica dyszy d, początkowa prędkość strumienia wody v1, masa tarczy m. Siły działające na tarczę - ciężar G i reakcja strumienia R równoważą się. Ciężar tarczy jest niezmienny, ale reakcja strumienia jest zależna od wysokości: im wyżej, tym mniejsza prędkość v2 wody uderzającej w tarczę i mniejsza reakcja strumienia. Na pewnym (poszukiwanym) poziomie h siły G i R zrównują swoje wartości i tam ustabilizuje się położenie tarczy. Prędkość v2 zależy od v1 oraz od grawitacji. Można ją obliczyć z r. Bernoulliego dla przekrojów na poziomie wylotu z dyszy i na poziomie tarczy
Rozwiązanie: Ciężar tarczy wynosi . Reakcja strumienia jest określona zależnością:	v2n - składowa normalną prędkości strumienia wody dolatującej do tarczy, vkn składową normalną prędkości tej samej wody po uderzeniu (=0). Tarcza jest ustawiona prostopadle do kierunku strumienia i składowa v2n jest równa prędkości strumienia dolatującego do tarczy v2.
Wobec tych danych:	Q określamy w miejscy wypływu wody z dyszy, gdzie znamy zarówno średnicę otworu d, jak i prędkość v1
Prędkość v2 zależy od v1 oraz od hamującego działania grawitacji. Można ją obliczyć z równości sumy energii strumienia wody na poziomie wylotu z dyszy i na poziomie tarczy (za pomocą równania Bernoulliego):	stąd
Podstawiając te wyrażenia do wzoru na R otrzymamy:
Rozwiązanie uzyskamy po przyrównaniu tak określonej siły R do ciężaru tarczy G:	Czyli:

5. Wyznaczyć kinematyczny wsp. lepkości oleju (ρ_ol=900 kg/m³) poprzez pomiar straty ciśnienia w kalibrowanym odcinku pomiarowym o średnicy D=6 mm i długości L=2 m, w którym przy natężeniu przepływu Q=7.3 10^-6 m³/s spadek ciśnienia mierzony rtęciowym manometrze różnicowym (ρ_Hg=13600 kg/m³) wyniósł h=120 mm Hg. (12p)

	Wskazówki: Zastosować Równanie Bernoulliego ze stratami dla przekrojów 1-1 i 2-2 - prędkości przepływu będą równe w obu przekrojach, wystąpi tylko strata hl (wzór Darcy-Weisbacha). Ze względu na mały wydatek i niewielką średnicę przyjąć, że przepływ jest laminarny i obowiązuje analityczna zależność na  o postaci =64/Re. Wykorzystać wzór na Re. Skorzystać też z warunku z równowagi ciśnień na poziomie - w lewym i prawym ramieniu U-rurki
Równanie Bernoulliego ze stratami dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać:
p.1-1: , p1=?, z1=0, p.2-2: , v2=v1, p2=?, z2=0 ,	Po podstawieniu tych zależności do równania Bernoulliego i wykonaniu odpowiednich uproszczeń otrzymano:
Różnice ciśnień p1-p2 wyznaczamy z równowagi ciśnień na poziomie - w lewym i prawym ramieniu U-rurki:	, skąd: (γ=gρ)
Po uwzględnieniu tej zależności w równaniu Bernoulliego i jego rozwiązaniu ze względu na ν:	, liczbowo ν=36.17·10^-6 m^2/s

6. Przewodem żeliwnym o średnicy d=500 mm i grubości ścianek d=10 mm, przepływa woda z prędkością średnią v₀=5 m/s. Moduł sprężystości żeliwa E=2.3105 MPa, moduł ściśliwości wody B=5·10^-4 m²/MN (B=1/E₀). Obliczyć prędkość fali uderzenia i przyrost ciśnienia w chwili gwałtownego zamknięcia zaworu: (12p

Rozwiązanie: Prędkość rozchodzenia się fali uderzeniowej jest równa:
czyli
Przyrost ciśnienia:

---