PODSTAWOWE MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ

Miary klasyczne - stanowią wypadkową wszystkich wartości cechy wszystkich badanych

jednostek zbiorowości.

Średnią arytmetyczną ̅ w rozkładzie empirycznym nazywamy wyrażenie:



dla szeregu szczegółowego:

̅

∑

,

gdzie

,

są indywidualnymi obserwacjami w zbiorze danych, jest liczbą obserwacji



dla szeregu rozdzielczego:

- punktowego:

̅ ∑

∑

gdzie

,

są wyróżnionymi wartościami w rozkładzie, zaś

odpowiednimi

liczebnościami klasowymi.

- przedziałowego:

̅

∑

̇

∑

̇

,

̇ - środek i-tego przedziału klasowego. (metoda przybliżona)

Średniej arytmetycznej nie liczymy gdy

 występują wartości nietypowe (skrajne)
 przedziały skrajne są otwarte (nieograniczone)
 zbiorowość jest niejednorodna.

Np. widownia teatru dla dzieci analizowana jest ze względu na wiek.

Miary pozycyjne

- wyznaczane są typową pozycją niektórych jednostek lub grup jednostek.

Medianą M

e

rozkładu empirycznego (uporządkowanego niemalejąco) nazywamy taką wartość cechy, że co

najmniej połowa jednostek zbiorowości ma wartość cechy nie większą (mniejszą lub równą) od niej i
równocześnie co najmniej połowa jednostek ma wartość cechy nie mniejszą (większą lub równą) od tej
wartości.



szereg szczegółowy lub rozdzielczy punktowy:

=





















parzyste

jest

gdy

e,

nieparzyst

jest

gdy

n

x

x

n

x

n

n

n

,

2

,

2

2

2

2

1



szereg rozdzielczy przedziałowy:





i

i

i

sk

e

i

e

n

h

n

pozM

x

M











)

1

(

0

- dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość mediany,

– liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany,

- odpowiednio rozpiętość i liczebność przedziału, w którym znajduje się mediana.

Decyle dzielą zbiorowość na 10 części.

Kwartyle dzielą zbiorowość na 4 części.



Q1 - kwartyl pierwszy (kwartyl rzędu ¼ ), dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten

sposób, że co najmniej 25% jednostek ma wartości cechy niższe lub równe i co najmniej 75% wyższe
lub równe od kwartyla pierwszego;



Q2 - kwartyl drugi (kwartyl rzędu ½, czyli mediana)



Q3 - kwartyl trzeci (kwartyl rzędu ¾), dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten

sposób, że co najmniej 75% jednostek ma wartości cechy niższe lub równe i co najmniej 25% wyższe
lub równe od kwartyla trzeciego.





i

i

i

sk

i

n

h

n

pozQ

x

Q











)

1

(

1

0

1





i

i

i

sk

i

n

h

n

pozQ

x

Q











)

1

(

3

0

3

- dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość kwartyla,

– liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział kwartyla,

- odpowiednio rozpiętość i liczebność przedziału, w którym znajduje się kwartyl.

Dominantą D

o

w rozkładzie empirycznym nazywamy wartość cechy występującą w tym rozkładzie

najczęściej, tzn. wartość, której odpowiada najwyższa liczebność (częstość).



szereg rozdzielczy przedziałowy:



 







i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

h

w

w

w

w

w

x

h

n

n

n

n

n

n

x

D







































1

1

1

0

1

1

1

0

0

2

gdzie:

- dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta,

- rozpiętość tego przedziału,

- odpowiednio liczebność i częstość przedziału w którym występuje dominanta,

przedziału poprzedniego i następnego.

Dominanty nie należy liczyć gdy:

 zbiorowość nie jest jednorodna (czyli górki)
 największa liczebność znajduje się w pierwszym lub ostatnim przedziale
 rozpiętości przedziałów sąsiadujących z przedziałem dominanty są różne (muszą być 3 równe

rozpiętości)

Jeśli wiele dominant – szereg wielomodalny, mówimy wtedy, że nie ma dominanty

MIARY DYSPERSJI

(rozproszenia, zróżnicowania, rozrzutu, zmienności)

Zadaniem miar dyspersji, zwanych również miarami zmienności jest wskazanie w jakim stopniu
poszczególne wartości jednostek zbiorowości statystycznej koncentrują się wokół wartości centralnej
badanej cechy, opisują rozkład cechy. Informują jak duże są różnice (odchylenia) między poszczególnymi
wartościami jednostek zbiorowości a przeciętną.

Dyspersją nazywamy zróżnicowanie jednostek zbiorowości ze względu na wartość badanej cechy.

Miary te dzielimy na:



klasyczne (wariancja, odchylenie standardowe)



pozycyjne ( rozstęp i odchylenie ćwiartkowe)

Są to miary bezwzględne posiadające jednostkę
Do względnych miar pozycyjnych zaliczamy współczynnik zmienności

Wariancją dla zbioru danych

nazywamy wyrażenie:



szereg szczegółowy:

∑

(

̅)



szereg rozdzielczy punktowy:

∑

̅



szereg rozdzielczy przedziałowy:

∑

̇

̅

gdzie

̇

- środek i-tego przedziału

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:

√

- wszystkie wartości cechy są jednakowe, brak zróżnicowania.

Rozstępem jest różnica między największą i najmniejszą wartością cechy w zbiorze.
Rozstęp (przedział) ćwiartkowy to różnica między kwartylem trzecim a pierwszym.

Odchyleniem ćwiartkowym jest połowa rozstępu ćwiartkowego, czyli wielkość

(samo w sobie nic nam nie mówi, ale potrzebne do współczynnika zmienności)
Współczynnik zmienności – gdy należy porównać stopień zróżnicowania dwóch lub więcej rozkładów.



miary klasyczne

̅

(jaki procent średniej stanowi miara rozrzutu)



miary pozycyjne

Współczynniki zmienności informują o sile dyspersji.
Ich duże wartości liczbowe świadczą o niejednorodności zbiorowości.
Im większy procent tym większe względne zróżnicowanie cechy w rozkładzie.

Współczynnik zmienności służy nam do porównywania zróżnicowania zbiorowości według kilku cech, lub
porównywania kilku zbiorowości według jednej cechy.

MIARY ASYMETRII SKOŚNOŚCI

Współczynnik asymetrii

( jeśli bardzo silna asymetria to A może przekroczyć granice przedziału)

̅

̅

̅ 〈 〉

〈 〉

̅

〈 〉

Szereg symetryczny

̅

Szereg niesymetryczny



asymetria prawostronna

̅

ponad połowa zbiorowości ma wartości mniejsze niż ̅



asymetria lewostronna

̅

ponad połowa zbiorowości ma wartości większe niż ̅

Im bliżej krańców przedziału tym bardziej asymetryczne



skrajna asymetria