Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
1
1.
.
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
1.1. Wstęp
Mechanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
statecznością i optymalizacją konstrukcji budowlanych jak i jej poszczególnych elementów. Elementy
konstrukcji zwane dźwigarami lub układami ciał odkształcalnych, połączonych ze sobą i z ziemią, tworzą
układy geometrycznie niezmienne (ich liczba stopni swobody jest równa lub mniejsza od liczby więzów).
Dźwigary mogą występować w postaci pojedynczych prętów lub całych układów prętowych (kratownic, ram,
łuków, układów cięgnowych), tarcz, płyt i powłok. Obiektem naszych zainteresowań będą głównie układy
prętowe.
Pręt jest takim dźwigarem, którego jeden wymiar (długość) jest znacznie większy w porównaniu z
pozostałymi. Szczególnym typem prętów są struny i cięgna, które przenoszą tylko siły podłużne ponieważ nie
posiadają sztywności na zginanie.
Układy prętowe dzielimy na kratownice i układy ramowe. W kratownicach wszystkie pręty połączone
są przegubowo, przy czym zakładamy, że siły zewnętrzne i ciężar własny przykładamy jedynie w węzłach,
przez co w poszczególnych prętach mamy do czynienia jedynie z siłami osiowymi (ściskającymi lub
rozciągającymi). Założenie połączeń przegubowych jest idealizacją ponieważ oznacza, że końce prętów mogą
obracać się względem siebie podczas, gdy w rzeczywistości połączone są ze sobą śrubami lub nitami. W teorii
kratownic zakładamy również prostoliniowość i nieważkość prętów. Ramy natomiast składają się z prętów
prostoliniowych lub zakrzywionych. Przenoszą one momenty zginające, siły podłużne i poprzeczne, a
obciążenie zewnętrzne może być przyłożone w dowolnym punkcie układu.
Obciążenia zasadniczo dzielimy na powierzchniowe (zewnętrzne) i objętościowe (masowe).
Siły powierzchniowe występują jako czynne (działające na układ niezależne siły zewnętrzne) i bierne
(reakcje, będące wynikiem działania sił czynnych). Siły objętościowe związane są z konstrukcją jako z
elementem obdarzonym masą (siła bezwładności, ciężar własny).
Obciążenia dzielimy także na rozłożone (ciągłe) lub skupione (punktowe), będące idealizacją obciążenia
działającego na małym obszarze.
Dalej obciążenia dzielimy na stałe (np. ciężar własny lub stałe działające ciśnienie gruntu) oraz
zmienne, które dodatkowo dzielimy na nieruchome (czyli zmienne tylko w czasie np. siła parcia wiatru oraz
ruchome (zmienne zarówno w czasie jak i w przestrzeni, zmieniające położenie względem układu).
Obciążeniem możemy nazwać także działanie czynników zewnętrznych (np. temperatury lub osiadania
podpór).
Zadaniem mechaniki budowli jest wyznaczanie sił wewnętrznych (momentów zginających, sił
poprzecznych i podłużnych), reakcji podporowych oraz stanu przemieszczeń.
W celu uproszczenia rozważań przyjęto następujące założenia:
•
materiał jest liniowo sprężysty,
•
więzy są idealne (nie ma luzów i tarcia),
•
przemieszczenia są bardzo małe w porównaniu a wymiarami układu,
•
układ jest geometrycznie niezmienny (może być przy tym statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
2
Wykorzystywane będą następujące zasady:
•
zasada zesztywnienia
Równania równowagi zapisujemy dla nieodkształconego układu. W rzeczywistości moment w utwierdzeniu
M
powinien być obliczany z uwzględnieniem skrócenia ramienia działania siły
P o wartość przemieszczenia
D
(rys. 1.1).
l
P
P
P
M = P·( l - ∆ )
∆
Rys. 1.1. Układ rzeczywisty
l
P
P
M = P · l
Rys. 1.2. Model obliczeniowy
Przyjmując model obliczeniowy wyznaczamy moment bez uwzględniania przemieszczenia wywołanego
działaniem siły
P (rys. 1.2).
•
zasada superpozycji skutków
Efekt działania kilku przyczyn jest równy sumie efektów działania wszystkich przyczyn z osobna.
P
1
P
2
...P
n
=
1
P
1
2
P
2
...
n
P
n
(1.1)
1.2. Praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach przez nie wywołanych
Niech dana będzie belka statycznie wyznaczalna, geometrycznie niezmienna obciążona siłą skupioną
P
(rys. 1.3):
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
3
P
Rys. 1.3. Schemat obciążenia belki
Wiadome jest, że pod takim obciążeniem belka dozna odkształcenia (rys. 1.4)
P
∆
Rys. 1.4. Przemieszczenie wywołane siłą
Obliczmy pracę wykonaną przez siłę
P na przemieszczeniu
D:
L
=P⋅
(1.2)
L
=P⋅
(1.3)
gdzie:
P – miara siły
Δ – miara przemieszczenia zgodna z kierunkiem działającej siły.
Uogólnione przemieszczenie
u jest wprost proporcjonalne do siły je wywołującej (rys. 1.5):
u
=c⋅Q
⇒
Q
=
u
c
(1.4)
gdzie:
u – przemieszczenie uogólnione
c – współczynnik proporcjonalności
Q – obciążenie uogólnione
L
=
∫
0
Q du
=
∫
0
u
c
du
=
1
c
∫
0
u du
=
1
2
⋅
1
c
⋅⋅
(1.5)
u
Q
P
δ
Rys. 1.5. Zależność pomiędzy przemieszczeniem i obciążeniem
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
4
Z wzoru (1.4) wynika, że:
1
c
⋅=P
(1.6)
czyli:
L
Z
=
1
2
⋅P⋅
(1.7)
Wzór (1.7) opisuje pracę siły zewnętrznej na przemieszczeniu przez nią wywołanym.
1.3. Rodzaje podpór
Zakładamy, że układy prętowe ulegają deformacji tylko w płaszczyźnie
XY, zatem przekroje pręta mają
trzy stopnie swobody: przemieszczenie poziome
u, przemieszczenie pionowe v i kąt obrotu φ. Mamy też trzy
reakcje więzów: siłę poziomą
H, pionową V i moment M.
Ze względu na liczbę więzów i reakcji rozróżniamy następujące rodzaje podpór:
•
utwierdzenie
x
V
z
H/2
H/2
h
P
P
M = P·h
H
V
M
V
M
H
Rys. 1.6. Schemat utwierdzenia
Przekrój traci 3 stopnie swobody, zatem pojawiają się 3 reakcje więzów:
u
=0
H
≠0
v
=0
V
≠0
=0 M ≠0
•
utwierdzenie z poziomym przesuwem (podpora teleskopowa)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
5
x
V
z
M
V
M
M
V
V
M
Rys. 1.7. Schemat podpory teleskopowej
Przekrój traci 2 stopnie swobody, możliwy jest jedynie przesuw poziomy:
u
≠0
H
=0
v
=0
V
≠0
=0
M
≠0
•
podpora przegubowa nieprzesuwna
H
x
V
z
H
V
H
V
H
V
Rys.1.8. Schemat podpory nieprzesuwnej
Przekrój traci 2 stopnie swobody, możliwy jest jedynie obrót przekroju wokół osi
Y:
u
=0
H
≠0
v
=0
V
≠0
≠0
M
=0
•
podpora przegubowa przesuwna
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
6
x
z
V
V
V
Rys. 1.9. Schemat podpory przesuwnej
Przekrój traci 1 stopień swobody, możliwy jest obrót przekroju wokół osi
Y oraz przemieszczenie poziome u:
u
≠0
H
=0
v
=0
V
≠0
≠0
M
=0
•
podpora ślizgowa
x
z
M
H
H/2
H/2
h
P
P
M = P · h
H
M
H
M
Rys. 1.10. Schemat podpory ślizgowej
Przekrój traci 2 stopnie swobody, możliwe jest przemieszczenie pionowe
v:
u
=0
H
≠0
v
≠0
V
=0
=0
M
≠0
Zadanie 1
Obliczyć i narysować wykresy sił wewnętrznych w ramie
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
7
q = 7 kN/m
P = 45 kN
M = 32 kNm
A
B
C
D
E
4
2
3
2
2
[m]
Rozwiązanie:
a) obliczenie reakcji
H
E
R
E
q = 7 kN/m
P = 45 kN
M = 32 kNm
A
B
C
D
E
4
2
3
2
2
[m]
R
A
H
A
H
C
R
C
H
C
R
C
Układamy równania równowagi zgodnie z zasadami statyki:
•
dla całego układu
∑
M
A
:
7
⋅4⋅245⋅5−32−R
E
⋅7H
E
⋅2=0
⇒ 249−7⋅R
E
2⋅H
E
=0
∑
M
E
:
7
⋅4⋅4H
A
⋅2R
A
⋅7−45⋅2−32=0
⇒ 2⋅H
A
7⋅R
A
−10=0
∑
X
spr
:
H
A
7⋅4−H
E
=0
⇒ H
A
−H
E
28=0
∑
Y
spr
:
R
A
R
E
−45=0
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
8
•
dla części lewej: (
A, B, C)
∑
M
C
:
R
A
⋅5−H
A
⋅4−7⋅4⋅2=0
⇒ 5⋅R
A
−4⋅H
A
−56=0
•
dla części prawej: (
C, D, E)
∑
M
C
:
32
R
E
⋅2−H
E
⋅6=0
Rozwiązujemy układy równań dobierając je tak, aby w każdym występowały te same niewiadome:
{
249
−7⋅R
E
2⋅H
E
=0
32
2⋅R
E
−6⋅H
E
=0
{
747
−21⋅R
E
6⋅H
E
=0
32
2⋅R
E
−6⋅H
E
=0
∣
{
747
32−21⋅R
E
2⋅R
E
=0
32
2⋅R
E
−6⋅H
E
=0
{
779
−19⋅R
E
=0
16
R
E
−3⋅H
E
=0
{
19
⋅R
E
=779
3
⋅H
E
=16R
E
{
R
E
=41 [kN ]
H
E
=19 [kN ]
{
2
⋅H
A
7⋅R
A
−10=0
−4⋅H
A
5⋅R
A
−56=0
{
4
⋅H
A
14⋅R
A
−20=0
−4⋅H
A
5⋅R
A
−56=0
∣
{
14
⋅R
A
5⋅R
A
−20−56=0
2
⋅H
A
7⋅R
A
−10=0
{
19
⋅R
A
=76
2
⋅H
A
=10−7⋅R
A
{
R
A
=4 [kN ]
H
A
=−9 [kN ]
Pozostałe równania wykorzystujemy w celu sprawdzenia rozwiązań:
H
A
−H
E
20=−9−1928=0
R
A
R
E
−45=441−45=0
Aby otrzymać reakcje wewnętrzne układamy równania dla części lewej ramy (
A, B, C):
∑
X :
H
A
7⋅4H
C
=0
⇒ H
C
=−H
A
−28 =−19 [kN ]
∑
Y :
R
A
−R
C
−45=0
⇒ R
C
=R
A
−45=−41 [kN ]
Sprawdzeniem są równania ułożone dla części prawej (
C, D, E):
∑
X
spr
:
−H
E
−H
C
=−19−−19=0
∑
Y
spr
:
R
E
R
C
=41−41=0
Na koniec wyniki zestawiamy na rysunku:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
9
19 kN
41 kN
q = 7 kN/m
P = 45 kN
M = 32 kNm
A
B
C
D
E
4
2
3
2
2
[m]
4 kN
9 kN
19 kN
41 kN
19 kN
41 kN
b) obliczenie sił wewnętrznych
W ramie zaznaczamy punkty charakterystyczne
A, B, C, D i E, którymi są: węzły ramy, podpory, miejsca
przyłożenia obciążenia, przeguby itd.
Pomiędzy punktami charakterystycznymi zaznaczamy przekroje
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
.
19 kN
41 kN
q = 7 kN/m
P = 45 kN
M = 32 kNm
A
B
C
D
E
4
2
3
2
2
[m]
4 kN
9 kN
19 kN
41 kN
19 kN
41 kN
α
4
α
4
α
1
α
1
α
3
α
3
α
2
α
2
Przecinamy ramę w poszczególnych przekrojach i dla odciętych części zapisujemy równania równowagi, z
których wynikają funkcje sił wewnętrznych.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
10
•
dla przekroju
α
1
-
α
1
19 kN
41 kN
E
N
T
M
x
x
∈0, 6
∑
X :
T
−19=0
⇒
T
=19 [kN ]
∑
Y :
N
41=0
⇒
N
=−41 [kN ]
∑
M :
M
19⋅x
⇒
dla x
=0
M
=0
⇒
dla x
=6
M
=−114 [kNm]
•
dla przekroju
α
2
-
α
2
C
19 kN
41 kN
N
T
M
x
x
∈0, 2
∑
X :
N
19=0
⇒
N
=−19 [kN ]
∑
Y :
T
41=0
⇒
T
=−41 [kN ]
∑
M :
M
41⋅x=0
⇒
dla x
=0
M
=0
⇒
dla x
=2
M
=−82 [kNm]
•
dla przekroju
α
3
-
α
3
19 kN
41 kN
P = 45 kN
x
N
T
M
C
x
∈0, 2
∑
X :
N
19=0
⇒
N
=−19 [kN ]
∑
Y :
T
41−45=0
⇒
T
=4 [kN ]
∑
M :
M
45⋅x−41⋅x=0
⇒
dla x
=0
M
=0
⇒
dla x
=2
M
=−8 [kNm]
•
dla przekroju
α
4
-
α
4
φ
3
4
5
A
B
sin
=
4
5
=0,8
cos
=
3
5
=0,6
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
11
q = 7 kN/m
A
4 kN
9 kN
N
T
φ
M
x
y
∑
↗:
N
−9⋅cos4⋅sin 7⋅y⋅cos=0
⇒
N
=−4,2⋅y2,2
∑
↘:
T
−4⋅cos −9⋅sin7⋅y⋅sin=0
⇒
T
=−5,6⋅y9,6
∑
M :
M
−4⋅x−9⋅y7⋅y⋅
y
2
=0
⇒
M
=4⋅x−9⋅y−3,5⋅y
2
⇒
dla x
=0 i y=0
{
N
=2,2 [kN ]
T
=9,6 [kN ]
M
=0
⇒
dla x
=3 i y=4
{
N
=−14,6 [kN ]
T
=−12,8 [kN ]
M
=−8 [kNm]
Otrzymane funkcje rysujemy na schemacie ramy i otrzymujemy wykresy sił wewnętrznych:
N [kN]
-14,6
2,2
-19,0
-19,0
-41,0
-41,0
_
_
_
T [kN]
+
+
_
_
9.6
-12.8
-41.0
-41.0
4.0
4.0
19.0
19.0
+
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
12
M [kNm]
82.0
114.0
8.0
8.0
10.29
Ponieważ na pręcie
AB wykres momentów zginających jest krzywoliniowy należy znaleźć ekstremum funkcji.
Z wykresu sił tnących na podstawie proporcji szukamy punktu, gdzie
T = 0:
a
5
12,8
9,6
A
B
9,6
a
=
12,8
5
−a
12,8
⋅a=48−9,6⋅a
a
=2,14 [m]
Następnie wyznaczamy współrzędne punktu:
φ
x
y
2,14
x
=2,14⋅cos=1,38 [m]
y
=2,14⋅sin=1,71 [m]
Na koniec obliczamy wartość momentu zginającego:
dla x
=1,38 i y=1,71
M
=10,29 [m]
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater