Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

Przekształcenie Laplace’a

1. Definicje podstawowe

Przekształcenie Laplace’a przyporządkowuje funkcji f (t) zmiennej rzeczywistej t funkcję F (s)
zmiennej zespolonej s według wzoru zwanego całką Laplace’a

F (s) =

Z

∞

−∞

f (t)e

−st

dt

(1)

Funkcja f (t) nazywa się oryginałem, a odpowiadająca jej funkcja F (s) – transformatą. W teorii
sterowania używane jest tzw. jednostronne przekształcenie Laplace’a, w którym transforamta
związana jest z oryginałem zależnością

F (s) =

Z

∞

0

f (t)e

−st

dt = L {f (t)}

(2)

Stosując to przekształcenie zakłada się, że f (t) = 0 dla t < 0.

2. Właściwości przekształcenia

Poniżej zostaną wyszczególnione najważniejsze właściwości przekształcenia Laplace’a.

• Liniowość przekształcenia Laplace’a

Jeżeli a, b ∈ R i istnieją transformaty funkcji f (t) i g(t) to:

L {af (t) + bg(t)} = aL {f (t)} + bL {g(t)}

(3)

• Twierdzienie o transformacie pochodnej

L



f

0

(t)

= sL {f (t)} − f (0

+

)

(4)

Wzór ogólny ma postać:

L

n

f

(n)

(t)

o

= s

n

L {f (t)} − s

n−1

f (0

+

) − s

n−2

f

0

(0

+

) − . . . − sf

(n−2)

(0

+

) − f

(n−1)

(0

+

) (5)

• Twierdzienie o transformacie całki

L

Z

t

0

f (τ )dτ



=

1
s

L {f (t)} +

1
s

Z

t

0

f (τ )dτ







t=0

(6)

• Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej

Jeżeli L {f (t)} = F (s) to:

L

n

e

−αt

f (t)

o

= F (s + α)

(7)

• Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej

L {f (t − τ )} = e

−τ s

L {f (t)}

(8)

• Twierdzenie o zmianie skali

Jeżeli L {f (t)} = F (s) i α > 0 to:

L {f (αt)} =

1

α

F (

s

α

)

(9)

• Twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie zmiennej zespolonej

Jeżeli L {f (t)} = F (s) to:

L {tf (t)} = (−1)

dF (s)

ds

L {t

n

f (t)} = (−1)

n

d

n

F (s)

ds

n

(10)

• Twierdzenie o transformacie funkcji okresowej

Jeżeli dana jest funkcja okresowa f (t) = f (t+T ), gdzie T jest okresem, oraz jej transformata
za jeden okres L {f

T

(t)} = F

T

(s), to:

L {f (t)} =

F

T

(s)

1 − e

−sT

(11)

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

1

Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

• Twierdzienia o wartościach granicznych

Jeżeli istnieje lim

t→∞

f (t) i L {f (t)} = F (s) to:

lim

t→∞

f (t) = lim

s→0

sF (s)

(12)

Jeżeli istnieje lim

t→0+

f (t) i L {f (t)} = F (s) to:

lim

t→0+

f (t) = lim

s→∞

sF (s)

(13)

• Twierdzenie o transformacie splotu (tzw. twierdzenie Borela)

Jeżeli istnieją transformaty funkcji L {f (t)} = F (s) i L {g(t)} = G(s), to:

L {f (t) ∗ g(t)} = F (s)G(s)

(14)

Gdzie operator ∗ jest operatorem splotu całkowego, zdefiniowanym następująco

f ∗ g =

Z

f (t − τ )g(τ )dτ

(15)

3. Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji

oryginał f (t)

transformata L

założenia

1

δ(t)

1

2

1

1(t)

1
s

3

t

n−1

(n − 1)!

1

s

n

n 6= 1

4

t

n

n!

s

n+1

n 6= 1

5

e

−at

1

s + a

a 6= 0

6

te

−at

1

(s + a)

2

a 6= 0

7

t

n−1

(n − 1)!

e

−at

1

(s + a)

n

n 6= 0

8

1
a



1 − e

−at



1

s(s + a)

a > 0

9

1
a



e

at

− 1



1

s(s − a)

a > 0

10

sin(ωt)

ω

s

2

+ ω

2

ω 6= 0

11

cos(ωt)

s

s

2

+ ω

2

ω 6= 0

12

sinh(ωt)

ω

s

2

− ω

2

13

cosh(ωt)

s

s

2

− ω

2

14

1

ω

(1 − cos(ωt))

1

s(s

2

+ ω

2

)

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

2

Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

3.1. Metoda rozkładu na ułamki proste

Większość transformat Laplace’a sygnałów ciągłych jest funkcjami wymiernymi tzn. da się
wyróżnić w nich licznik i mianownik

X(s) =

L(s)

M (s)

=

a

l

s

l

+ a

l−1

s

l−1

+ ... + a

1

s + a

0

b

m

s

m

+ b

m−1

s

m−1

+ ... + b

1

s + b

0

(16)

gdzie L(s) i M (s) są wielomianami zmiennej s. Takie wyrażenie można rozłożyć na ułamki
proste wg ogólnej zależności, mającej postać:

X(s) =

A

1

(s − p

1

)

+ . . . +

A

n

(s − p

1

)

n

+

B

1

s − p

2

+ . . . +

B

m

(s − p

2

)

m

+ . . . +

C

1

s

2

− c

1

s + d

1

+ . . . (17)

Takie rozwinięcie pozwala dla jego kolejnych wyrazów zastosować bezpośrednio tablicę trans-
format i otrzymać zatem w postaci zwartej odpowiednią funkcję czasu.
Poszukiwanie transformaty odwrotnej będzie więc polegało na zbadaniu pierwiastków mianow-
nika. Pojawiające się stałe można wyznaczyć sprowadzając prawą stronę równania (17) do
wspólnego mianownika i następnie porównać współczynniki przy takich samych potęgach s z
licznikiem L(s).
Czasami można jednak uprościć obliczenia. Rozpatrzmy tutaj następujące przypadki:
• Pojedyncze miejsca zerowe mianownika

Transformata taka jest rozkładana w następujący sposób. Niech mianownik posiada m pier-
wiastków, wtedy

F (s) =

L(s)

(s − p

1

)(s − p

2

) . . . (s − p

m

)

=

A

1

s − p

1

+

A

2

s − p

2

+ . . . +

A

m

s − p

m

(18)

gdzie p

1

. . . p

m

są miejscami zerowymi (biegunami transformaty), a A

1

. . . A

m

pewnymi sta-

łymi. Do ich wyznaczenia można posłużyć się następującymi zależnościami:

A

i

=

L(s)(s − p

i

)

M (s)







s=p

i

(19)

Powyższe wzory zachowują słuszność także dla p = 0. Transformatą odwrotną (oryginałem)
jednego elementu (18) jest wg tabeli z punktu 3

L

−1



A

s − p



= Ae

pt

(20)

• Wielokrotne miejsca zerowe mianownika.

Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że mianownik M (s) posiada jeden biegun p o krotności
m. Taką transformatę rozkładamy w następujący sposób:

X(s) =

L(s)

(s − p)

m

=

A

1

s − p

+

A

2

(s − p)

2

+ . . . +

A

m

(s − p)

m

(21)

gdzie A

1

. . . A

m

znajdujemy z następujących wzorów:

A

m

=

L(s)(s − p)

m

M (s)







s=p

(22a)

A

m−1

=

d

ds



L(s)(s − p)

m

M (s)

 





s=p

(22b)

..

.

A

m−i

=

1

i!

d

i

ds

i



L(s)(s − p)

m

M (s)

 





s=p

(22c)

gdy występuje kilka wielokrotnych biegunów i transformata wygląda jak

X(s) =

L(s)

(s − p

1

)

m

1

(s − p

2

)

m

2

· · · (s − p

k

)

m

k

(23)

każdy biegun rozkładamy jak wyżej i sumujemy wyrazy końcowe. Transformatą odwrotną
jednego składnika sumy (21) jest

L

−1



A

i

(s − p)

i



= A

i

t

i−1

(i − 1)!

e

pt

(24)

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

3

Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

• Trójmian kwadratowy o ∆ < 0.

Załóżmy, że transformata da się zapisać w następujący sposób:

X(s) =

L(s)

(s

2

+ bs + c)M

1

(s)

=

As + B

s

2

+ as + b

+

L

1

(s)

M

1

(s)

(25)

gdzie L

1

(s)/M

1

(s) jest iloczynem wielomianów o rzeczywistych pierwiastkach, tzn. można

zastosować rozkład na ułamki proste wg powyższych zależności. Natomiast b

2

1

−4b

2

< 0, wiec

trójmian ten posiada pierwiastki zespolone. Wtedy należy rozłożyć część L

1

(s)/M

1

(s) tak jak

powyżej, natomiast parametry A, B należy uzyskać metodą przyrównania współczynników.
Transformaty odwrotne ułamków składowych L

1

(s)/M

1

(s) znajdziemy w tabeli z punktu 3,

natomiast transformatę odwrotną

L

−1



As + B

s

2

+ as + b



(26)

możemy wyznaczyć w następujący sposób.
Zapiszmy transformatę (26) w postaci

As + B

s

2

+ as + b

=

As + B

(s + α)

2

+ β

(27)

gdzie: 2a = α, b = α

2

+ β, stąd wynika α = a/2, β = b − α

2

/4. Następnie możemy rozbić tą

transformatę na sumę ułamków

As + B

(s + α)

2

+ β

=

A(s + α)

(s + α)

2

+ β

+

B − Aα

(s + α)

2

+ β

(28)

Transformaty odwrotne powyższych ułamków znajdziemy korzystając z tabeli transformat
z punktu 3, oraz stosując twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej.

L

−1



A(s + α)

(s + α)

2

+ β



= Ae

−αt

cos

p

βt

L

−1



B − Aα

(s + α)

2

+ β



=

B − Aα

√

β

e

−αt

sin

p

βt

Ostatecznie otrzymamy

L

−1



As + B

s

2

+ as + b



= e

−αt



A cos

p

β +

B − Aα

√

β

sin

p

βt



(29)

dla t > 0.

Przykład.
Znajdź oryginał transformaty

X(s) =

s + 4

s

2

+ 4s + 5

(30)

Pierwiastki mianownika są zespolone (∆ = 4

2

− 4 · 5 = −4), ale możemy zapisać

s + 4

s

2

+ 4s + 5

=

s + 4

(s + 2)

2

+ 1

(31)

Można wtedy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie zmiennej zespolonej. Prze-
kształcając dalej otrzymamy

s + 4

(s + 2)

2

+ 1

=

s + 2

(s + 2)

2

+ 1

+

2

(s + 2)

2

+ 1

(32)

Oryginały każdego z tych ułamków będą równe

L

−1



s + 2

(s + 2)

2

+ 1



= e

−2t

cos t

L

−1



2

1

(s + 2)

2

+ 1



= 2e

−2t

sin t

Ostatecznie otrzymamy

x(t) = e

−2t

(cos t + 2 sin t)

(33)

dla t > 0.

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

4

Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

4. Rachunek operatorowy

Jednym z możliwych zastosowań przekształcenia Laplace’a jest rozwiązywanie równań różnicz-
kowych liniowych. Poniżej przedstawiono sposób postępowania:
• Równanie różniczkowe o ogólnej postaci

dx

dt

= f (x, t)

(34)

przy podanych warunkach początkowych x(0) jest równaniem w dziedzinie czasu t. Należy
sprowadzić je do przestrzeni zmiennej zespolonej s przez transformowanie obu stron tego
równania transformatą Laplace’a.

L



dx

dt



= L {f (x, t)}

(35)

• Zakładamy istnienie transformat L {x(t)} = X(s), oraz L {f (x, t)} = F (s). Teraz równanie

różniczkowe przekształci się do postaci

X(s)M (s) = L(s)

(36)

gdzie X(s) jest poszukiwaną transformatą odpowiedzi, a L(s), M (s) są funkcjami zmiennej
s. W przypadku gdy równanie różniczkowe jest liniowe o współczynnikach rzeczywistych,
wtedy L(s), M (s) są wielomianami również o rzeczywistych współczynnikach.

• To równanie jest równaniem algebraicznym, więc wyznaczenie X(s) jest zwykle łatwiejsze,

niż rozwiązywanie równania różniczkowego. Ponieważ L(s), M (s) są wielomianami, wyzna-
czenie X(s) sprowadza się do:

X(s) =

L(s)

M (s)

(37)

• Otrzymaliśmy transformatę rozwiązania. Ponieważ X(s) jest funkcją wymierną zmiennej s,

można otrzymać poszukiwane rozwiązanie x(t) = L

−1

{X(s)} przez rozkład na ułamki pro-

ste. Należy pamiętać, że w przypadku stosowania transformaty jednostronnej, rozwiązanie
jest prawdziwe dla t > 0.

Przykład.
Należy rozwiązać równanie różniczkowe

d

2

y(t)

dt

2

+ 4

dy(t)

dt

+ 3y(t) = 2e

−t

(38)

przy warunkach początkowych y(0) = 1, y

0

(0) = 0 dla t > 0.

Zastosujmy przekształcenie Laplace’a do prawej i lewej strony tego równania

L

(

d

2

y(t)

dt

2

+ 4

dy(t)

dt

+ 3y(t)

)

= L

n

2e

−t

o

(39)

Transformaty kolejnych elementów będą równe

L

(

d

2

y(t)

dt

2

)

= s

2

Y (s) − sy(0) − y

0

(0) = s

2

Y (s) − s

(40)

L



dy(t)

dt



= sY (s) − y(0) = sY (s) − 1

(41)

L

n

2e

−t

o

=

2

s + 1

(42)

W dziedzinie zmiennej zespolonej równanie to przyjmie postać

s

2

Y (s) − s + 4sY (s) − 4 + 3Y (s) =

2

s + 1

(43)

Porządkując wyrazy dostaniemy

Y (s)(s

2

+ 4s + 3) =

2

s + 1

+ s + 4 =

s

2

+ 5s + 6

s + 1

(44)

co prowadzi do

Y (s) =

s

2

+ 5s + 6

(s + 1)(s

2

+ 4s + 3)

(45)

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

5

Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

ponieważ

s

2

+ 5s + 6 = (s + 3) (s + 2)

(46)

s

2

+ 4s + 3 = (s + 3) (s + 1)

(47)

to otrzymamy

Y (s) =

s + 2

(s + 1)

2

(48)

Transformatę odwrotną takiej funkcji wymiernej znajdziemy przez rozkład na ułamki proste.
Rozkład ten będzie miał postać

s + 2

(s + 1)

2

=

A

1

s + 1

+

A

2

(s + 1)

2

(49)

Stałe A

1

, A

2

będą równe

A

2

= lim

s→−1

s + 2

(s + 1)

2

(s + 1)

2

= 1

(50)

A

1

= lim

s→−1

d

ds

s + 2

(s + 1)

2

(s + 1)

2

= 1

(51)

i otrzymamy

s + 2

(s + 1)

2

=

1

s + 1

+

1

(s + 1)

2

(52)

Transformaty odwrotne każdego z tych ułamków będą równe

L

−1



1

s + 1



= e

−t

(53)

L

−1



1

(s + 1)

2



= te

−t

(54)

Ostatecznie końcowy wynik będzie miał postać

x(t) = L

−1

{X(s)} = e

−t

+ te

−t

(55)

dla t > 0.

5. Zadania

1. Znaleźć transformatę odwrotną do:

a)

3

s

2

− s − 2

b)

s + 1

2s

2

− s − 2

c)

s

s

2

+ s − 2

d)

3

s

2

+ 6s + 18

e)

s

s

2

+ s − 6

f)

s

s

2

+ 6s + 18

2. Znaleźć x(t) jeżeli X(s) wynosi:

a)

19

s

3

− s

2

− 2s − 12

b)

27 s

2

+ 5 s − 8

6 s

3

+ 8 s

2

− 10 s − 4

c)

−11 − 6s

s

3

+ 5 s

2

+ 10 s + 12

d)

2 s + 4

2 s

3

− 7 s

2

+ 2 s + 3

e)

9 s

3

+ 36 s

2

+ 24 s + 4

9 s

5

+ 6 s

4

+ s

3

f)

2 s + 4

2 s

3

− 7 s

2

+ 2 s + 3

g)

36 s

2

− 6 s + 1

27 s

4

− 18 s

3

+ 3 s

2

h)

14 s

2

+ 12 s + 21

4 s

4

+ 4 s

3

+ 37 s

2

+ 36 s + 9

i)

14 s

2

+ 3

4 s

4

+ s

2

j)

4 s

2

+ 7 s + 18

3 s

3

+ 19 s

2

+ 60 s + 18

k)

4
3

s

2

+ s + 2

s

3

+ 4 s

2

+ 8 s

l)

16 s

2

− 4 s + 3

4 s

3

− 4 s

2

+ s − 1

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

6

Wersja z 20 lutego 2009

TEORIA STEROWANIA

Materiały pomocnicze

3. Stosując rachunek operatorowy rozwiąż równanie różniczkowe:

a)

d

2

dt

2

y(t) + 3 y(t) = 0

y(0) = 1 y

0

(0) = 0

b)

d

2

dt

2

y(t) +

d

dt

y(t) + 1/2 y(t) = 1/2 t

y(0) = −1 y

0

(0) = 1/2

c)

d

dt

y(t) + 1/2 y(t) = sin(1/2 t)

y(0) = 0 y

0

(0) = 0

d)

d

2

dt

2

y(t) + 4

d

dt

y(t) + 4 y(t) = 2

y(0) = 0 y

0

(0) = 1

e)

d

2

dt

2

y(t) + y(t) = 1

y(0) = 3 y

0

(0) = 1

f)

d

2

dt

2

y(t) + 4

d

dt

y(t) + 5 y(t) = 0

y(0) = 2 y

0

(0) = −3

6. Rozwiązania zadań

2.

a) e

3 t

− e

−t

cos(

√

3t) + 4/3

√

3 sin(

√

3t)

b) e

t

+ 1/2 e

−1/3 t

+ 3 e

−2 t

c) e

−3 t

− e

−t

cos(

√

3t) + 4/3

√

3 sin(

√

3t)

d) 2/7 e

−1/2 t

+ 5/7 e

3 t

− e

t

e) 2 t

2

+ te

−1/3 t

f) 2/7 e

−1/2 t

+ 5/7 e

3 t

− e

t

g) 1/3 t + te

1/3 t

h) 1/2 te

−1/2 t

+ sin(3 t)

i) 3 t + sin(1/2 t)

j) (cos(3 t) − sin(3 t)) e

−3 t

+ 1/3 e

−1/3 t

k)

1
3

+ (cos(2 t) − sin(2 t)) e

−2 t

l) 3 e

t

+ cos(1/2 t)

3.

a) y(t) = cos(

√

3t)

b) y(t) = −2 + t + e

−1/2 t

cos(1/2 t)

c) y(t) = − cos(1/2 t) + sin(1/2 t) + e

−1/2 t

d) y(t) = 1/2 − 1/2 e

−2 t

e) y(t) = 1 + 2 cos(t) + sin(t)

f) y(t) = e

−2 t

sin(t) + 2 e

−2 t

cos(t)

c

°Krzysztof Piątek [e-mail]

7