Przekształcenie Laplace

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

Przekształcenie Laplace'a

Przekształcenie Laplace’a jest stosowane do opisu stanów nieustalonych w liniowych układach regulacji. Największą zalet

przekształcenia Laplace’a jest mo

zapisania

żliwość

równania różniczkowego liniowego w postaci transmitancji operatorowej. Transmitancja operatorowa opisuje właściwości dynamiczne elementów automatyki tworzących schemat blokowy układu regulacji oraz umożliwia obliczanie charakterystyk czasowych i częstotliwościowych.

• Definicja

Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym sygnał x(t) na pewną funkcję zespoloną X(s)

Dziedzinę funkcji X(s) (L-transformaty) tworzą te wartości zmiennej zespolonej s, dla których całka we wzorze jest zbieżna.

• Warunki istnienia transformacji Laplace'a

1

dla t ≥

f (t) =

0 dla t < 0

W zagadnieniach opisu układów fizykalnych występują zawsze takie funkcje dla których przekształcenie Laplace'a jest wykonalne.

• Zastosowania

Transformata Laplace'a oddaje nieocenione usługi w wielu dziedzinach nauki i techniki. Jej zasadnicze zastosowanie to rozwiązywanie równań różniczkowych. Dokładnie rzecz ujmując, dla wielu klas równań różniczkowych zastosowanie transformaty Laplace'a sprowadza problem rozwiązania równania różniczkowego do problemu rozwiązania pewnego liniowego równania algebraicznego.

• Równania różniczkowe zwyczajne

Najwdzięczniejszym obiektem zastosowań transformacji Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach. Równania takie pojawiają się często podczas opisu układów elektrycznych, mechanicznych czy też układów automatyki.

• Równania różniczkowe cząstkowe

Przekształcenie Laplace'a może być użyte do rozwiązywania niektórych równań różniczkowych cząstkowych. W elektrotechnice sztandarowym przykładem są linie długie -

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

obwody elektryczne, których rozmiary geometryczne powodują opóźnienia istotnie wpływające na zachowanie układu.

• Równania całkowe

Transformacja Laplace'a ma zastosowanie dla rozwiązywania pewnych klas równań całkowych czy też różniczkowo całkowych. W postaci takiego równania mogą być sformułowane np. równania opisujące linię długą.

• Transmitancja

Cechą charakterystyczną liniowych obwodów elektrycznych jest fakt, że transformata Laplace'a dowolnego napięcia lub prądu w układzie jest liniowa kombinacją transformat napięć (prądów) wymuszających oraz warunków początkowych występujących na pojemnościach (napięcia) i indukcyjności (prądów). Własność ta jest konsekwencją liniowości równań opisujących obwód oraz niezmienności w czasie parametrów obwodu (wartości pojemności, indukcyjności, oporności itd.). Cecha ta jest własnością nie tylko obwodów elektrycznych. Mają ją np. liczne układy mechaniczne czy układy automatycznego sterowania. Ogólnie układy takie tworzą klasę układów liniowych niezmiennych ze względu na przesunięcia w dziedzinie czasu. Transformatę Laplace’a stosuje się także do badania odpowiedzi impulsowej układu oraz badania stabilności układu.

• Twierdzenia (właściwości) dotyczące przekształcenia Lapace’a

• Liniowość

Podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest liniowość; innymi słowy przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji.

• Transformata całki funkcji

Jeśli funkcja czasu f(t) ma transformatę F(s) , to całce oznaczonej tej funkcji czasowej odpowiada funkcja operatorowa F(s) podzielona przez operator Laplace’a „s”

∞

Jeżeli :

F(s) = ∫

−

f (t) ⋅ st

e dt

To:

∫ f (t d

) t]=

F(s)

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

(

φ s) = F(s)

• Transformata pochodnej funkcji

Jeśli funkcja czasu f(t)ma dla t>0 pochodną f’(t) i istnieje transformata L[f’(t)]tej pochodnej, to istniej również transformata funkcji f(t) L[f’(t)]=F(s)

gdzie

jest prawostroną granicą funkcji f(t) dla

• Transformata drugiej pochodnej jest równa

• Transformata n-tej pochodnej jest równa

• Twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym, czyli o opóźnieniu Funkcję czasu f(t) transformowalną według Laplace'a możemy zawsze przedstawić w postaci f(t)=f(t)*1(t) w celu uwypuklenia, że funkcja ta zanika dla chwil ujemnych.

• Twierdzenie o przesunięciu zespolonym

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7