mgr Ewa Pªonkowska

21.12.2008

4 Przeksztaªcenie Laplace'a

4.1 Przeksztaªcenie proste Laplace'a

Denicja 4.1 Funkcja f :< 0, +∞) → C ci¡gªa w prawie wszystkich punktach dziedziny jest rz¦du
wykªadniczego α , je»eli istniej¡ staªe rzeczywiste α i M > 0 takie, »e dla wszystkich t ∈< 0, +∞)
zachodzi nierówno±¢

|f (t)| ≤ M · e

αt

Denicja 4.2 Przeksztaªceniem Laplace'a L [f(t)] funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t o warto±ci-
ach zespolonych nazywamy przyporz¡dkowanie funkcji f(t) funkcji zespolonej F (z) wedªug wzoru

F (z) = L [f (t)] =

Z

+∞

0

f (t) · e

−zt

dt

, gdzie z=x+iy

f (t)

nazywamy oryginaªem, F (z) nazywamy transformat¡.

Twierdzenie 4.1 (O istnieniu transformaty) .
Je»eli oryginaª f(t) jest rz¦du wykªadniczego α, to transformata F (z) istnieje dla takich z, dla których
Rez > α

.

Pochodna transformaty n-tego rz¦du wyra»a si¦ wzorem:

F

(n)

(z) = (−1)

n

Z

+∞

0

t

n

f (t)e

−zt

dt

Przykªad 4.1 Oblicz transformat¦ funkcji f(t) = e

λt

.

Rozwi¡zanie:

F (z) =

Z

+∞

0

f (t)e

−zt

dt =

Z

+∞

0

e

λt

e

−zt

dt =

Z

+∞

0

e

(λ−z)t

dt =

1

λ − z

Z

+∞

0

(λ − z)e

(λ−z)t

dt =

1

λ − z

e

(λ−z)t

+∞

0

=

1

λ − z

(0 − 1) =

1

z − λ

Wªasno±ci:

1. Liniowo±¢

L[af (t) + bg(t)] = aL[f (t)] + bL[g(t)]

gdzie a, b ∈ C

2. Podobie«stwo

L[f (at)] =

1

a

F

z

a

gdzie a ∈ R

+

3. Tªumienie transformaty

L[f (t − a)] = e

−za

F (z)

gdzie a ∈ R

+

4. Tªumienie oryginaªu

L

e

λt

f (t)

= F (z − λ)

gdzie λ ∈ C

5. Ró»niczkowanie transformaty

L [t

n

f (t)] = (−1)

n

F

(n)

(z)

6. Ró»niczkowanie oryginaªu

L

h

f

(n)

(t)

i

= z

n

F (z) − z

n−1

f (t

0

) − z

n−2

f

0

(t

1

)... − zf

(n−2)

(t

n−2

) − f

(n−1)

(t

n−1

)

gdzie f(t

0

), f

0

(t

1

), f

(n−2)

(t

n−2

), f

(n−1)

(t

n−1

)

warunki pocz¡tkowe.

1

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

21.12.2008

Tabela podstawowych transformat:

f(t)

t

n

e

λt

sin t

cos t

sh t

ch t

t

n

e

λt

sin(ωt)

cos(ωt)

e

λt

sin(ωt)

F(t)

n!

z

n+1

1

z−λ

1

z

2

+1

z

z

2

+1

1

z

2

−1

z

z

2

−1

n!

(z−λ)

n+1

ω

z

2

+ω

2

z

z

2

+ω

2

ω

(z−λ)

2

+ω

2

Przykªad 4.2 Wyko»ystuj¡c wªasno±ci transformaty obliczy¢ L te

−2t

cos

t

3

.

Rozwi¡zanie:

F

1

(z) = L [cos t] =

z

z

2

+ 1

F

2

(z) = L

cos

t

3

=

1

1/3

F

1

(3z) =

9z

9z

2

+ 1

F

3

(z) = L

e

−2t

cos

t

3

= F

2

(z − (−2)) =

9(z + 2)

9(z + 2)

2

+ 1

F

4

(z) = L

te

−2t

cos

t

3

= (−1)

1

F

0

3

= −

9(z + 2)

9(z + 2)

2

+ 1

0

=

9 9(z + 2)

2

− 1

(9(z + 2)

2

+ 1)

2

Denicja 4.3 Splotem dwóch funkcji f(t) i g(t) nazywamy wyra»enie

f (t) ∗ g(t) =

Z

t

0

f (u)g(t − u)du

UWAGA: f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t)

Twierdzenie 4.2

L [f (t) ∗ g(t)] = F (z) · G(z)

L

d

dt

(f (t) ∗ g(t))

= z · F (z) · G(z)

4.2 Przeksztaªcenie odwrtotne Laplace'a

Metody poszukiwania odwrotnego przeksztaªcenia Laplace'a.

L

−1

1

z

F (z)

=

Z

t

0

f (u)du

Metoda splotu

L

−1

[F

1

(z)F

2

(z)] = f

1

(t) ∗ f

2

(t)

L

−1

[z · F

1

(z)F

2

(z)] =

d

dt

[f

1

(t) ∗ f

2

(t)]

Metoda rozkªadu na uªamki proste

Q

m

(x)

(ax − b)

n

P

k

(x)

=

A

n

(ax − b)

n

+

A

n−1

(ax − b)

n−1

+ ... +

A

1

(ax − b)

+

P

k−1

(x)

P

k

(x)

Przykªad 4.3 Znale¹¢ odwrotne przeksztaªcenie Laplace'a funkcji: F (z) =

z

(z−1)(z

2

+1)

.

Zastosuj metod¦ rozkªadu na uªamki proste i metod¦ splotu funkcji.
Odp: y(t) =

1
2

(e

t

− cost − sint)

2

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

21.12.2008

4.3 Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a do rozwi¡zywania równa« ró»niczkowych

liniowych o staªych wspóªczynnikach

Mamy równanie

a

n

y

(n)

+ a

n−1

y(n − 1) + ... + a

1

y

0

+ a

0

y = f (t)

gdzie a

n

, a

n−1

, ... a

1

, a

n

∈ R oraz a

n

6= 0

Szukamy fynkcji y(t).
Dane s¡ warunki pocz¡tkowe: y(0) = P

0

, y

0

(0) = P

1

, ... y

n−1

(0) = P

n−1

.

Oznaczamy: L [f(t)] = F (z)
L [y(t)] = Y (z)
Korzystaj¡c ze wzoru na ró»niczkowanie oryginaªu, mamy:
L [y

0

(t)] = zY (z) − P

0

L [y

00

(t)] = z

2

Y (z) − zP

0

− P

1

...
L

y

(n)

(t)

= z

n

Y (z) − z

n−1

P

0

− ..... − P

n−1

Wstawiaj¡c do równania otrzymujemy:

Y (z) =

F (z) + M

a

n

z

n

+ ...a

1

z + a

0

Rozwi¡zanie y(t) uzyskamu po obliczniu transformaty odwrotnej tj. y(t) = L

−1

[Y (z)]

Przykªad 4.4 Rozwi¡» równanie:

y

000

+ y

0

= 1

Z warunkami brzegowymi y(0) = y

0

(0) = y

00

(0) = 1

Rozwi¡zanie:
L(1) = 1/z
L (y) = Y (z)
L (y

0

) = zY (z) − 1

L (y

00

) = z

2

Y (z) − z − 1

L (y

000

) = z

3

Y (z) − z

2

− z − 1

Wstawiaj¡c do równania:

L(y

000

) + L(y

0

) = L(1)

z

3

Y (z) − z

2

− z − 1 + zY (z) − 1 =

1

z

z

3

+ z

Y (z) = z

2

+ z + 2 +

1

z

Y (z) =

z

3

+ z

2

+ 2z + 1

z

4

+ z

2

Rozkªadaj¡c na uªamki proste otrzymujemy:

Y (z) =

2

z

+

1

z

2

+

−z

z

2

+ 1

Poniewa» L

−1

(1/z) = 1

, L

−1

(1/z

2

) = t

, L

−1

(z/z

2

+ 1) = cos t

y(t) = L

−1

[Y (z)] = 2 · 1 + t − cos t

.

3

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/