P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

Przekształcenie Laplace'a

Przekształcenie Laplace’a jest stosowane do opisu stanów nieustalonych w liniowych

układach regulacji. Największą

zaletą

przekształcenia Laplace’a jest możliwość

zapisania

równania różniczkowego liniowego w postaci transmitancji operatorowej. Transmitancja
operatorowa opisuje właściwości dynamiczne elementów automatyki tworzących schemat
blokowy układu regulacji oraz umożliwia obliczanie charakterystyk czasowych i
częstotliwościowych.

•

Definicja

Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym sygnał x(t) na pewną funkcję
zespoloną X(s)

Dziedzinę funkcji X(s) (L-transformaty) tworzą te wartości zmiennej zespolonej s, dla
których całka we wzorze jest zbieżna.

•

Warunki istnienia transformacji Laplace'a









<<<<

≥≥≥≥

====

0

t

dla

0

0

t

dla

1

)

t

(

f

W zagadnieniach opisu układów fizykalnych występują zawsze takie funkcje dla których
przekształcenie Laplace'a jest wykonalne.

•

Zastosowania

Transformata Laplace'a oddaje nieocenione usługi w wielu dziedzinach nauki i techniki. Jej
zasadnicze zastosowanie to rozwiązywanie równań różniczkowych. Dokładnie rzecz ujmując,
dla wielu klas równań różniczkowych zastosowanie transformaty Laplace'a sprowadza
problem rozwiązania równania różniczkowego do problemu rozwiązania pewnego liniowego
równania algebraicznego.

•

Równania różniczkowe zwyczajne

Najwdzięczniejszym obiektem zastosowań transformacji Laplace'a jest rozwiązywanie
równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach. Równania takie pojawiają
się często podczas opisu układów elektrycznych, mechanicznych czy też układów automatyki.

•

Równania różniczkowe cząstkowe

Przekształcenie Laplace'a może być użyte do rozwiązywania niektórych równań
różniczkowych cząstkowych. W elektrotechnice sztandarowym przykładem są linie długie -

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

obwody elektryczne, których rozmiary geometryczne powodują opóźnienia istotnie
wpływające na zachowanie układu.

•

Równania całkowe

Transformacja Laplace'a ma zastosowanie dla rozwiązywania pewnych klas równań
całkowych czy też różniczkowo całkowych. W postaci takiego równania mogą być
sformułowane np. równania opisujące linię długą.

•

Transmitancja

Cechą charakterystyczną liniowych obwodów elektrycznych jest fakt, że transformata
Laplace'a dowolnego napięcia lub prądu w układzie jest liniowa kombinacją transformat
napięć (prądów) wymuszających oraz warunków początkowych występujących na
pojemnościach (napięcia) i indukcyjności (prądów). Własność ta jest konsekwencją
liniowości równań opisujących obwód oraz niezmienności w czasie parametrów obwodu
(wartości pojemności, indukcyjności, oporności itd.). Cecha ta jest własnością nie tylko
obwodów elektrycznych. Mają ją np. liczne układy mechaniczne czy układy automatycznego
sterowania. Ogólnie układy takie tworzą klasę układów liniowych niezmiennych ze względu
na przesunięcia w dziedzinie czasu. Transformatę Laplace’a stosuje się także do badania
odpowiedzi impulsowej układu oraz badania stabilności układu.

•

Twierdzenia (właściwości) dotyczące przekształcenia Lapace’a

•

Liniowość

Podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest liniowość; innymi słowy
przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji.

•

Transformata całki funkcji

Jeśli funkcja czasu f(t) ma transformatę F(s) , to całce oznaczonej tej funkcji czasowej
odpowiada funkcja operatorowa F(s) podzielona przez operator Laplace’a „s”

Jeżeli :

∫∫∫∫

∞

∞

∞

∞

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

0

st

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

To:

[[[[

]]]]

s

)

s

(

F

dt

)

t

(

f

L

t

0

====

∫∫∫∫

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

)

s

(

F

s

1

)

s

(

====

φφφφ

•

Transformata pochodnej funkcji

Jeśli funkcja czasu f(t)ma dla t>0 pochodną f’(t) i istnieje transformata L[f’(t)]tej pochodnej,
to istniej również transformata funkcji f(t) L[f’(t)]=F(s)





gdzie


jest prawostroną granicą funkcji f(t) dla

•

Transformata drugiej pochodnej jest równa

•

Transformata n-tej pochodnej jest równa

•

Twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym, czyli o opóźnieniu

Funkcję czasu f(t) transformowalną według Laplace'a możemy zawsze przedstawić w
postaci f(t)=f(t)*1(t) w celu uwypuklenia, że funkcja ta zanika dla chwil ujemnych.

•

Twierdzenie o przesunięciu zespolonym

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

gdzie a jest w przypadku ogólnym wielkością zespoloną.

•

Twierdzenie o wartości początkowej

Jeśli istnieje granica funkcji f(t) dla t

0+, to wartość początkowa wyraża się zależnością:

•

Twierdzenie o wartości końcowej

Jeśli istnieje granica funkcji f(t) dla t

, to wartość końcowa wyraża się zależnością:

•

Transformata splotu - twierdzenie Borela

•

Twierdzenie o zmianie skali, czyli o podobieństwie
Przy liczbie k rzeczywistej i dodatniej:

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

•

Tabela Transformat Laplace'a

P r z e k s z t a ł c e n i a L a p l a c e ’ a

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

•

DODATEK

L i c z b a Π = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6

Limeryk: Źle w mgle i snach bolejącym do wiedzy progu iść.

L i c z b a „ e ” = 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9

Literatura:

•

http://www.kmg.ps.pl/to/przeksztalcenie_laplacea/index.html

•

Notatki kolegi z starszego roku

•

http://www.it.pw.edu.pl/~zab/wyklad003/wyklad003.htm

•

http://www.math.edu.pl/liczba-e

•

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi