Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym sygnał x(t) na pewną funkcję zespoloną X(s) zgodnie ze wzorem:

Dziedzinę funkcji X(s) (L-transformaty) tworzą te wartości zmiennej zespolonej s, dla których całka we wzorze jest zbieżna.

Transformata Laplace'a oddaje nieocenione usługi w wielu dziedzinach nauki i techniki. Jej zasadnicze zastosowanie to rozwiązywanie równań różniczkowych. Dokładnie rzecz ujmując, dla wielu klas równań różniczkowych zastosowanie transformaty Laplace'a sprowadza problem rozwiązania równania różniczkowego do problemu rozwiązania pewnego liniowego równania algebraicznego.

Równania różniczkowe zwyczajne

Najwdzięczniejszym obiektem zastosowań transformacji Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach. Równania takie pojawiają się często podczas opisu układów elektrycznych, mechanicznych czy też układów automatyki.

Równania różniczkowe cząstkowe

Przekształcenie Laplace'a może być użyte do rozwiązywania niektórych równań różniczkowych cząstkowych. W elektrotechnice sztandarowym przykładem są linie długie - obwody elektryczne, których rozmiary geometryczne powodują opóźnienia istotnie wpływające na zachowanie układu.

Równania całkowe

Transformacja Laplace'a ma zastosowanie dla rozwiązywania pewnych klas równań całkowych czy też różniczkowo całkowych. W postaci takiego równania mogą być sformułowane np. równania opisujące linię długą.

Transmitancja

Cechą charakterystyczną liniowych obwodów elektrycznych jest fakt, że transformata Laplace'a dowolnego napięcia lub prądu w układzie jest liniowa kombinacją transformat napięć (prądów) wymuszających oraz warunków początkowych występujących na pojemnościach (napięcia) i indukcyjności (prądów). Własność ta jest konsekwencją liniowości równań opisujących obwód oraz niezmienności w czasie parametrów obwodu (wartości pojemności, indukcyjności, oporności itd.). Cecha ta jest własnością nie tylko obwodów elektrycznych. Mają ją np. liczne układy mechaniczne czy układy automatycznego sterowania. Ogólnie układy takie tworzą klasę układów liniowych niezmiennych ze względu na przesunięcia w dziedzinie czasu. Transformatę Laplace'a stosuje się także do badania odpowiedzi impulsowej układu oraz badania stabilności

Przykład 1

Obliczyć transformatę Laplace'a następujących dwóch sygnałów:

RozwiÄ…zanie:

Transformata Laplace'a sygnału x1(t):

Granica występująca po prawej stronie powyższego wzoru istnieje i jest równa zero dla takich wartości zmiennej s, które spełniają warunek Re(s)>-1.Dla pozostałych wartości zmiennej s całka definiująca transformatę jest rozbieżna. Ostatecznie dziedziną D1 transformaty £[x1(t)]=1/(1+s) jest otwarta półpłaszczyzna:

Transformata Laplace'a sygnału x2(t):

Granica występująca po prawej stronie powyższego wzoru istnieje i jest równa zero dla takich wartości zmiennej s, które spełniają warunek Re(s)<-1. W rezultacie dziedziną D2 transformaty £[x2(t)]=1/(1+s) jest otwarta półpłaszczyzna:

Biegun funkcji leży dokładnie na wspólnym brzegu obszarów określoności transformat obu sygnałów. Przykład ten pokazuje, że dla każdego sygnału przyczynowego istnieje sygnał nieprzyczynowy taki, że transformata Laplace'a obu sygnałów wyraża się tym samym wzorem. Transformaty obu sygnałów różnią się tylko dziedziną, w której są określone.

Przykład 2

Obliczyć transformatę Laplace'a tzw. jedynki Heaviside'a:

RozwiÄ…zanie:

Całka definiująca:

Występująca po prawej stronie granica jest zbieżna dla Re(s)>0. Stąd:

Dziedziną obrazu jedynki Heaviside'a stanowi półpłaszczyzna otwarta{s: Re(s)>0}.

---