RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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1
Aula 13
Distribuição Uniforme Discreta .................................................................. 2
Distribuição de Bernoulli .......................................................................... 4
Distribuição Binomial ............................................................................... 7
Distribuição Geométrica .......................................................................... 25
Distribuição Hipergeométrica ................................................................... 27
Distribuição de Poisson ........................................................................... 31
Distribuições contínuas ........................................................................... 38
Distribuição Uniforme Contínua ................................................................ 38
Distribuição Exponencial ......................................................................... 40
Distribuição Normal ................................................................................ 42
Distribuição Normal Padrão ..................................................................... 49
Distribuição normal como aproximação da binomial .................................... 74
Tabela para a distribuição normal padrão .................................................. 78
Relação das questões comentadas ........................................................... 79
Gabaritos .............................................................................................. 92
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2
Olá, pessoal!
Tudo bem?
Na aula passada aprendemos noções sobre variáveis aleatórias e aprendemos
conceitos muito importantes como esperança matemática, variância de
variáveis aleatórias, covariância, etc.
Nosso foco nesta 13ª aula será o estudo direcionado das distribuições de
probabilidade. Há distribuições que, por sua importância, merecem um
destaque especial e até um nome! Vamos começar com a mais simples delas.
A distribuição t de Student será estudada na próxima aula nos intervalos de
confiança.
Distribuição Uniforme Discreta
A distribuição uniforme discreta é aquela em que todos os elementos têm a
mesma probabilidade de ocorrer. Podemos citar o exemplo usado na aula
passada: a probabilidade de ocorrência de um número qualquer em um dado
não viciado é 1/6.
Na aula passada já aprendemos como calcular a esperança neste exemplo do
dado:
(
)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
(
)
= 1
Para calcular a esperança, multiplicamos cada valor da variável pela sua
probabilidade, ou seja, multiplicamos
por
(
). Depois somamos tudo.
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3
(
)
∙ (
)
1
1/6
1 ×
1
6 =
1
6
2
1/6
2 ×
1
6 =
2
6
3
1/6
3 ×
1
6 =
3
6
4
1/6
4 ×
1
6 =
4
6
5
1/6
5 ×
1
6 =
5
6
6
1/6
6 ×
1
6 =
6
6
(
)
= 1
Vamos somar tudo agora?
= () =
1
6 +
2
6 +
3
6 +
4
6 +
5
6 +
6
6 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6
=
21
6
= () = 3,50
Repare que poderíamos tornar o cálculo mais breve:
Em uma distribuição uniforme discreta, a esperança é a média aritmética dos
valores.
() =
∑
01. (Economista – TJ/RO 2008/CESGRANRIO)
Uma urna contém dez bolas,
cada uma gravada com um número diferente, de 1 a 10. Uma bola é retirada
da urna aleatoriamente e X é o número marcado nesta bola. X é uma variável
aleatória cujo(a)
(A) desvio padrão é 10.
(B) primeiro quartil é 0,25.
(C) média é 5.
(D) distribuição de probabilidades é uniforme.
(E) distribuição de probabilidades é assimétrica.
Resolução
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4
Como todas as bolas têm a mesma probabilidade de sair, concluímos que sua
distribuição de probabilidades é uniforme.
Letra D
Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de apenas dois
eventos, mutuamente exclusivos, que denominaremos de sucesso e fracasso,
em um experimento que é realizado uma única vez
.
São experimentos que os resultados apresentados apresentam ou não uma
determinada característica.
Vejamos alguns exemplos:
i) Lançamos uma moeda. O resultado ou é “cara” ou não é.
ii) Uma pessoa escolhida, ao acaso, dentre 500 pessoas, é ou não do sexo
feminino.
iii) Em uma urna temos 500 bilhetes numerados de 1 a 500. Retiramos um
bilhete ao acaso. O bilhete sorteado é múltiplo de 11 ou não é.
Em todos esses casos, estamos interessados na ocorrência de um sucesso
(ocorrência de cara, sexo feminino, múltiplo de 11) ou fracasso (ocorrência de
coroa, sexo masculino, número que não múltiplo de 11). Usaremos, a partir de
agora, constantemente esta terminologia (sucesso/fracasso).
Normalmente usamos as seguintes notações:
A probabilidade de ocorrer um sucesso é
.
A probabilidade de ocorrer um fracasso é
= 1 − .
Adotamos o valor 0 para o fracasso e 1 para o sucesso.
Vejamos um exemplo: Lançamos um dado honesto e observamos a face que
fica para cima. Se a face voltada para cima for o número 5, teremos um
sucesso. Se a face voltada para cima for um número diferente de 5, teremos
um fracasso.
Assim, a probabilidade de obtermos um sucesso é igual a
= 1/6 e a
probabilidade de obtermos um fracasso será igual a
= 5/6.
Assim, temos a seguinte distribuição de probabilidades (lembre-se que
adotamos o valor 0 para o fracasso e 1 para o sucesso).
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5
()
0
5/6
1
1/6
Vamos calcular a esperança. Para isto, devemos multiplicar cada valor que a
variável assume pela sua respectiva probabilidade e devemos somar tudo.
()
∙ ()
0
5/6
0
1
1/6
1/6
() = ∙ () = 0 +
1
6 =
1
6
Vamos agora calcular a variância. Para isto, devemos elevar X ao quadrado,
multiplicar pelas probabilidades e somar. Assim, teremos calculado o valor de
(
).
()
∙ ()
²
² ∙ ()
0
5/6
0
0² = 0
0
1
1/6
1/6
1² = 1
1/6
(
) = 0 +
1
6 =
1
6
Agora aplicamos a fórmula da variância:
"² = (
) − #()$
=
1
6 − %
1
6& =
1
6 −
1
36 =
6 − 1
36 =
5
36
Vamos agora generalizar. Temos um experimento de Bernoulli tal que a
probabilidade de um sucesso seja p e a probabilidade de um fracasso seja q.
()
0
1
Vamos calcular a esperança e a variância desta variável aleatória.
Multiplicando cada valor da sua variável pela respectiva probabilidade.
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6
()
∙ ()
0
0
1
Somando...
() = 0 +
() =
Assim, concluímos que a esperança da distribuição de Bernoulli é a própria
probabilidade de obter um sucesso. No nosso exemplo acima, temos que
() = = 1/6.
Vamos agora calcular a variância. Para isto, devemos elevar X ao quadrado,
multiplicar pelas probabilidades e somar. Assim, teremos calculado o valor de
(
).
()
∙ ()
²
² ∙ ()
0
0
0² = 0
0
1
1² = 1
(
) = 0 +
(
) =
Vamos agora aplicar a fórmula da variância.
"² = (
) − #()$
= − ²
Colocando
em evidência, temos:
"² = (1 − )
Como
= 1 − :
"² =
Ou seja, a variância da distribuição de Bernoulli é o produto da probabilidade
de obter um sucesso pela probabilidade de obter um fracasso.
No nosso exemplo, temos:
"² = =
1
6 ∙
5
6 =
5
36
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7
Em resumo, a distribuição de Bernoulli pode assumir os valores 0 e 1
(fracasso e sucesso, respectivamente). A probabilidade de ocorrer um fracasso
é igual a
e a probabilidade de ocorrer um sucesso é . A esperança é igual a
e a variância é igual a .
Distribuição Binomial
Ainda estamos interessados em experimentos que possuam dois resultados
possíveis: um sucesso e um fracasso. É importante destacar que não devemos
associar os nomes “sucesso” e “fracasso” aos seus “reais” significados. Por
exemplo: Um casal terá um filho. Podemos dizer que se o filho for homem
teremos um sucesso e se for uma mulher um fracasso, mas também poderia
ser o contrário: mulher = sucesso e homem = fracasso. Ok?
A diferença da distribuição binomial para a distribuição de Bernoulli é que no
caso anterior o experimento seria realizado apenas uma vez. Aqui na
distribuição binomial realizaremos o experimento n vezes.
Então imagine que repetimos um ensaio de Bernoulli n vezes, ou, como se diz
também, obtemos uma amostra de tamanho n de uma distribuição de
Bernoulli. Suponha ainda que as repetições sejam
independentes
, isto é, o
resultado de um ensaio não tem influência alguma no resultado de qualquer
outro ensaio. Uma amostra particular será constituída de uma sequência de
sucessos e fracassos, ou, se quisermos, de zeros e uns (zero = fracasso e um
= sucesso).
Vamos voltar ao nosso exemplo do dado.
Lançamos um dado honesto e observamos a face que fica para cima. Se a face
voltada para cima for o número 5, teremos um sucesso. Se a face voltada para
cima for um número diferente de 5, teremos um fracasso.
Quando estávamos estudando a distribuição de Bernoulli, nós tínhamos
lançado este dado apenas uma vez. Agora lançaremos este dado n vezes.
Vamos supor que n = 3, ou seja, vamos lançar o dado 3 vezes.
Lembrando: sucesso, neste exemplo, é sair o número 5. Neste caso, temos
= 1/6 e = 5/6.
Pois bem, imagine que lançamos o dado três vezes e obtivemos os seguintes
resultados: 2, 4, 5. Neste caso, tivemos FFS (fracasso, fracasso, sucesso).
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Neste caso, dizemos que a variável binomial assumiu o valor X = 1, pois
obtivemos apenas um sucesso.
Imagine agora que lançamos o dado três vezes e obtivemos os seguintes
resultados: 5, 2, 5. Neste caso, tivemos SFS (sucesso, fracasso e sucesso).
Dizemos agora que a variável binomial assumiu o valor X = 2, pois obtivemos
dois sucessos.
Podemos concluir que se realizamos n ensaios de Bernoulli, o número máximo
de sucessos é igual a n. Ora, se lançamos o dado 3 vezes, podemos obter um
sucesso (resultado = 5) no máximo 3 vezes. Não tem como lançar o dado 3
vezes e o número 5 sair quatro vezes! Ok?
Dessa forma, realizando 3 ensaios de Bernoulli, podemos obter:
- Nenhum sucesso (X=0)
- Um sucesso (X=1)
- Dois sucessos (X=2)
- Três sucessos (X=3).
Nosso objetivo agora será calcular a probabilidade de obtermos k sucessos
(neste caso, k = 0,1,2 ou 3).
Vamos calcular a probabilidade de obtermos nenhum sucesso (X=0).
Neste caso, estamos obtendo 3 fracassos (FFF). Ou seja, queremos lançar o
dado três vezes e obter números diferentes de 5 nos três lançamentos.
Como os eventos são independentes, a probabilidade será o produto das
probabilidades.
Sabemos que a probabilidade de obtermos um número diferente de 5 é igual a
= 5/6. Portanto, a probabilidade de obtermos 3 números diferentes de 5 será
igual a:
( = 0) =
5
6 ∙
5
6 ∙
5
6 =
%
'
(&
)
( = 0) =
125
216
Vamos agora calcular a probabilidade de obtermos um sucesso em 3 ensaios.
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9
Queremos, em três ensaios, obter exatamente um resultado igual a 5.
Queremos, portanto, obter 1 sucesso e dois fracassos. Devemos observar que
o sucesso por ocorrer no primeiro, no segundo ou no terceiro lançamento. Ou
seja, podemos obter SFF, FSF ou FFS.
( = 1) = (*++ ,- +*+ ,- ++*) =
1
6 ∙
5
6 ∙
5
6 +
5
6 ∙
1
6 ∙
5
6 +
5
6 ∙
5
6 ∙
1
6
( = 1) = 3 ∙
1
6 ∙
5
6 ∙
5
6 =
) ∙ %
.
(&
.
∙ %
'
(&
/
( = 1) =
75
216
Vamos agora calcular a probabilidade de obtermos dois sucessos em 3 ensaios.
Queremos obter 2 sucessos, ou seja, queremos obter dois resultados iguais a 5
em 3 lançamentos. Podemos obter SSF ou SFS ou FSS.
( = 2) = (**+ ,- *+* ,- +**) =
1
6 ∙
1
6 ∙
5
6 +
1
6 ∙
5
6 ∙
1
6 +
5
6 ∙
1
6 ∙
1
6
( = 2) = 3 ∙
1
6 ∙
1
6 ∙
5
6 =
) ∙ %
.
(&
/
∙ %
'
(&
.
( = 2) =
15
216
Finalmente, vamos calcular a probabilidade de obtermos 3 sucessos em 3
lançamentos. Ou seja, queremos calcular a probabilidade de os três
lançamentos serem iguais a 5.
( = 3) = (***) =
1
6 ∙
1
6 ∙
1
6
1(2 = )) = %
.
(&
)
( = 3) =
1
216
Poderíamos sempre fazer assim para calcular probabilidades. O problema é
que se o número de ensaios aumenta, a probabilidade fica cada vez mais
complicada de calcular.
Por isso, vamos aprender uma fórmula para calcular essas probabilidades.
Na aula de Análise Combinatória aprendemos como calcular combinações.
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10
3
4,5
= 3
4
5
= 6
7 =
!
! ( − )!
Exemplo:
3
9
=
5!
2! ∙ (5 − 2)! =
5!
2! 3! =
5 ∙ 4 ∙ 3!
2 ∙ 1 ∙ 3! =
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10
A maneira mais fácil de utilizar esta fórmula é a seguinte:
O número de combinações sempre será uma fração.
3
9
=
No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor número.
3
9
= 2 ∙ 1
Quantos fatores há no denominador? Dois!! Pois bem, devemos expandir o
outro número, no caso o número 5, em dois fatores.
3
9
=
5 ∙ 4
2 ∙ 1 = 10
Nos livros e provas de Estatística não utilizamos muito a notação que foi usada
na aula de combinatória:
3
4
5
.
A partir de agora utilizaremos com muito mais frequência a notação seguinte:
6
7
Alguns casos especiais podem ser memorizados para ganharmos tempo:
6 07 = 1
6 17 =
6 7 = 1
Pois bem. Voltemos à probabilidade. Vamos supor que existe um ensaio de
Bernoulli tal que a probabilidade de obtermos um sucesso seja
e a
probabilidade de obtermos um fracasso seja
. Realizaremos este ensaio n
vezes e queremos calcular a probabilidade de obtermos k sucessos
(obviamente
0 ≤ ; ≤ ).
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A probabilidade pode ser calculada através da seguinte fórmula:
( = ;) = 6 ;7 ∙
<
∙
4=<
Como vamos memorizar esta fórmula?
A fórmula sempre começa com o binomial de n sobre k (combinações de n
elementos tomados k a k). Ou seja, número lançamentos sobre o número de
sucessos que se quer obter.
Depois multiplicamos pela probabilidade de obter um sucesso elevada ao
número de sucessos (
<
) pela probabilidade de obter um fracasso elevada ao
número de fracassos
(
4=<
).
Voltemos ao nosso exemplo do dado.
Vamos lançar um dado 3 vezes. Consideramos como sucesso obter o número
5. Assim,
= 1/6 e = 5/6.
Queremos calcular a probabilidade de obtermos 0,1,2 ou 3 sucessos.
( = 0)
Começamos colocando o binomial de n sobre k.
( = 0) = 6307
Agora multiplicamos pela probabilidade de obtermos um sucesso elevado ao
número de sucessos.
( = 0) = 6307 ∙ %
1
6&
>
Agora multiplicamos pela probabilidade de obtermos um fracasso elevada ao
número de fracassos. Ora, como são 3 lançamentos e nenhum sucesso,
teremos 3 fracassos.
( = 0) = 6307 ∙ %
1
6&
>
∙ %
5
6&
?
( = 0) = 1 ∙ 1 ∙
125
216 =
125
216
Vamos agora calcular a probabilidade de obtermos um sucesso.
( = 1)
Começamos colocando o binomial de n sobre k (ensaios sobre sucessos).
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12
( = 1) = 6317
Agora multiplicamos pela probabilidade de obtermos um sucesso elevada ao
número de sucessos.
( = 1) = 6317 ∙ %
1
6&
Como é apenas 1 sucesso, teremos 2 fracassos.
Agora multiplicamos pela probabilidade do fracasso elevado ao número de
fracassos.
( = 1) = 6317 ∙ %
1
6&
∙ %
5
6&
( = 1) = 3 ∙
1
6 ∙
25
36 =
75
216
E assim por diante.
( = ;) = 6 ;7 ∙
<
∙
4=<
Observe que se são n ensaios dos quais são k sucessos, o número de fracassos
será n – k.
Vamos reunir nossos resultados em uma tabela.
()
0
125
216
1
75
216
2
15
216
3
1
216
Temos uma variável aleatória discreta, ok?
X são os possíveis valores assumidos pela variável e P(X) suas respectivas
probabilidades. Na aula passada, aprendemos como calcular a esperança e a
variância de uma variável aleatória discreta.
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13
Vamos começar com o cálculo da esperança. Vamos multiplicar X por P(X) e
somar todos os resultados.
()
∙ ()
0
125
216
0
1
75
216
75
216
2
15
216
30
216
3
1
216
3
216
A esperança é igual a:
() = 0 +
75
216 +
30
216 +
3
216
() =
108
216
() =
1
2
Vamos agora calcular a variância. Devemos elevar X ao quadrado, multiplicar
os resultados obtidos pelas respectivas probabilidades e somar tudo. Depois é
só aplicar a fórmula.
()
∙ ()
²
² ∙ ()
0
125
216
0
0
0
1
75
216
75
216
1
75
216
2
15
216
30
216
4
60
216
3
1
216
3
216
9
9
216
(
) = 0 +
75
216 +
60
216 +
9
216
(
) =
144
216
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14
Agora aplicamos a fórmula da variância.
"² = (
) − #()$
"² =
144
216 − %
1
2&
"² =
144
216 −
1
4
"² =
144 − 54
216
"² =
90
216
Simplificando a fração...
"² =
15
36
Bem trabalhoso, não?
Para facilitar as nossas vidas, existem fórmulas para o cálculo da esperança e
da variância.
=
Para calcular a esperança, basta multiplicar o número de ensaios pela
probabilidade de obter um sucesso.
= 3 ∙
1
6 =
1
2
E agora a variância.
"² =
Para calcular a variância, multiplicamos o número de ensaios pela
probabilidade do sucesso e pela probabilidade do fracasso.
"² = 3 ∙
1
6 ∙
5
6 =
15
36
Bem mais rápido!!
Vamos agora treinar um pouco.
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15
02. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Uma variável aleatória X segue uma distribuição
binomial com os seguintes parâmetros: número de ensaios = 100;
probabilidade de sucesso em cada ensaio = 0,2. De acordo com essas
informações, qual é o valor esperado de X?
a) 0,2
b) 0,8
c) 20
d) 80
e) 100
Resolução
Concursos disputados (e com altos salários como esse) também têm questões
muito fáceis. A questão é se o candidato teve tempo de estudar tudo.
Quem tinha pelo menos uma noção e sabia a fórmula, resolveu esta questão
em segundos.
Acabamos de ver que o valor esperado (esperança) de uma variável aleatória
binomial X é o produto do número de ensaios pela probabilidade de sucesso.
=
= 100 ∙ 0,2 = 20
Letra C
03. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição
binomial de parâmetros:
= 20 e = 0,4, a média e a variância de X serão,
respectivamente:
a) 8 e 4,8
b) 8 e 3,2
c) 4 e 2,4
d) 8 e 2,4
e) 4 e 4,8
Resolução
Como acabamos de ver, a média (esperança) da variável X com distribuição
binomial é igual a
() = ∙ = 20 ∙ 0,4 = 8.
A variância da variável X é igual a
BCD() = , onde = 1 − .
BCD() = 20 ∙ 0,4 ∙ (1 − 0,4)
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16
BCD() = 20 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 4,8
Letra A
04. (SUSEP 2010/ESAF) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem
em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a
probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse
modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:
a) 37/64
b) 45/216
c) 1/64
d) 45/512
e) 9/16
Resolução
Chamemos de “sucesso” ter um filho do sexo masculino: probabilidade
igual a 1/4.
Chamemos de “fracasso” ter um filho do sexo feminino: probabilidade
igual a 3/4.
A probabilidade de, em cinco experimentos (n = 5), obtermos 2
sucessos (k=2), pelo teorema binomial é:
P(X = 2) = 6527 ∙ %
1
4& ∙ %
3
4&
?
=
5 ∙ 4
2 ∙ 1 ∙
1
16 ∙
27
64 =
135
512
Anulada
05. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e
pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o
número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o
número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas
diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com
reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?
a) 100/729.
b) 100/243.
c) 10/27.
d) 115/243.
e) 25/81.
Resolução
Suponha que temos apenas
uma bola vermelha
.
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17
O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logo
temos
5 bolas amarelas
.
O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo
temos
10 bolas azuis
.
O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos
20 bolas pretas.
Total de bolas:
1
+
5
+
10
+ 20 = 36 bolas.
20 bolas pretas e 16 não-pretas.
Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a
probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?
Como o processo é com reposição, os eventos são independentes e podemos
aplicar o teorema binomial.
Vamos considerar que extrair uma bola preta é um sucesso. A probabilidade do
sucesso é p = 20/36. A probabilidade do fracasso é q = 16/36.
Queremos obter 2 sucessos em 3 ensaios.
P(X = 2) = 6327 ∙ %
20
36& ∙ %
16
36&
(X = 2) = 3 ∙
20
36 ∙
20
36 ∙
16
36 =
100
243
Letra B
06. (CEB Distribuição – Administrador 2010/Fundação Universa) O mau
funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das
peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-
se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que
menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta
antes de se retirar a próxima, é de
(A) 90%. (B) 91%. (C) 93%. (D) 96%. (E) 99%.
Resolução
Vamos considerar que escolher uma peça com defeito é um sucesso e escolher
uma peça boa é um fracasso.
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18
Escolhendo uma peça aleatoriamente, a probabilidade de ser defeituosa é 10%
e a probabilidade de ser boa é 90%.
Assim,
= 10%e = 90%.
“Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade
aproximada de que menos de três delas apresentem esse defeito, se
cada peça retirada é reposta antes de se retirar a próxima
, é de...”
Como o experimento é feito com reposição, os eventos são independentes.
Assim, podemos aplicar o teorema binomial.
Queremos obter menos de 3 sucessos. Ou seja, podemos ter 0, 1 ou 2
sucessos em 5 ensaios.
Queremos calcular:
( = 0) + ( = 1) + ( = 2)
Vamos calcular cada parcela separadamente e somar os resultados.
P(X=2)
( = 2) = 6527 ∙ %
10
100& ∙ %
90
100&
?
= 7,29%
P(X=1)
( = 1) = 6517 ∙ %
10
100&
∙ %
90
100&
H
= 32,805%
P(X=0)
( = 0) = 6507 ∙ %
10
100&
>
∙ %
90
100&
9
= 59,049%
Desta forma, a probabilidade de que menos de três delas apresentem esse
defeito é:
( = 2 ,- = 1 ,- = 0) = 7,29% + 32,805% + 59,049% = 99,144%
Letra E
Questão bem trabalhosa (principalmente as contas, que fiz na calculadora).
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19
07. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja X uma variável aleatória discreta com função
de probabilidade binomial
)
(x
f
, onde
I() = 3
4,J
J
(1 − )
4=J
e
3
4,J
é o número
de combinações de n elementos tomados x a x. Sendo n=6 e p=1/3,
determine f(6).
a) 1/729
b) 1
c) 0
d) 64/729
e) 8/729
Resolução
Basta aplicar a fórmula que vimos.
( = ;) = 6 ;7 ∙
<
∙
4=<
( = 6) = 6667 ∙ %
1
3&
∙ %
2
3&
>
=
1
729
Letra A
08. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja F(x) a função de distribuição da variável
aleatória definida na questão anterior, determine
)
0
(
F
.
a) 0
b) 1/729
c) 64/729
d) 243/729
e) 1.
Resolução
Como vimos na aula passada, a função de distribuição fornece a probabilidade
de X ser menor ou igual a um dado valor.
Se x = 0, a função dará a probabilidade de X ser menor ou igual a zero.
A variável binomial sempre assume valores maiores ou iguais a 0. Na verdade,
0 ≤ ≤ . Ou seja, X nunca poderá ser negativo.
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Assim, concluímos que
+(0) = ( ≤ 0) = ( = 0).
( = ;) = 6 ;7 ∙
<
∙
4=<
( = 0) = 6607 ∙ %
1
3&
>
∙ %
2
3&
=
64
729
Letra C
09. (ATA-MF 2009/ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor
mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 35%
b) 17%
c) 7%
d) 42%
e) 58%
Resolução
Muito parecido com o exemplo que utilizei na exposição teórica. Vamos
considerar que sair o número 1 é sucesso e sair qualquer outro número é
fracasso. Vamos lançar o dado três vezes (n=3) e queremos a probabilidade de
obter um sucesso (k=1).
Neste caso, p = 1/6 e q = 5/6.
( = ;) = 6 ;7 ∙
<
∙
4=<
( = 1) = 6317 ∙ %
1
6&
∙ %
5
6&
( = 1) = 3 ∙
1
6 ∙
25
36 =
75
216 ≅ 34,72%
Letra A
10. (AFRFB 2009 ESAF)
Em um experimento binomial com três provas, a
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso
são, em percentuais, respectivamente, iguais a:
a) 80 % e 20 %
b) 30 % e 70 %
c) 60 % e 40 %
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21
d) 20 % e 80 %
e) 25 % e 75 %
Resolução
Chamamos de k o número de sucessos. Assim, se o número de sucessos é 2,
então k = 2. Se o número de sucessos é igual a 3, então k = 3.
A probabilidade de ocorrerem dois sucessos é indicada por P(X=2) e a
probabilidade de ocorrerem três sucessos é indicada por P(X=3). Como são
três tentativas (três provas), então n=3.
O problema nos disse que a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é igual a
doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos.
Algebricamente,
( = 2) = 12 ∙ ( = 3)
Aplicamos a fórmula do teorema binomial que diz que a probabilidade de em n
provas obtermos k sucessos é dada por
6 ;7 ∙
<
∙
4=<
= 6 ;7 ∙
<
∙ (1 − )
4=<
Assim,
6327 ∙
∙ (1 − )
= 12 ∙ 6337 ∙
?
∙ (1 − )
>
Observe que (1-p)
0
é igual a 1, e que
6337 = 1.
3
(1 − ) = 12 ³
3 ∙ ∙ ∙ (1 − ) = 12 ∙ ∙ ∙
Cortando...
3 ∙ (1 − ) = 12 ∙
3 − 3 = 12
15 = 3
=
1
5 = 20%
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Obviamente, se a probabilidade de obter um sucesso é de 20%, a
probabilidade do fracasso é de 80%.
Letra D
11. (MPOG 2006 ESAF) Um experimento binomial é um experimento que
comporta um número fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os
resultados classificados em apenas duas categorias, a saber: sucesso ou
fracasso. Muito embora essa classificação seja arbitrária, costuma-se denotar a
probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por q. Desse
modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é
dada por
a)
30
30
20
50
C p q
b)
30
20
30
50
C p q
c)
30
0
20
50
C p q
d)
30
20
50
C p q
⋅
e)
30
20
0
50
C p q
Resolução
A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n
provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é p e
de a probabilidade de cada fracasso é q, é igual a
30
30
20
50
k
k
n k
n
C p
q
C p q
−
⋅
=
.
Letra A
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12. (APOG- SAD/PE 2010/CESPE-UnB)
A figura acima apresenta a distribuição percentual da população de crianças e
jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista,
por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. “As diferenças entre os
diversos grupos de renda per capita é acentuada. Aproximadamente 25% da
população brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram
um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilações segundo a renda variando
de 50,7% naqueles domicílios com renda de até R$ 37,75 a 1,5% naqueles
domicílios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00”.
A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em saúde
no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com adaptações)
Considerando que uma amostra aleatória simples de cinco mil indivíduos fosse
retirada da população de crianças e jovens entre cinco e dezenove anos de
idade no Brasil em 1998, se X representa o número de indivíduos nessa
amostra que nunca procurou um dentista, então a variância de X é
A) inferior a 400.
B) superior a 400 e inferior a 600.
C) superior a 600 e inferior a 800.
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D) superior a 800 e inferior a 1.000.
E) superior a 1.000.
Resolução
25,2% da população brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca
procuraram um dentista.
Isto significa que, para cada pessoa entrevistada, é como se fosse um jogo em
que há 25,2% de chance de esse eleitor nunca ter procurado um dentista e
(100-25,2)%=74,8% de chance de esse eleitor alguma vez na vida ter
procurado um dentista.
Portanto, é como se cada eleitor entrevistado fosse uma distribuição de
Bernoulli. A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de
apenas dois eventos, mutuamente exclusivos, que denominaremos de
sucesso
e
fracasso
. No nosso exemplo, podemos afirmar que o “sucesso” é o
entrevistado nunca ter procurado um dentista e “fracasso” já ter procurado um
dentista. Normalmente a probabilidade do sucesso é designada por
p
e a
probabilidade do fracasso por
q
. Nesse caso temos que p=25,2% e q=74,8%.
Observe que p+q=1 ou, de outra maneira, p+q=100%.
A distribuição binomial nada mais é do que a generalização da distribuição
de Bernoulli. Há um sucesso, com probabilidade p, e um fracasso, com
probabilidade q, tal que p+q=1, mas o número de experimentos pode ser
qualquer um. No nosso exemplo. Realizaremos o mesmo experimento
(perguntar a um entrevistado se ele já visitou um dentista) 5000 vezes. Numa
distribuição binomial, a variância é dada pela fórmula
"² =
Nesta fórmula, n é o número de experimentos, p é a probabilidade do sucesso
e q a probabilidade do fracasso. Temos então,
"² = = 5.000 ∙
25,2
100 ∙
74,8
100 = 942,48
Resposta D) superior a 800 e inferior a 1.000.
Na minha concepção, é uma questão difícil, pois nem todos perceberiam que
se trata de uma distribuição binomial.
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25
13. (ANA 2009/ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade
de ocorrer determinada variação genética e de 1%. Ao se examinar ao acaso
três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de
exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?
a) 0,98%
b) 1%
c) 2,94%
d) 1,30%
e) 3,96%
Resolução
Temos um experimento binomial em que a probabilidade de obtermos um
sucesso (ter a variação genética) é igual a 1%. A probabilidade do fracasso é
igual a 99%. Queremos calcular a probabilidade de ocorrer 1 sucesso em 3
ensaios.
( = 1) = 6317 ∙ 0,01
∙ 0,99
≅ 2,94%
Letra C
Distribuição Geométrica
A distribuição geométrica também se refere a sucessos e fracassos, mas,
diferentemente da binomial, é a probabilidade de que o sucesso ocorra
exatamente no k-ésimo ensaio. Por exemplo, no jogo de cara ou coroa, qual a
probabilidade de que a coroa só ocorra na quarta jogada? Ou qual é a
probabilidade de que o dado só dê o número 5 na terceira jogada?
Assim, a forma geral da distribuição geométrica é dada por:
( = ;) =
<=
∙
Ou seja, já que queremos um sucesso apenas no k-ésimo ensaio, queremos
que aconteça
++++ … * (uma sequência de k-1 fracassos seguido de apenas um
sucesso).
14. (AFC-CGU 2008/ESAF) A probabilidade de sucesso em um experimento
aleatório é p. Seja X o número de experimentos independentes realizados até
se obter o primeiro sucesso. Qual a probabilidade de X = k, onde k=1,2,3,....
a) (1-p)
k-1
.
b) p(1-p)
k-1
.
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c) k p
k-1
(1-p).
d) p
k-1
(1-p).
e) k(1-p)
k-1
p.
Resolução
Aplicação direta da teoria vista.
Em cada experimento, a probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de
fracasso é q.
Nos k-1 primeiros experimentos, temos fracasso e temos no último
experimento um sucesso.
Para que X seja igual a k devemos ter k-1 fracassos e 1 sucesso, nesta ordem.
Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é igual ao produto
das probabilidades.
( = ;) = ∙ ∙ ∙ … ∙
OPPPQPPPR
<=
∙
( = ;) =
<=
∙ = (1 − )
<=
∙
Letra B
15. (Petrobras 2011/CESGRANRIO) Uma pessoa lança repetidamente um dado
equilibrado, parando quando obtém a face com o número 6. A probabilidade de
que o dado seja lançado exatamente 3 vezes é
a) 1/216
b) 1/36
c) 25/216
d) 1/6
e) 25/36
Resolução
Este problema ilustra perfeitamente a distribuição geométrica. Vamos
considerar que o sucesso é obter o número 6 (p=1/6). Queremos obter um
sucesso exatamente no 3º lançamento. A probabilidade do fracasso é igual a
5/6. Queremos obter, nesta ordem, fracasso-fracasso-sucesso.
( = 3) =
5
6 ∙
5
6 ∙
1
6 =
25
216
Letra C
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27
Distribuição Hipergeométrica
Já comentei algumas vezes que para podermos usar o teorema binomial, os
processos devem ser feitos com reposição (para que os eventos sejam
independentes).
A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de, ao retirarmos,
sem reposição, n elementos de um conjunto N, saiam k elementos com o
atributo sucesso, considerando-se que, do total de N elementos, s possuem
esse atributo e, portanto, N-s possuem o atributo fracasso.
Assim, a probabilidade de obtermos um sucesso (no primeiro experimento) é
igual a p = s/N. Queremos calcular a probabilidade de que, retirando-se n
elementos, k possuam o atributo sucesso e n-k possuam o atributo fracasso.
Esta probabilidade é dada por:
( = ;) =
6S;76
T − S
− ;7
6T 7
Exemplo: Sabe-se que há 10% de peças defeituosas em um lote de 50. Ao
retirar oito peças desse lote, sem reposição, qual a probabilidade de que duas
delas sejam defeituosas?
Resolução
Como são 10% de peças defeituosas em um total de 50, então há 5 peças
defeituosas.
Temos 50 objetos e escolheremos 8. Este é o nosso denominador.
( = ;) =
6S;76
T − S
− ;7
650
8 7
Pede-se a probabilidade de retirar duas (do total das 5) peças defeituosas e
seis (de um total de 45) peças em bom estado.
( = 2) =
65276
45
6 7
650
8 7
≅ 15,17%
16. (IPHAN 2009/FUNIVERSA) Em um instituto de pesquisa trabalham, entre
outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar
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28
uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa
equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a
probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor
está compreendido entre
(A) 0,00 e 0,01.
(B) 0,01 e 0,02.
(C) 0,02 e 0,03.
(D) 0,03 e 0,04.
(E) 0,04 e 0,05.
Resolução
Neste caso, o processo é feito sem reposição, pois um mesmo profissional não
poderá ser escolhido duas vezes.
Dos 11 estudiosos, vamos escolher 4. Este é o nosso denominador.
( = ;) =
6S;76
T − S
− ;7
611
4 7
Queremos que os 3 físicos sejam escolhidos. Assim, vamos escolher 3 físicos
(dentre 3 disponíveis) e 1 profissional (dentre os 8 não-físicos).
( = 3) =
63376
8
17
611
4 7
=
1 ∙ 8
11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
=
8
330 = 0,0242424 …
Letra C
Vejam outra maneira de resolver esta questão sem o uso da fórmula da
distribuição hipergeométrica:
Quer-se calcular a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos. Como há
apenas 3 físicos, obrigatoriamente a quarta pessoa será escolhida dentre os
biólogos/matemáticos (não-físicos).
Existem quatro maneiras de dispor a ordem dos sorteados (F é um físico e X é
um não-físico):
+++ ,- +++ ,- +++ ,- +++
Assim, vou calcular uma dessas probabilidades e multiplicar o resultado por 4.
São 11 pessoas. Assim, a probabilidade de o primeiro ser um físico é 3/11.
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Como o processo é sem reposição, a probabilidade de o segundo ser físico é
2/10 (pois agora temos 2 físicos e um total de 10 pessoas). A probabilidade de
o terceiro ser físico é 1/9.
Agora temos que escolher o último como não-físico. Sobraram um total de 8
pessoas e todos eles são não-físicos. A probabilidade de um deles ser escolhido
é 8/8.
(+++ ,- +++ ,- +++ ,- +++) = 4 ∙
3
11 ∙
2
10 ∙
1
9 ∙
8
8 =
24
990 = 0,02424 …
Letra C
17. (APEX Brasil 2006/Fundação Universa) Em uma empresa, há 12 dirigentes
de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado
estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão
sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido
estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível
hierárquico está entre:
(A) 0,01 e 0,05.
(B) 0,06 e 0,10.
(C) 0,11 e 0,15.
(D) 0,16 e 0,20.
(E) 0,21 e 0,25.
Resolução
Novamente o nosso processo será realizado sem reposição. São 12 pessoas e
vamos escolher 4, sem reposição. Este é o nosso denominador.
( = ;) =
6S;76
T − S
− ;7
612
4 7
Só que agora queremos calcular duas probabilidades e somar, pois queremos
que os 4 sejam diretores ou que os 4 sejam gerentes.
Probabilidade de os 4 serem diretores: Dos 5 diretores, escolheremos 4 e dos
7 gerentes escolheremos nenhum (zero).
U
=
65476
7
07
612
4 7
=
5 ∙ 1
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
=
5
495 =
1
99
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30
Probabilidade de os 4 serem gerentes: Dos 7 gerentes, escolheremos 4 e dos 5
diretores escolheremos nenhum (zero).
V
=
67476
5
07
612
4 7
=
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 1
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
=
35
495 =
7
99
=
U
+
V
=
1
99 +
7
99 =
8
99 = 0,0808080808 …
Letra B
Podemos também resolver estas questões de distribuição hipergeométrica com
os conhecimentos adquiridos na aula de probabilidade.
Para que os quatro dirigentes sejam do mesmo nível hierárquico, podemos
escolher 4 diretores ou 4 gerentes.
Vamos calcular cada uma das probabilidades separadamente e depois somar
os resultados.
Probabilidade de escolher 4 diretores
A probabilidade de o primeiro ser um diretor é igual a 5/12.
A probabilidade de o segundo ser um diretor é igual a 4/11.
A probabilidade de o terceiro ser um diretor é igual a 3/10.
A probabilidade de o quarto ser um diretor é igual a 2/9.
A probabilidade de os 4 serem diretores é igual a
U
=
5
12 ∙
4
11 ∙
3
10 ∙
2
9
Observe que 4 x 3 = 12 (podemos cancelar o 4 e o 3 com o 12). Observe
ainda que 5 x 2 =10. Cancelamos 5 e 2 com 10.
U
=
1
99
Probabilidade de escolher 4 gerentes
A probabilidade de o primeiro ser um gerente é igual a 7/12.
A probabilidade de o segundo ser um gerente é igual a 6/11.
A probabilidade de o terceiro ser um gerente é igual a 5/10.
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31
A probabilidade de o quarto ser um gerente é igual a 4/9.
A probabilidade de os 4 serem gerentes é igual a
V
=
7
12 ∙
6
11 ∙
5
10 ∙
4
9
Observe que 6 x 5 x 4 = 120 e que 12 x 10 = 120. Assim, podemos cancelar
6, 5 e 4 com 12 e 10.
V
=
7
99
A probabilidade pedida é igual a
=
U
+
V
=
1
99 +
7
99 =
8
99 = 0,0808080808 …
Letra B
Distribuição de Poisson
Vamos utilizar como exemplo um objeto muito utilizado no cotidiano: o
telefone. Talvez até sejamos capazes de dizer quantas vezes, em média, nosso
telefone toca por dia. Mas quantas vezes o telefone não toca? Essa pergunta é
muito difícil de responder. Quando uma variável aleatória tem um
comportamento parecido com esse, dizemos que ela segue uma distribuição de
Poisson.
Se considerarmos que sucesso é tocar o telefone, é muito difícil calcular p, a
probabilidade de isso ocorrer, já que não temos como calcular a não-ocorrência
do evento.
A solução é imaginar que p é muito pequeno
( → 0), já que o toque do
telefone dura apenas alguns segundos em um dia de 24 horas (86.400
segundos). Dessa forma, o número de vezes que o experimento é realizado
(telefone toca ou não toca), que é o n da distribuição binomial, é realizado
muitas vezes. É assim que modelamos a distribuição de Poisson: partimos de
uma distribuição binomial, considerando que p é muito pequeno (tende a zero)
e que n é muito grande (tende a infinito).
→ 0
→ ∞
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32
Mesmo p tendendo a zero e n tendendo a infinito, o produto np tende a um
número diferente de zero.
Y =
Esse produto np é a média da distribuição binomial.
Esse número
Y é exatamente o número médio de vezes que o evento ocorre.
No exemplo do telefone, é o número de vezes que o telefone toca por dia.
Ainda é possível calcular a variância partindo da distribuição binomial.
"² = = (1 − )
Como p tende a 0, 1-p tende a 1.
"² = ∙ 1
"² = = Y
A distribuição de Poisson se caracteriza, dessa forma, por ter média igual à
variância. Para calcularmos a probabilidade de uma variável como essa,
partimos da distribuição binomial e fazemos
→ 0 e → ∞ (não farei aqui a
demonstração desse fato, pois deve ser utilizado conhecimentos de
matemática universitária).
( = ;) =
Z
=[
∙ Y
<
;!
Onde o número e é uma constante e vale aproximadamente 2,718...
Os autores Bussab e Morettin dizem que a aproximação da binomial por
Poisson é boa se
≤ 7 (Estatística Básica, Atual Editora).
18. (TRANSPETRO 2011/CESGRANRIO) Uma distribuição discreta de
probabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de
eventos aleatórios, podendo ser usada como aproximação da distribuição
binomial, corresponde à distribuição
(A) geométrica
(B) hipergeométrica
(C) normal
(D) uniforme
(E) de Poisson
Resolução
Aplicação direta da teoria vista.
Letra E
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33
19. (AFC-CGU 2008/ESAF) Tem-se que
I() = 3
4,J
J
(1 − )
4=J
, onde
3
4,J
é o
número de combinações de n elementos tomados x a x, é a função de
probabilidade de uma variável aleatória binomial. Fazendo-se na sua expressão
→ 0, → ∞, mas com = Y, I() tem como limite a função de probabilidade
de uma variável aleatória de Poisson, que é:
a)
Y
\
e
=[
b)
Y
\
e
=[
/x!
c)
YZ
=[J
d)
YZ
=J/[
e)
Y − 1Z − /Γ(Y)
Resolução
Aplicação direta da exposição teórica.
Letra B
20. (MPOG 2006 ESAF) Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson,
com parâmetro “m”, e k = 0, 1, 2, 3... se e somente se
a)
(
)
m
m e
P X
k
k
−
⋅
=
=
b) (
)
k
m
m
e
P X
k
k
−
⋅
=
=
c) (
)
k
m
m
e
P X
k
k
⋅
=
=
d) (
)
k
m
e
P X
k
k
⋅
=
=
e) (
)
!
k
m
m
e
P X
k
k
−
⋅
=
=
Solução
A fórmula para se determinar a probabilidade de um dado número X de
sucessos em uma distribuição de Poisson é
( = ;) =
Z
=[
∙ Y
<
;!
O parâmetro
λλλ foi chamado de m e o número de sucessos X foi
chamado de k.
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Assim,
(
)
!
k
m
m
e
P X
k
k
−
⋅
=
=
.
Letra E
21. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Na revisão tipográfica de um livro com 600
páginas, encontrou-se, em média, 1,2 erros por página. Considerando
Z
=,
= 0,30 e estimando o número de páginas que não precisam sofrer
alterações por não apresentarem defeitos, tem-se:
a) 500 páginas
b) 420 páginas
c) 200 páginas
d) 180 páginas
e) 36 páginas
Resolução
Como a média é de 1,2 erros por páginas, temos uma distribuição de Poisson
com
Y = 1,2. Já que queremos saber o valor esperado de páginas sem defeitos,
devemos considerar
= 0.
( = ;) =
Z
=[
∙ Y
<
;!
( = 0) =
Z
=,
∙ 1,2
>
0!
=
1 ∙ 0,30
1
= 0,30
Portanto, a probabilidade de certa página não conter erros é de 0,30 = 30%.
Como o livro tem 600 páginas, o esperado é que:
30% `Z 600 = 0,30 ∙ 600 = 180 páginas não tenham defeitos.
Letra D
22. (MEC 2009 CESGRANRIO) O número de clientes que chega a cada hora a
uma empresa tem Distribuição de Poisson, com parâmetro 2, ou seja, a
probabilidade de que cheguem k clientes é dada por
2
2
!
k
e
k
−
para k = 0, 1, 2, ....
Qual é a probabilidade de que, em uma determinada hora, cheguem dois ou
mais clientes?
(Dado: e
-2
= 0,14)
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(A) 0,28
(B) 0,35
(C) 0,42
(D) 0,58
(E) 0,72
Solução
A probabilidade pedida é dada por (
2)
(
3) ...
P K
P K
=
+
=
+
Teríamos que calcular infinitas parcelas. A melhor maneira de resolver esta
questão é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de
que cheguem menos de dois clientes. Lembramos que a probabilidade total é
igual a 1.
Como assim probabilidade complementar?
É muito comum o evento ser complicado de calcular. Em muitos desses casos,
poderemos utilizar o seguinte artifício: ao invés de calcular a probabilidade que
o enunciado pediu, você calculará a probabilidade que o enunciado não
pediu.
Calcular a probabilidade de que cheguem menos de dois clientes é dada por
(
0)
(
1)
P K
P K
=
+
=
.
0
1
2
2
(
0)
(
1)
0,14
0,14
0,14 0, 28
0, 42
0!
1!
P K
P K
=
+
= =
⋅
+
⋅
=
+
=
(
2)
(
3) ... 1 0, 42
0, 58
P K
P K
=
+
=
+ = −
=
Letra D
23. (AFRFB 2009 ESAF)
O número de petroleiros que chegam a uma refinaria
ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por
dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três
petroleiros em dois dias é igual a:
a)
4
32
73
e
−
b)
4
3
71
e
c)
4
71
3
e
−
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d)
2
71
3
e
−
e)
2
32
3
e
−
Resolução
A média é de dois petroleiros por dia. Devemos calcular a média para 2 dias.
Obviamente a média será de 4 petroleiros a cada 2 dias. Logo
λ
=4.
Lembre-se da fórmula:
( = ;) =
Z
=[
∙ Y
<
;!
( ≤ 3) = ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3)
( ≤ 3) = Z
=H
+ 4 ∙ Z
=H
+ 8 ∙ Z
=H
+
32 ∙ Z
=H
3
( ≤ 3) =
3Z
=H
+ 12Z
=H
+ 24Z
=H
+ 32Z
=H
3
=
71Z
=H
3
Letra C
24. (ICMS-RJ 2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, os
serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com
média de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe
R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de duas cirurgias em
um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Assinale a
alternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião.
(considere e
–2
= 0,14)
(A) R$ 5.600,00.
(B) R$ 8.400,00.
(C) R$ 10.000,00.
(D) R$ 14.400,00.
(E) R$ 20.000,00.
Resolução
Questão muito bem feita.
Vamos considerar que X é a variável que informa o número de clientes que
buscam, em cada dia, os serviços do renomado cirurgião. O problema informou
que essa distribuição é de Poisson com média de dois pacientes por dia, ou
seja,
Y = 2.
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( = ;) =
Z
=[
∙ Y
<
;!
( = ;) =
Z
=
∙ 2
<
;!
Vamos agora calcular a probabilidade de X=0 ou X=1 (nenhum cliente
procurar o cirurgião ou um cliente procurar o cirurgião).
( = 0) =
Z
=
∙ 2
>
0!
=
Z
=
∙ 1
1 = Z
=
= 0,14
( = 0) =
Z
=
∙ 2
1!
=
Z
=
∙ 2
1 = 2Z
=
= 0,28
O problema nos informou que se chegarem 2 ou mais clientes, o cirurgião
atenderá apenas 2 clientes. Por exemplo, se chegarem 50 clientes na clínica, o
cirurgião atenderá apenas 2. Portanto, se chegarem 2 ou mais clientes, o
cirurgião trabalhará como se tivessem chegado apenas 2 clientes.
Se chegarem 2, 3, 4 ou 50 clientes, a receita do cirurgião será de R$
20.000,00.
Resumindo:
Se chegar nenhum cliente, a receita do cirurgião será 0 (probabilidade igual a
0,14= 14%).
Se chegar um cliente, a receita do cirurgião será R$ 10.000,00 (probabilidade
igual a 0,28 = 28%).
Em qualquer outro caso, a receita do cirurgião será R$ 20.000,00
(probabilidade igual a
1 − 0,14 − 0,28 = 0,58 = 58%).
Clientes
(X)
Receita do médico
(R)
Probabilidade
0
0
0,14
1
10.000,00
0,28
2 ou mais
20.000,00
0,58
Para calcular o valor esperado da receita diária do médico, devemos multiplicar
cada receita pela sua respectiva probabilidade e somar tudo.
(D) = 0 × 0,14 + 10.000 × 0,28 + 20.000 × 0,58
(D) = 14.400,00
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Letra D
Distribuições contínuas
A partir de agora vamos começar a estudar as distribuições contínuas. Vamos
começar com duas menos importantes (distribuição uniforme e distribuição
exponencial) e depois vamos estudar e resolver muitos exercícios da
distribuição contínua mais importante e que mais aparece em provas de
concursos (para todas as áreas, principalmente os concursos fiscais) que é a
distribuição normal.
Distribuição Uniforme Contínua
No início da aula, estudamos a distribuição uniforme discreta. Vimos que
naquela distribuição todos os valores têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Este é o modelo mais simples de variável aleatória contínua. Sua função
densidade de probabilidade é representada através de um segmento de reta
horizontal. É igual a zero em toda a reta real, com exceção de um dado
intervalo, onde assume um valor constante. Se o intervalo em que a função é
constante for limitado pelos números “a” e “b”, seu gráfico terá a seguinte
representação.
Utilizando o cálculo integral (assunto de cursos na área de exatas como
engenharia, matemática, etc), pode-se demonstrar que o valor esperado e a
variância são dados por:
() =
a + b
2
"² =
(b − a)²
12
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Para calcular probabilidades, devemos calcular as áreas abaixo do gráfico como
vimos na aula passada.
25. (AFC-CGU 2008 ESAF) Sendo X uma variável aleatória uniformemente
distribuída no intervalo [0,1], determine sua variância.
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 1/6.
e) 1/12.
Graficamente, teremos um segmento de reta horizontal. Sabemos que a
probabilidade é dada em termos de área. Sabemos ainda que a probabilidade
total é igual a 1 ou 100%. Portanto, para que a área do retângulo seja igual a
1, a altura deve ser igual a 1, pois a base também é igual a 1.
A média é dada por:
() =
0 + 1
2 =
1
2
A variância é dada por:
"² =
(b − a)²
12
=
(1 − 0)²
12
=
1
12
Letra E
Para os engenheiros e ex-estudantes de cursos afins, segue a resolução utilizando
cálculo integral.
2
2
( )
(
) { ( )}
VAR X
E X
E X
=
−
(
)
2
1
1
2
0
0
( )
( )
( )
VAR X
x
f x dx
x f x dx
=
⋅
−
⋅
∫
∫
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40
(
)
( )
2
1
1
2
0
0
2
1
1
2
0
0
2
1
1
3
2
0
0
2
( )
1
1
( )
( )
3
2
1
1
1
1
4 3
( )
0
0
3
2
3
4
12
1
( )
12
VAR X
x
dx
x dx
VAR X
x dx
xdx
x
x
VAR X
VAR X
VAR X
=
⋅
−
⋅
=
−
=
−
−
=
−
−
−
= − =
=
∫
∫
∫
∫
Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial é uma importante distribuição de probabilidade, mas muito
pouco cobrada em concursos públicos. Nem todos os livros de Estatística abordam este
assunto. Para você ter uma ideia, estou agora em minhas mãos com três importantes e
bons livros de Estatística:
Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin – Estatística Básica
Luiz Gonzaga Morettin – Estatística Básica – Probabilidade e Inferência
Paul L. Meyer – Probabilidade – Aplicações à Estatística
Cada um dos livros contribui com apenas 1 página sobre Distribuição Exponencial. Esta
página contém teoria e exercício resolvido.
Resumindo: estou com 3 livros muito famosos de Estatística e reunindo tenho apenas 3
páginas (1 em cada livro). Imagine o que você vai encontrar sobre este assunto nos livros
direcionados para concursos: absolutamente nada!!
Uma variável aleatória contínua X, que tome todos os valores não-negativos, terá uma
distribuição exponencial com parâmetro
Y > 0, se a sua função densidade de
probabilidade for dada por:
I() = Y ∙ Z
=[J
, SZ ≥ 0
I() = 0, SZ < 0
A esperança ou valor médio desta variável aleatória é dada por:
() =
1
Y
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A variância desta variável aleatória é dada por:
BCD() =
1
Y
26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Se X é uma variável aleatória exponencial de
parâmetro
Y = 10, então a expectância de X é igual a:
a) 0,10
b) 0,20
c) 0,30
d) 0,40
e) 0,50
Resolução
Expectância é o mesmo que esperança (valor médio).
A esperança ou valor médio desta variável aleatória é dada por:
() =
1
Y
() =
1
10 = 0,10
Letra A
Problemas sobre a distribuição exponencial que envolva cálculos de
probabilidades, só podem ser resolvidos utilizando cálculo integral. Assim,
segue um problema aos que são engenheiros e ex-estudantes de área afins
(este exercício foi retirado de uma prova para o cargo específico de
Estatístico).
27. (IBGE 2010/CESGRANRIO)O intervalo de tempo entre a chegada de dois
navios a um porto, em horas, segue distribuição exponencial com média 1. Se
acaba de chegar um navio, qual a probabilidade aproximada de que leve mais
de uma hora até a chegada do próximo?
(A) 0,37
(B) 0,5
(C) 0,63
(D) 0,75
(E) 0,9
Resolução
A média é igual a 1, ou seja,
Y = 1.
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A nossa f.d.p. (função densidade de probabilidade) é dada por:
I() = Y ∙ Z
=[J
I() = 1 ∙ Z
=J
I() = Z
=J
Queremos calcular a probabilidade de x>1.
( > 1) = f I()`
g
= f Z
=J
`
g
= #−Z
=J
$
g
= Z
=
≅ 0,3678
Letra A
Distribuição Normal
Um dos mais importantes exemplos de uma distribuição contínua de
probabilidade é a distribuição ou curva normal, ou a distribuição de Gauss,
definida pela equação
2
1
2
1
( )
2
X
f x
e
µ
σ
σ
π
−
−
=
⋅
onde,
3,1415926535...
2, 718281828...
e
média
desvio padrão
π
µ
σ
=
=
=
=
Calma... Você não precisará memorizar essa fórmula. Coloquei a título de
curiosidade e para mostrar um fato: a distribuição normal só depende da
média e do desvio padrão (ou da variância se preferir). Como o desvio padrão
será elevado ao quadrado na fórmula, diremos que a distribuição normal
depende da média e da variância.
Na aula passada, resolvemos vários problemas calculando áreas sobre os
gráficos. Os problemas envolvendo a distribuição normal serão bem parecidos.
Só que aqui utilizaremos tabelas fornecidas pelas provas. Este assunto é muito
cobrado nas provas e, com o devido treino, se tornará muito fácil.
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Como acabamos de falar, a distribuição normal é bem definida quando são
fornecidos a média e a variância.
Logo,
( )
f x
depende de
µ e de
2
σ , que são os parâmetros da Distribuição Normal.
Indicaremos
2
( ,
)
N
µ σ
. Ou seja, X tem uma distribuição normal, com média (
µ
) e
variância (
2
σ
).
Exemplo: N(4,9) significa uma distribuição normal com média 4 e variância 9.
A distribuição N(0,1) de média 0 e variância 1 é muito importante e recebe um nome
especial: distribuição normal padrão ou distribuição normal reduzida.
Vamos apenas afirmar que distribuição normal serve como uma excelente
aproximação para grande classe de distribuições, que têm enorme importância
prática.
Além disso, esta distribuição apresenta algumas propriedades matemáticas muito
desejáveis, que permitem concluir importantes resultados teóricos.
Genericamente, o gráfico da distribuição normal tem o seguinte aspecto:
O gráfico se apresenta em forma de um sino, perfeitamente simétrica em relação à
ordenada principal (
Mo
Md
µ
=
=
). Esse fato é importantíssimo. O GRÁFICO
REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL É SIMÉTRICO EM RELAÇÃO À
MÉDIA!!! E que em toda distribuição normal, a média, a moda e a mediana são iguais.
Isto significa que TUDO QUE ACONTECER DO LADO ESQUERDO, também acontecerá
do LADO DIREITO!! Isso é muito importante.
É óbvio que a função matemática vista anteriormente mostra uma função teórica, e que
na prática os fenômenos estudados dificilmente seguiriam exatamente esta função. Mas o
que buscamos, ou ainda, o objetivo deste tópico é tentar estudar este fenômeno de uma
maneira mais próxima possível da realidade.
Vimos anteriormente que a distribuição normal depende exclusivamente da média e do
desvio padrão. São eles que vão influenciar “o formato do gráfico”.
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Vamos dar uma olhada no gráfico da distribuição normal padrão (ou reduzida).
Lembrando que esta distribuição tem média 0 e variância igual a 1.
A média é uma medida de posição. É ela que vai determinar se o gráfico está “mais para
a esquerda ou mais para a direita”. Ou seja, suponha que o desvio padrão é constante: se
aumentarmos a média, o gráfico se desloca para a direita; se diminuirmos a média, o
gráfico se desloca para a esquerda.
O gráfico que vimos acima, tem média 0 e variância igual a 1.
Vamos agora construir um gráfico com média 2 e variância 1. Perceba que o formato do
gráfico continua exatamente o mesmo. A única coisa que vai mudar é que o gráfico não
vai ficar centrado no 0, vai ficar centrado no 2, que é a média.
O desvio padrão é uma medida de dispersão, de afastamento. O desvio padrão (
σ
)
determina a abertura, visto que todas as curvas normais têm uma área total igual a 1 ou
100%. Se diminuirmos o desvio padrão, a distribuição terá um menor grau de afastamento
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
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e o gráfico se concentrará em torno da média (B). Se aumentarmos o desvio padrão, a
distribuição será mais dispersa, e o gráfico se afastará da média (A).
Vamos comparar os gráficos de duas distribuições normais com a mesma
média (média = 0) e com variâncias diferentes. O primeiro gráfico terá
variância igual a 1 e o segundo gráfico terá variância igual a 4.
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Observe que o primeiro gráfico é bem mais concentrado em torno da média. É
por isso que ele tem menor variância.
Vamos agora aprender e algumas propriedades muito importantes da
distribuição normal (independente da sua média/variância).
Propriedades da Curva Normal
i)
A função é simétrica em torno de
µ e área abaixo do gráfico é igual a 1. A área
à esquerda da média é igual a 0,5 e a área à sua direita também é igual a 0,5
(por isso a média é igual à mediana). 50% dos valores estão abaixo da média e
50% dos valores estão acima da média.
ii) A função tem um ponto de máximo para
x
µ
=
, por isso a média é igual à moda.
iii) A função é duplamente assintótica. Ou seja, a medida que seguimos ao longo do
eixo x, o gráfico se aproxima cada vez mais do eixo x, porém nunca tocando-o.
iv) 68,27% dos elementos estão entre os valores
µ σ
± , 95,45% dos elementos
estão entre os valores
2
µ
σ
±
e 99,73% dos elementos estão entre os valores
3
µ
σ
±
(esses valores são tabelados).
Professor, não entendi essa última propriedade!!
Vejamos com exemplos numéricos. Vamos considerar uma distribuição normal com
média 3 e desvio padrão igual a 2, ou seja,
= 3 e " = 2.
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Assim,
+ " = 3 + 2 = 5 e − " = 3 − 2 = 1. Ora, nós dissemos que 68,27% dos valores
estão entre
± ". No nosso exemplo a área entre os números 1 e 5 é igual a 68,27%.
Se fosse a distribuição normal padrão (aquela com média 0 e desvio padrão
igual a 1), diríamos que a área compreendida entre os números -1 e 1 é igual
a 68,27%.
Também afirmamos que a área compreendida entre
± 2" é igual a 95,45%.
Voltemos ao nosso exemplo da distribuição normal de média 3 e desvio padrão
2.
Neste caso,
+ 2" = 3 + 2 × 2 = 7 e − 2" = 3 − 2 × 2 = −1. Isto significa que a
área compreendida entre os números
−1 Z 7 é igual a 95,45%.
Finalmente, afirmamos que a área compreendida entre
± 3" é igual a
99,73%.
Voltemos ao nosso exemplo da distribuição normal de média 3 e desvio padrão
2.
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Neste caso,
+ 3" = 3 + 3 × 2 = 9 e − 3" = 3 − 3 × 2 = −3. Isto significa que a
área compreendida entre os números
−3 Z 9 é igual a 99,73%.
Na distribuição normal padrão (ou reduzida) dizemos que a área entre os
números
−1 Z 1 é igual a 68,27%; que a área entre os números −2 Z 2 é igual a
95,45% e que a área entre os números
−3 Z 3 é igual a 99,73%.
28. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Qual dos tipos de distribuição a seguir
corresponde a uma distribuição de variável aleatória contínua, aplicada
frequentemente em situações em que valores extremos são menos prováveis
do que valores moderados?
(A) Binomial.
(B) Normal.
(C) de Poisson.
(D) Geométrica.
(E) Hipergeométrica.
Resolução
As distribuições binomial, Poisson, Geométrica e Hipergeométrica são todas
discretas. A única distribuição contínua, dentre as alternativas, é a normal.
Pelo formato do seu gráfico, vemos que valores extremos são menos prováveis
do que valores moderados.
Letra B
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Distribuição Normal Padrão
Já falei que representamos as distribuições normais com o símbolo
T(; "
) e
que a distribuição normal com média 0 e variância 1,
T(0,1) é chamada de
distribuição normal padrão ou distribuição normal reduzida.
A grande maioria dos problemas sobre distribuição normal envolve cálculos de
áreas sobre o gráfico. Só que a fdp da distribuição normal é bastante
complicada de trabalhar. Então os estatísticos resolveram criar uma tabela que
fornecesse as áreas abaixo dos gráficos da distribuição normal.
Nós até já vimos algumas áreas.
Na distribuição normal padrão (ou reduzida) dizemos que a área entre os
números
−1 Z 1 é igual a 68,27%; que a área entre os números −2 Z 2 é igual a
95,45% e que a área entre os números
−3 Z 3 é igual a 99,73%.
Bom, na sua prova virá uma tabela parecida com a seguinte (ou alguma
variação/parte dela).
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Vamos aprender a trabalhar com essa tabela antes de começar a resolver as
questões de concursos.
Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão
assumir valores entre 1 e 1,5.
Resolução
Ora, sabemos que a variável aleatória normal padrão possui média 0 e desvio
padrão 1 (desvio padrão unitário). Eis a área que queremos calcular.
O que esta tabela fornece é a probabilidade de X estar entre zero e Z
0
. É
importante olhar o que a tabela fornece. É possível construí-la de diversas
formas, trazendo informações diferentes. Veremos alguns outros exemplos de
tabelas na resolução das questões.
A tabela nos fornece a área compreendida entre os números 0 e Z. Assim, se
procurarmos o número 1,00 na tabela, ela fornecerá a área entre os números
0 e 1.
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À esquerda temos a parte inteira e a primeira casa decimal de Z. Acima temos
a segunda casa decimal de Z. Concluímos que a área entre 0 e 1,00 é igual a
0,3413 (área vermelha abaixo).
Vamos agora olhar o outro valor na tabela: 1,50.
Assim, concluímos que a área compreendida entre 0 e 1,5 é igual a 0,4332
(área verde abaixo).
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Então, para obter a área entre 1 e 1,5, basta subtrair a área verde da
vermelha. Ficamos com: 0,4332 - 0,3413 = 0,0919=9,19%.
A variável assume valores entre 1 e 1,5 com probabilidade igual a 9,19%.
Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão
assumir valores menores que
−2.
Resolução
Ora, sabemos que a distribuição normal é simétrica em relação à média.
Assim, calcular a probabilidade de a variável assumir valores menores que
−2
é o mesmo que calcular a probabilidade de a variável assumir valores maiores
que 2. Veja o gráfico a seguir.
Bom, sabemos que a área à direita do zero é igual a 0,5. A tabela que estamos
trabalhando nos fornece a área entre o 0 e 2.
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Olhe a tabela e verifique que a área entre o 0 e 2 é igual a 0,4772 (região
azul).
Assim, a área pedida é igual a 0,5 – 0,4772 = 0,0228 = 2,28%, ou seja a área
vermelha é toda a área à direita do zero (0,5) menos a área da região azul.
Vocês perceberam que até agora só trabalhamos com a distribuição normal
padrão (ou reduzida). Isso porque a tabela que é fornecida em todas as provas
de estatística sempre se refere a essa distribuição.
Pois bem, vamos agora aprender como utilizar a tabela da distribuição normal
reduzida mesmo quando a distribuição normal do problema possui média
diferente de 0 e variância diferente de 1.
Exemplo: Considere uma variável aleatória normal com média 3 e desvio
padrão 2. Calcule a probabilidade de essa variável assumir valores entre 4 e 7.
Resolução
Graficamente, o que queremos é o seguinte:
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O problema é que não temos uma tabela que forneça áreas em uma
distribuição normal de média 3 e desvio padrão 2.
Nós vamos agora aprender a “transportar” uma distribuição qualquer para a
distribuição normal reduzida.
Queremos saber a área entre os números 4 e 7. Devemos nos perguntar:
- O número 4 desta distribuição corresponde a que número na distribuição
normal padrão?
- O número 7 desta distribuição corresponde a que número na distribuição
normal padrão?
Bom, existe uma fórmula para fazer esta correspondência. Ei-la:
j =
−
"
Onde X é o número que queremos “transportar”,
é a média e " é o desvio
padrão.
Vamos substituir os nossos valores:
j =
− 3
2
Vamos agora substituir os valores 4 e 7 para descobrir os seus
correspondentes.
j =
4 − 3
2 = 0,5
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Isto significa que o número 4 corresponde ao 0,5 da distribuição normal
padrão.
j =
7 − 3
2 = 2,0
Isto significa que o número 7 corresponde ao número 2,0 da distribuição
normal padrão.
Conclusão: Calcular a área entre os números 4 e 7 (na distribuição normal de
média 3 e desvio padrão 2) é o mesmo que calcular a área entre os números
0,5 e 2,0 na distribuição normal padrão. Ou seja, as áreas abaixo são iguais!!!
Sensacional, não?
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Agora é só ir lá na tabela da distribuição normal reduzida e calcular a área.
Ora, a tabela diz que a área entre o 0 e 0,5 é igual a 0,1915.
A área entre 0 e 2 é igual a 0,4772.
Como queremos a área entre 0,5 e 2,0, basta subtrair 0,4772 – 0,1915 =
0,2857 = 28,57%.
Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória com média 3 e desvio
padrão 2 assumir valores entre 4 e 7 é igual a 28,57%.
29. (SAD-PE 2010/CESPE-UnB) Considere que o tempo de espera por
atendimento X em certo local siga uma distribuição normal com média igual a
15 minutos. Com base nessas informações, assinale a opção correta acerca de
probabilidades.
A) P( X = 15 minutos) > 0,45.
B) P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos).
C) P(X > 15 minutos) < 0,48.
D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos).
E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos).
Resolução
Como o problema nos disse que a média é igual a 15 minutos, temos então o
seguinte gráfico:
Analisemos, agora, cada uma das alternativas:
A) P(X =15 minutos) > 0,45
FALSO
Ao contrário de uma variável aleatória discreta, uma variável
aleatória contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo
definido de valores.
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Desta maneira, para distribuições de probabilidade, não se
consegue enumerar todos os possíveis valores de uma variável
aleatória contínua com os valores de probabilidades correspondentes.
Para definir uma função de probabilidade contínua, é necessário
utilizar critérios diferentes das variáveis discretas, isto porque X
deverá estar compreendido entre dois valores diferentes (em se
considerando uma variável aleatória contínua), sendo que em geral a
probabilidade de x assumir um determinado valor é 0.
Portanto, a
probabilidade de a variável X ser igual a 15 minutos é igual a 0.
Portanto a letra A) é falsa!!
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são
especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada
a um número específico é zero.
B) P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos).
VERDADEIRO!!!
Para analisar esta alternativa lembre-se:
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É
SIMÉTRICA!! Repita!! A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É SIMÉTRICA!!
Simétrica em relação a quem?? Simétrica em relação à média!!!
Ou seja, o que acontece à esquerda da média é idêntico ao que acontece à
direita. E o que isso tem a ver com a questão? Ora, 10 está a 5 unidades
(esquerda) da média enquanto que 20 está a 5 unidades (direita) da média.
Então, a probabilidade de X ser menor do que 10 é igual a probabilidade de X
ser maior do 15. Veja no gráfico...
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C) P(X > 15 minutos) < 0,48.
Falsa
A média (
µ ) centra a curva e visto que todas as curvas normais têm uma área
total igual a 1 ou 100%, a probabilidade de X ser maior do que 15 (média) é
exatamente 50%=0,50>0,48.
D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos).
Falsa
Claramente no gráfico verificamos que a probabilidade de X ser maior do que
20 é maior do que a probabilidade de X ser maior do que 25. No gráfico, a
probabilidade de X ser maior do que 20 é a soma da área
vermelha
com a
área
cinza
, enquanto que a probabilidade de X ser maior do que 25 é apenas a
área
cinza
.
E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos).
Falsa
Ora, dizer que P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos) é o mesmo que dizer
que P(X < 5 minutos) + P(X > 20 minutos) = 1 =100%.
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Claramente percebemos que esta alternativa é falsa, pois a área total sob o
gráfico é que é igual a 1.
Letra B
30. (Prefeitura Municipal de Florianópolis – Economista – 2008 – FEPESE)
Assinale a alternativa que completa corretamente a frase abaixo. A
distribuição normal de probabilidade é caracterizada por:
a) ter um formato de sino, com uma área total sob a curva igual a 1.
b) ser tipicamente uma distribuição discreta de probabilidade.
c) ter pontos de inflexão da curva quando o valor de variável é igual à média
mais ou menos dois desvios-padrão.
d) ter a média e a mediana iguais e superiores à moda quando a distribuição
normal é assimétrica à direita.
Resolução
A) Esta alternativa é claramente
verdadeira
como vimos na
exposição teórica.
B) A distribuição normal é uma distribuição contínua. Falso.
C) Eu ainda não tinha falado sobre a propriedade do ponto de inflexão. A
função tem dois pontos de inflexão para x
µ σ
= ± . O ponto de inflexão é
aquele em que a curva muda de concavidade. Em torno da média, o gráfico
tem concavidade voltada para baixo. Nas caudas, a concavidade está
voltada para cima. O ponto em que a concavidade muda é denominado
ponto de inflexão. Falso.
D) A distribuição normal é sempre simétrica e a média, a moda e a mediana
são sempre iguais. Falso
Letra A
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31. (SAD-PE 2008 FGV) A respeito de distribuição normal de probabilidades,
analise as afirmativas a seguir:
I. Se uma variável tem distribuição normal com média
µ e desvio padrão σ,
então o intervalo (
µ – 2σ; µ + 2σ) contém cerca de 95% de seus valores
possíveis.
II. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média
µ e
variância
σ
2
, então a variável Z = (X –
µ)/σ tem distribuição normal com média
0 e variância 1.
III. Se uma variável tem distribuição normal de probabilidades, então o valor
de sua média é igual ao de sua mediana.
IV. Se uma variável X tem distribuição normal com média 0,1, então a
probabilidade de que X assuma um valor negativo é maior do que 50%.
Assinale:
(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(B) se somente as afirmativas II e IV estiverem corretas.
(C) se somente as afirmativas I, II e III estiverem corretas.
(D) se somente as afirmativas II, III e IV estiverem corretas.
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.
Resolução
I. Vimos anteriormente que 68,27% dos elementos estão entre os
valores
µ σ
± , 95,45% dos elementos estão entre os valores
2
µ
σ
±
e
99,73% dos elementos estão entre os valores
3
µ
σ
±
.
Verdadeiro.
II. Sempre que aplicamos a seguinte fórmula:
x
Z
µ
σ
−
=
.
Transformamos a distribuição dada em uma distribuição normal padrão que
possui média 0 e variância 1.
Verdadeiro.
III. Vimos na exposição teórica que em toda distribuição normal, a
média, a moda e a mediana são iguais.
Verdadeiro.
IV. A média é igual a 0,1. Assim, a probabilidade de a variável assumir
valores negativos (menor que 0) é menor que 50% (isto porque 0 está
à esquerda da média).
Letra C
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32. (Auditor IBGE 2010 CESGRANRIO) Seja H a variável aleatória que
representa as alturas dos cidadãos de certo país. Sabe-se que H tem
distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m. A
probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de
altura é, aproximadamente,
(A) 9,9%
(B) 10,6%
(C) 22,2%
(D) 39,4%
(E) 40,6%
Resolução
Como o problema nos disse que a média é igual a 1,70 m, temos então o
seguinte gráfico:
Queremos calcular a
probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais
do que 1,75 m de altura, ou seja, queremos calcular a seguinte área:
Se padronizarmos a variável H, ou seja, subtrairmos a média e dividirmos pelo
desvio-padrão, obteremos:
j =
k −
" =
1,75 − 1,70
0,04
= 1,25
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Resumindo: Calcular a probabilidade
de que um cidadão desse país tenha mais
do que 1,75 m de altura na distribuição normal com média 1,70 m e desvio
padrão 0,04 m é o mesmo que calcular a probabilidade de que Z > 1,25 em
que Z é a distribuição normal padronizada (média zero e variância igual a 1).
Assim,
(
1, 75)
(
1, 25)
P H
P Z
>
=
>
Devemos obter a probabilidade através da tabela fornecida na prova:
A tabela diz que
(0
1, 25)
0,39435
P
Z
< <
=
. Sabemos que a probabilidade
de Z > 0 é igual a 0,5 (isso porque a distribuição normal é simétrica e a área
total é igual a 1.
Pense assim: A área total sob a curva é igual a 1. Logo, a probabilidade de a
variável estar acima da média é igual a 0,5.
Assim, a probabilidade pedida é:
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(
1, 25)
(
0)
(0
1, 25)
P Z
P Z
P
Z
>
=
>
−
< <
(
1, 25)
0, 5 0, 39435
0,10565 10, 565%
P Z >
=
−
=
=
Letra B
33. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Se X tem distribuição
normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5,
aproximadamente, vale:
a) 0,25
b) 0,28
c) 0,33
d) 0,37
e) 0,46
Resolução
Se a variância é igual a 9, então o desvio-padrão é igual a 3 (basta calcular a
raiz quadrada).
Para calcular a probabilidade de que X > 5 vamos fazê-lo na distribuição
normal padronizada. Vamos calcular o valor correspondente de X = 5 na
distribuição normal padronizada. Para padronizar basta subtrair a média e
dividir pelo desvio-padrão.
4
5 4
1
0,33
3
3
3
X
X
Z
µ
σ
−
−
−
=
=
=
= ≅
Ou seja, calcular a probabilidade de que X > 5 é o mesmo que calcular a
probabilidade de que Z > 0,33.
Assim,
(
5)
(
0,33)
P X
P Z
>
=
>
. Temos que utilizar a tabela fornecida na prova.
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A tabela nos informa que a probabilidade de a variável estar no intervalo 0 <
Z < 0,33 é igual a 0,1297. Estamos interessados nos valores maiores do que
0,33. Sabemos que a probabilidade de Z ser maior do que 0 é igual a 0,5 (já
que a probabilidade total é 1,0 e que a distribuição normal é simétrica em
relação à média. Assim, a probabilidade pedida é
(
5)
(
0,33)
0,50 0,1297
0,3703
P X
P Z
>
=
>
=
−
=
Letra D
34. (Estatístico TCE-RO 2007 CESGRANRIO) O gasto médio dos clientes de um
posto de gasolina é uma variável aleatória normal com média R$ 100,00 e
desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais consomem recebem um
tratamento VIP, incluindo lavagem de carroceria, calibragem nos pneus e
verificação do óleo e da água. Quanto você precisa gastar nesse posto de
gasolina, em reais, para obter tratamento VIP?
(A) 158,00
(B) 149,00
(C) 141,00
(D) 132,00
(E) 128,00
Resolução
Temos uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 25.
Queremos calcular o valor X tal que 10% dos valores sejam superiores a X. Em
suma, queremos calcular X de tal forma que a área à direita de X seja 10%.
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A prova forneceu uma tabela das áreas da distribuição normal padronizada. De
acordo com a tabela P(Z>1,28) = 0,10.
Devemos achar o correspondente de 1,28 (da distribuição normal padrão) na
distribuição do gasto médio dos clientes do posto de gasolina.
Usaremos a fórmula de padronização:
j =
−
"
1,28
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67
1,28 =
− 100
25
= 132
Letra D
35. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Numa escola, têm-se as seguintes informações
sobre os salários de dois professores:
Professor
Salário Mensal
Em R$
Padronizado
(Z)
Gauss
1.400
2
Euler
900
-0,5
Baseando-se nos dados acima, a média e o desvio padrão para os salários da
escola serão, respectivamente de:
a) R$ 500,00 e R$ 100,00
b) R$ 1.000,00 e R$ 200,00
c) R$ 1.000,00 e R$ 100,00
d) R$ 1.150,00 e R$ 100,00
e) R$ 1.150,00 e R$ 200,00
Resolução
O enunciado da questão está bastante incompleto. Eles deveriam dizer que os
salários dos professores seguiam uma distribuição normal, etc.
A padronização Z é feita de acordo com a seguinte fórmula:
j =
−
"
Onde
é a média e " é o desvio padrão.
Vamos formar duas equações a partir dos dados da tabela:
1.400 −
"
= 2
900 −
"
= −0,5
A primeira equação pode ser arrumada da seguinte forma:
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68
2" = 1.400 −
= 1.400 − 2"
A segunda equação pode ser arrumada da seguinte forma:
−0,5" = 900 −
= 900 + 0,5"
Já que
= 1.400 − 2" e = 900 + 0,5", podemos afirmar que:
900 + 0,5" = 1.400 − 2"
0,5" + 2" = 1.400 − 900
2,5" = 500
" =
500
2,5
" = 200
Como
= 1.400 − 2", então:
= 1.400 − 2 ∙ 200
= 1.400 − 400
= 1.000
A média é igual a R$ 1.000,00 e o desvio padrão é igual a R$ 200,00.
Letra B
Instruções: Para resolver às questões de números 36 e 37 utilize as
informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z:
36. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os salários dos empregados de uma
determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com
média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos
empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00
é
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69
a) 87%
b) 89%
c) 92%
d) 96%
e) 98%
Resolução
Para calcular a probabilidade de que 1.000 < X < 1.520 vamos utilizar a
distribuição normal padrão. Vamos calcular o valor correspondente de X =
1.000 e X = 1.520 na distribuição normal padronizada. Para padronizar basta
subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão.
j =
−
"
j
=
1.000 − 1.200
160
= −1,25
j
=
1.520 − 1.200
160
= 2
Ou seja, calcular a área entre 1.000 e 1.520 na distribuição normal do
problema é o mesmo que calcular a área entre -1,25 e 2 na distribuição
normal padrão.
(1.000 < < 1.520) = (−1,25 < j < 2)
Ora, mas calcular a área de -1,25 até 2 é o mesmo que calcular a área de -
1,25 até 0 e de 0 até 2.
(−1,25 < j < 2) =
1(−., /' < l < 0)
+ (0 < j < 2)
Como a distribuição normal é simétrica, a área de -1,25 até 0 é igual à área de
0 até 1,25.
(−1,25 < j < 2) =
1(m < l < 1,25)
+ (0 < j < 2)
Agora é só pegar os valores dados na tabela:
(−1,25 < j < 2) = 0,39 + 0,48 = 0,87 = 87%
Portanto:
(1.000 < < 1.520) = 87%
Letra A
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37. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A distribuição das medidas dos cabos
fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos
medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros.
A média das medidas destes cabos é igual a
a) 7,8 metros
b) 8,0 metros
c) 8,2 metros
d) 8,4 metros
e) 9,4 metros
Resolução
Graficamente, temos o seguinte problema:
E foi fornecida a seguinte tabela:
Já que a probabilidade de x estar entre a média e 16,4 é 48%, então
16,4 corresponde a 2,00 na distribuição normal padronizada.
Para padronizar os valores devemos subtrair a média e dividir pelo
desvio padrão.
16,4 −
"
= 2 ⇒ 2" = 16,4 − ⇒ = 16,4 − 2"
A tabela forneceu valores à direita da média. O problema é que 2,4 está à
esquerda da média. Aproveitamos o fato de que a distribuição normal é
simétrica em relação à média. Então o 2,4 da distribuição X corresponde a (-
1,50) da distribuição normal padronizada.
2,4 −
"
= −1,5 ⇒ −1,5" = 2,4 − ⇒ = 2,4 + 1,5"
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71
Como
= 16,4 − 2" Z = 2,4 + 1,5", Z oã, 2,4 + 1,5" = 16,4 − 2"
1,5" + 2" = 16,4 − 2,4
3,5" = 14
" = 4
Como
= 2,4 + 1,5", Z oã, = 2,4 + 1,5 ∙ 4 = 8,4
Letra D
38. (ICMS-RJ 2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a seguir,
aquela em que
() = ( − ())² é:
a) de densidade
)
2
exp(
2
1
)
(
2
x
x
f
−
=
π
,
∞
<
<
∞
−
x
b) de densidade
1
)
(
=
x
f
,
1
0
<
< x
c)
x
n
x
p
p
x
n
x
X
P
−
−
=
=
)
1
(
)
(
, x = 0, 1, 2, ..., n
d)
!
)
(
x
e
x
X
P
x
λ
λ
−
=
=
, x = 0, 1, 2, ...
e)
+
−
=
=
n
M
N
x
n
M
x
N
x
X
P
)
(
, x = 0, 1, 2, ... n
Resolução
E(X) é o mesmo que valor esperado, média, esperança de uma variável
aleatória.
E(X-E(X))² significa valor esperado dos quadrados dos desvios e é o mesmo
que variância. Assim, o problema quer saber qual é a distribuição que possui
média e variância iguais. A alternativa A é uma distribuição normal com média
0 e desvio padrão unitário. Essa foi a única questão que eu vi que ele cobrou o
conhecimento da “fórmula” da distribuição normal. Mesmo assim, eu não me
preocuparia em decorar.
Na alternativa B temos uma variável uniforme contínua no intervalo entre 0 e
1. Sua média é 0,5.
Como vimos, a variância é calculada da seguinte maneira:
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B() =
(b − a)²
12
=
1
12
A variância e a média são diferentes.
Na alternativa C temos uma distribuição binomial, cuja média é np e cuja
variância é npq.
Na alternativa D temos uma distribuição de Poisson. Sua média é
λ
e sua
variância também. Essa é a resposta da questão.
Na alternativa E temos uma distribuição hipergeométrica. Não vimos a fórmula
da média e da variância desta distribuição. De qualquer forma, segue uma
tabelinha com um resumo sobre a média e a variância das distribuições
discretas.
Distribuição
Forma Geral
P(X=k)
Média
Variância
Binomial
6 ;7 ∙
<
∙
4=<
Geométrica
<=
∙
1
1 −
²
Hipergeométrica
6S;76
T − S
− ;7
6T 7
∙
T −
T − 1
Poisson
Z
=[
∙ Y
<
;!
Y
Y
39. (COPERGAS 2011/FCC) O tempo que um sistema computacional leva para
executar certa tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal com
média 100 segundos e desvio padrão 10 segundos. Se a tarefa é realizada 3
vezes, a probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos
em pelo menos uma dessas 3 vezes é:
Dado: Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975
(A) 0,356.
(B) 0,488.
(C) 0,512.
(D) 0,536.
(E) 0,544.
Resolução
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Essa questão é bem interessante porque mistura distribuição normal com a
distribuição binomial.
Existe uma tarefa que vai ser realizada 3 vezes. Queremos saber a
probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos em pelo
menos uma dessas 3 vezes.
Vamos considerar que executar a tarefa em mais do que 108,4 segundos é um
sucesso. Sua probabilidade é p.
Queremos então executar uma tarefa 3 vezes e obter pelo menos um sucesso.
Assim, queremos calcular a seguinte probabilidade:
( = 1) + ( = 2) + ( = 3)
Ora, como k só pode ser 0,1,2 ou 3, então é bem mais fácil calcular
( = 0) e
dizer que:
( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 1 − ( = 0)
Ou seja, a probabilidade de obter pelo menos um sucesso é igual a 1 menos a
probabilidade de obtermos 3 fracassos (X=0).
Pois bem, a conta que queremos fazer é a seguinte:
1 − ( = 0) = 1 − 6307 ∙
>
∙
?
= 1 − ³
Só precisamos agora calcular p e q. E como vamos fazer isso?
Ora, utilizando as informações do texto.
“O tempo que um sistema computacional leva para executar certa tarefa é
uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 segundos e
desvio padrão 10 segundos.”
Eu disse que p é a probabilidade de executar a tarefa em mais do que 108,4
segundos.
= (p > 108,4)
Vamos utilizar a padronização.
j =
p −
" =
p − 100
10
=
108,4 − 100
100
= 0,84
Ou seja, a probabilidade de a variável normal do problema ser maior que
108,4 é igual à probabilidade de a variável normal padrão ser maior que 0,84.
O problema informou que P(Z < 0,84) = 0,8, ou seja, a área abaixo de 0,84 é
igual a 0,8. Então a área acima de 0,84 é igual a 0,2 (pois a área total é igual
a 1.
Assim,
= 0,2
Consequentemente,
= 0,8.
A probabilidade pedida será:
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( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 1 − ( = 0) = 1 − ³ = 1 − 0,8³ = 0,488
Letra B
Poderíamos também ter calculado a soma efetivamente.
( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 6317 ∙
∙
+ 6327 ∙
∙
+ 6337 ∙
?
∙
>
=
= 3
+ 3
+
?
= 3 ∙ 0,2 ∙ 0,8
+ 3 ∙ 0,2
∙ 0,8 + 0,2
?
= 0,488
Distribuição normal como aproximação da binomial
Sob certas condições, podemos utilizar a distribuição normal como uma
aproximação da distribuição binomial.
Eis um trechinho do livro Estatística para Economistas (Rodolfo Hoffmann):
“Na prática, para saber se a forma de uma distribuição binomial pode ser
considerada aproximadamente igual à forma da distribuição normal, usamos a
seguinte regra empírica: se
> 5 quando ≤ 0,5, ou quando > 5 quando
> 0,5, a aproximação é aceitável. Para maior exatidão, devemos ter Z
maiores do que 15 (ver Hoel, 1968, p.88 e Silva Leme, 1972, p.119)”.
Vejamos um problema para entendermos melhor a aplicação prática deste
fato.
40. (AFC-CGU 2008/ESAF) Em determinadas circunstâncias, uma variável
aleatória binomial pode ser bem aproximada por uma variável aleatória
normal. Seja X uma variável aleatória binomial com n = 400 e p = 1/2. Calcule
o valor mais próximo de
(181 ≤ ≤ 219) usando a aproximação da variável
binomial pela normal, dado que
q(1,96) = 0,975, q(2,17) = 0,985, q(2,33) = 0,99,
q(2,41) = 0,992 e q(2,58) = 0,995, q(r) é a função de distribuição de uma variável
aleatória normal padrão Z.
a) 0,95
b) 0,97
c) 0,98
d) 0,984
e) 0,99
Resolução
O exercício não forneceu uma tabela com as áreas da distribuição normal. Ele
forneceu valores da função de distribuição da variável aleatória normal padrão.
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Por exemplo:
q(1,96) = 0,975 significa que a área abaixo do número 1,96 é igual
a 0,975 (ver figura abaixo).
O nosso objetivo é descobrir a probabilidade de X assumir valores entre 181 e
219.
O texto informou que X é uma variável aleatória binomial. O texto ainda
informa que utilizaremos a distribuição normal como uma aproximação da
binomial.
Vamos calcular a média e a variância. Como a variável é binomial, utilizemos
as fórmulas vistas:
= = 400 ∙
1
2 = 200
"² = = 400 ∙
1
2 ∙
1
2 = 100
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, temos:
" = 10
Esta variável binomial X é muito próxima de uma variável normal de média
200 e desvio padrão igual a 10.
Vamos reescrever o enunciado deixando-o mais simples: calcule a
probabilidade de uma variável normal de média 200 e desvio padrão 10
assumir valores entre 181 e 219?
Vamos “transportar” estes valores para a variável normal reduzida.
j =
−
" =
− 200
1
Substituindo X por 181, temos:
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j =
181 − 200
10
= −1,9
Substituindo X por 219, temos:
j =
219 − 200
10
= 1,9
Assim, o nosso objetivo será calcular a área entre -1,9 e 1,9.
O problema não fornece valores da função de distribuição para z = 1,9. Como
ele pede o valor mais próximo, vamos utilizar Z = 1,96.
q(1,96) = 0,975
Isto significa que a área vermelha seguinte é 97,5%.
Como a área total é igual a 1, então a área verde é igual a 100% - 97,5% =
2,5%.
Só que estamos interessados na área entre -1,96 e 1,96.
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Ora, se a área da região que fica após 1,96 é igual a 2,5%, então, por
simetria, a área da região que fica abaixo de -1,96 também será 2,5%.
Portanto, a área entre -1,96 e 1,96 será igual a 100% - 2,5% - 2,5% = 95%.
Assim, aproximadamente 95% dos valores de Z estão entre -1,9 e 1,9.
Concluímos que aproximadamente 95% dos valores de X estão entre 181 e
219.
Letra A
Ficamos por aqui. Um abraço e até a próxima aula.
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Tabela para a distribuição normal padrão
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Relação das questões comentadas
01. (Economista – TJ/RO 2008/CESGRANRIO)
Uma urna contém dez bolas,
cada uma gravada com um número diferente, de 1 a 10. Uma bola é retirada
da urna aleatoriamente e X é o número marcado nesta bola. X é uma variável
aleatória cujo(a)
(A) desvio padrão é 10.
(B) primeiro quartil é 0,25.
(C) média é 5.
(D) distribuição de probabilidades é uniforme.
(E) distribuição de probabilidades é assimétrica.
02. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Uma variável aleatória X segue uma distribuição
binomial com os seguintes parâmetros: número de ensaios = 100;
probabilidade de sucesso em cada ensaio = 0,2. De acordo com essas
informações, qual é o valor esperado de X?
a) 0,2
b) 0,8
c) 20
d) 80
e) 100
03. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição
binomial de parâmetros:
= 20 e = 0,4, a média e a variância de X serão,
respectivamente:
a) 8 e 4,8
b) 8 e 3,2
c) 4 e 2,4
d) 8 e 2,4
e) 4 e 4,8
04. (SUSEP 2010/ESAF) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem
em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a
probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse
modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:
a) 37/64
b) 45/216
c) 1/64
d) 45/512
e) 9/16
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05. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e
pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o
número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o
número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas
diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com
reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?
a) 100/729.
b) 100/243.
c) 10/27.
d) 115/243.
e) 25/81.
06. (CEB Distribuição – Administrador 2010/Fundação Universa) O mau
funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das
peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-
se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que
menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta
antes de se retirar a próxima, é de
(A) 90%. (B) 91%. (C) 93%. (D) 96%. (E) 99%.
07. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja X uma variável aleatória discreta com função
de probabilidade binomial
)
(
x
f
, onde
I() = 3
4,J
J
(1 − )
4=J
e
3
4,J
é o número
de combinações de n elementos tomados x a x. Sendo n=6 e p=1/3,
determine f(6).
a) 1/729
b) 1
c) 0
d) 64/729
e) 8/729
08. (AFC-CGU 2008/ESAF) Seja F(x) a função de distribuição da variável
aleatória definida na questão anterior, determine
)
0
(
F
.
a) 0
b) 1/729
c) 64/729
d) 243/729
e) 1.
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09. (ATA-MF 2009/ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor
mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 35%
b) 17%
c) 7%
d) 42%
e) 58%
10. (AFRFB 2009 ESAF)
Em um experimento binomial com três provas, a
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso
são, em percentuais, respectivamente, iguais a:
a) 80 % e 20 %
b) 30 % e 70 %
c) 60 % e 40 %
d) 20 % e 80 %
e) 25 % e 75 %
11. (MPOG 2006 ESAF) Um experimento binomial é um experimento que
comporta um número fixo de provas independentes, n. Cada prova tem os
resultados classificados em apenas duas categorias, a saber: sucesso ou
fracasso. Muito embora essa classificação seja arbitrária, costuma-se denotar a
probabilidade de sucesso por p, e a probabilidade de fracasso por q. Desse
modo, realizando-se 50 provas, a probabilidade de se obter 30 sucessos é
dada por
a)
30
30
20
50
C p q
b)
30
20
30
50
C p q
c)
30
0
20
50
C p q
d)
30
20
50
C p q
⋅
e)
30
20
0
50
C p q
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12. (APOG- SAD/PE 2010/CESPE-UnB)
A figura acima apresenta a distribuição percentual da população de crianças e
jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista,
por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. “As diferenças entre os
diversos grupos de renda per capita é acentuada. Aproximadamente 25% da
população brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram
um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilações segundo a renda variando
de 50,7% naqueles domicílios com renda de até R$ 37,75 a 1,5% naqueles
domicílios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00”.
A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em saúde
no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com adaptações)
Considerando que uma amostra aleatória simples de cinco mil indivíduos fosse
retirada da população de crianças e jovens entre cinco e dezenove anos de
idade no Brasil em 1998, se X representa o número de indivíduos nessa
amostra que nunca procurou um dentista, então a variância de X é
A) inferior a 400.
B) superior a 400 e inferior a 600.
C) superior a 600 e inferior a 800.
D) superior a 800 e inferior a 1.000.
E) superior a 1.000.
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13. (ANA 2009/ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade
de ocorrer determinada variação genética e de 1%. Ao se examinar ao acaso
três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de
exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?
a) 0,98%
b) 1%
c) 2,94%
d) 1,30%
e) 3,96%
14. (AFC-CGU 2008/ESAF) A probabilidade de sucesso em um experimento
aleatório é p. Seja X o número de experimentos independentes realizados até
se obter o primeiro sucesso. Qual a probabilidade de X = k, onde k=1,2,3,....
a) (1-p)
k-1
.
b) p(1-p)
k-1
.
c) k p
k-1
(1-p).
d) p
k-1
(1-p).
e) k(1-p)
k-1
p.
15. (Petrobras 2011/CESGRANRIO) Uma pessoa lança repetidamente um dado
equilibrado, parando quando obtém a face com o número 6. A probabilidade de
que o dado seja lançado exatamente 3 vezes é
a) 1/216
b) 1/36
c) 25/216
d) 1/6
e) 25/36
16. (IPHAN 2009/FUNIVERSA) Em um instituto de pesquisa trabalham, entre
outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar
uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa
equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a
probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor
está compreendido entre
(A) 0,00 e 0,01.
(B) 0,01 e 0,02.
(C) 0,02 e 0,03.
(D) 0,03 e 0,04.
(E) 0,04 e 0,05.
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17. (APEX Brasil 2006/Fundação Universa) Em uma empresa, há 12 dirigentes
de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado
estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão
sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido
estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível
hierárquico está entre:
(A) 0,01 e 0,05.
(B) 0,06 e 0,10.
(C) 0,11 e 0,15.
(D) 0,16 e 0,20.
(E) 0,21 e 0,25.
18. (TRANSPETRO 2011/CESGRANRIO) Uma distribuição discreta de
probabilidade que fornece a frequência de ocorrência de certos tipos de
eventos aleatórios, podendo ser usada como aproximação da distribuição
binomial, corresponde à distribuição
(A) geométrica
(B) hipergeométrica
(C) normal
(D) uniforme
(E) de Poisson
19. (AFC-CGU 2008/ESAF) Tem-se que
I() = 3
4,J
J
(1 − )
4=J
, onde
3
4,J
é o
número de combinações de n elementos tomados x a x, é a função de
probabilidade de uma variável aleatória binomial. Fazendo-se na sua expressão
→ 0, → ∞, mas com = Y, I() tem como limite a função de probabilidade
de uma variável aleatória de Poisson, que é:
a)
Y
\
e
=[
b)
Y
\
e
=[
/x!
c)
YZ
=[J
d)
YZ
=J/[
e)
Y − 1Z − /Γ(Y)
20. (MPOG 2006 ESAF) Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson,
com parâmetro “m”, e k = 0, 1, 2, 3... se e somente se
a)
(
)
m
m e
P X
k
k
−
⋅
=
=
b) (
)
k
m
m
e
P X
k
k
−
⋅
=
=
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85
c) (
)
k
m
m
e
P X
k
k
⋅
=
=
d) (
)
k
m
e
P X
k
k
⋅
=
=
e) (
)
!
k
m
m
e
P X
k
k
−
⋅
=
=
21. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Na revisão tipográfica de um livro com 600
páginas, encontrou-se, em média, 1,2 erros por página. Considerando
Z
=,
= 0,30 e estimando o número de páginas que não precisam sofrer
alterações por não apresentarem defeitos, tem-se:
a) 500 páginas
b) 420 páginas
c) 200 páginas
d) 180 páginas
e) 36 páginas
22. (MEC 2009 CESGRANRIO) O número de clientes que chega a cada hora a
uma empresa tem Distribuição de Poisson, com parâmetro 2, ou seja, a
probabilidade de que cheguem k clientes é dada por
2
2
!
k
e
k
−
para k = 0, 1, 2, ....
Qual é a probabilidade de que, em uma determinada hora, cheguem dois ou
mais clientes?
(Dado: e
-2
= 0,14)
(A) 0,28
(B) 0,35
(C) 0,42
(D) 0,58
(E) 0,72
23. (AFRFB 2009 ESAF)
O número de petroleiros que chegam a uma refinaria
ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por
dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três
petroleiros em dois dias é igual a:
a)
4
32
73
e
−
b)
4
3
71
e
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c)
4
71
3
e
−
d)
2
71
3
e
−
e)
2
32
3
e
−
24. (ICMS-RJ 2009/FGV) O número de clientes que buscam, em cada dia, os
serviços de um renomado cirurgião tem uma distribuição de Poisson com
média de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgião recebe
R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o máximo de duas cirurgias em
um dia; clientes excedentes são perdidos para outros cirurgiões. Assinale a
alternativa que indique o valor esperado da receita diária do cirurgião.
(considere e
–2
= 0,14)
(A) R$ 5.600,00.
(B) R$ 8.400,00.
(C) R$ 10.000,00.
(D) R$ 14.400,00.
(E) R$ 20.000,00.
25. (AFC-CGU 2008 ESAF) Sendo X uma variável aleatória uniformemente
distribuída no intervalo [0,1], determine sua variância.
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 1/6.
e) 1/12.
26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Se X é uma variável aleatória exponencial de
parâmetro
Y = 10, então a expectância de X é igual a:
a) 0,10
b) 0,20
c) 0,30
d) 0,40
e) 0,50
27. (IBGE 2010/CESGRANRIO)O intervalo de tempo entre a chegada de dois
navios a um porto, em horas, segue distribuição exponencial com média 1. Se
acaba de chegar um navio, qual a probabilidade aproximada de que leve mais
de uma hora até a chegada do próximo?
(A) 0,37
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(B) 0,5
(C) 0,63
(D) 0,75
(E) 0,9
28. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Qual dos tipos de distribuição a seguir
corresponde a uma distribuição de variável aleatória contínua, aplicada
frequentemente em situações em que valores extremos são menos prováveis
do que valores moderados?
(A) Binomial.
(B) Normal.
(C) de Poisson.
(D) Geométrica.
(E) Hipergeométrica.
29. (SAD-PE 2010/CESPE-UnB) Considere que o tempo de espera por
atendimento X em certo local siga uma distribuição normal com média igual a
15 minutos. Com base nessas informações, assinale a opção correta acerca de
probabilidades.
A) P( X = 15 minutos) > 0,45.
B) P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos).
C) P(X > 15 minutos) < 0,48.
D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos).
E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos).
30. (Prefeitura Municipal de Florianópolis – Economista – 2008 – FEPESE)
Assinale a alternativa que completa corretamente a frase abaixo. A
distribuição normal de probabilidade é caracterizada por:
a) ter um formato de sino, com uma área total sob a curva igual a 1.
b) ser tipicamente uma distribuição discreta de probabilidade.
c) ter pontos de inflexão da curva quando o valor de variável é igual à média
mais ou menos dois desvios-padrão.
d) ter a média e a mediana iguais e superiores à moda quando a distribuição
normal é assimétrica à direita.
31. (SAD-PE 2008 FGV) A respeito de distribuição normal de probabilidades,
analise as afirmativas a seguir:
I. Se uma variável tem distribuição normal com média
µ
e desvio padrão
σ
,
então o intervalo (
µ
– 2
σ
;
µ
+ 2
σ
) contém cerca de 95% de seus valores
possíveis.
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II. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média
µ
e
variância
σ
2
, então a variável Z = (X –
µ
)/
σ
tem distribuição normal com média
0 e variância 1.
III. Se uma variável tem distribuição normal de probabilidades, então o valor
de sua média é igual ao de sua mediana.
IV. Se uma variável X tem distribuição normal com média 0,1, então a
probabilidade de que X assuma um valor negativo é maior do que 50%.
Assinale:
(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(B) se somente as afirmativas II e IV estiverem corretas.
(C) se somente as afirmativas I, II e III estiverem corretas.
(D) se somente as afirmativas II, III e IV estiverem corretas.
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas.
32. (Auditor IBGE 2010 CESGRANRIO) Seja H a variável aleatória que
representa as alturas dos cidadãos de certo país. Sabe-se que H tem
distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m. A
probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de
altura é, aproximadamente,
(A) 9,9%
(B) 10,6%
(C) 22,2%
(D) 39,4%
(E) 40,6%
33. (Estatístico – Pref. Manaus 2004 CESGRANRIO) Se X tem distribuição
normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5,
aproximadamente, vale:
a) 0,25
b) 0,28
c) 0,33
d) 0,37
e) 0,46
34. (Estatístico TCE-RO 2007 CESGRANRIO) O gasto médio dos clientes de um
posto de gasolina é uma variável aleatória normal com média R$ 100,00 e
desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais consomem recebem um
tratamento VIP, incluindo lavagem de carroceria, calibragem nos pneus e
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verificação do óleo e da água. Quanto você precisa gastar nesse posto de
gasolina, em reais, para obter tratamento VIP?
(A) 158,00
(B) 149,00
(C) 141,00
(D) 132,00
(E) 128,00
35. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Numa escola, têm-se as seguintes informações
sobre os salários de dois professores:
Professor
Salário Mensal
Em R$
Padronizado
(Z)
Gauss
1.400
2
Euler
900
-0,5
Baseando-se nos dados acima, a média e o desvio padrão para os salários da
escola serão, respectivamente de:
a) R$ 500,00 e R$ 100,00
b) R$ 1.000,00 e R$ 200,00
c) R$ 1.000,00 e R$ 100,00
d) R$ 1.150,00 e R$ 100,00
e) R$ 1.150,00 e R$ 200,00
Instruções: Para resolver às questões de números 36 e 37 utilize as
informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z:
36. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os salários dos empregados de uma
determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal com
média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A proporção dos
empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00
é
a) 87%
b) 89%
c) 92%
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90
d) 96%
e) 98%
37. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A distribuição das medidas dos cabos
fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos
medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros.
A média das medidas destes cabos é igual a
a) 7,8 metros
b) 8,0 metros
c) 8,2 metros
d) 8,4 metros
e) 9,4 metros
38. (ICMS-RJ 2008/FGV) Dentre as distribuições de probabilidades a seguir,
aquela em que
() = ( − ())² é:
a) de densidade
)
2
exp(
2
1
)
(
2
x
x
f
−
=
π
,
∞
<
<
∞
−
x
b) de densidade
1
)
(
=
x
f
,
1
0
<
< x
c)
x
n
x
p
p
x
n
x
X
P
−
−
=
=
)
1
(
)
(
, x = 0, 1, 2, ..., n
d)
!
)
(
x
e
x
X
P
x
λ
λ
−
=
=
, x = 0, 1, 2, ...
e)
+
−
=
=
n
M
N
x
n
M
x
N
x
X
P
)
(
, x = 0, 1, 2, ... n
39. (COPERGAS 2011/FCC) O tempo que um sistema computacional leva para
executar certa tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal com
média 100 segundos e desvio padrão 10 segundos. Se a tarefa é realizada 3
vezes, a probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos
em pelo menos uma dessas 3 vezes é:
Dado: Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975
(A) 0,356.
(B) 0,488.
(C) 0,512.
(D) 0,536.
(E) 0,544.
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40. (AFC-CGU 2008/ESAF) Em determinadas circunstâncias, uma variável
aleatória binomial pode ser bem aproximada por uma variável aleatória
normal. Seja X uma variável aleatória binomial com n = 400 e p = 1/2. Calcule
o valor mais próximo de
(181 ≤ ≤ 219) usando a aproximação da variável
binomial pela normal, dado que
q(1,96) = 0,975, q(2,17) = 0,985, q(2,33) = 0,99,
q(2,41) = 0,992 e q(2,58) = 0,995, q(r) é a função de distribuição de uma variável
aleatória normal padrão Z.
a) 0,95
b) 0,97
c) 0,98
d) 0,984
e) 0,99
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Gabaritos
01.
D
02.
C
03.
A
04.
Anulada 135/512
05.
B
06.
E
07.
A
08.
C
09.
A
10.
D
11.
A
12.
D
13.
C
14.
B
15.
C
16.
C
17.
B
18.
E
19.
B
20.
E
21.
D
22.
D
23.
C
24.
D
25.
E
26.
A
27.
A
28.
B
29.
B
30.
A
31.
C
32.
B
33.
D
34.
D
35.
B
36.
A
37.
D
38.
D
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39.
B
40.
A
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