PAiTM

Klasyfikacja par kinematycznych

Pary kinematyczne dzielimy na klasy, podstawą podziału jest liczba stopni swobody danej pary
kinematycznej. W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolny człon ma 6 stopni swobody. Jeżeli
człony połączymy w pary kinematyczne, to takie połączenie odbiera każdemu z członów pewną liczbę
stopni swobody. Liczba więzów i odebranych stopni swobody określona jest zależnością: a = 6 – s,
gdzie s – liczba stopni swobody danej pary kinematycznej, a – liczba więzów. Odrzucając a=6 i a=0
otrzymamy V klas par kinematycznych, które oznaczymy cyframi rzymskimi od I do V. W każdej klasie
istnieją tzw. postacie par, które mówią nam jakie ruchy są możliwe, a jakie niemożliwe. Para należy
do I klasy jeżeli odebrano każdemu z jej członów 1 stopień swobody, para należy do II klasy jeżeli jej
człony mają odebrane 2 stopnie swobody itd.

Klasyfikacja par i łańcuchów kinematycznych

Pary kinematycznej dzielimy na niższe i wyższe. Pary kinematyczne niższe, to pary w których
występuje styk powierzchniowy np. panewka, łożysko toczne. Pary kinematyczne wyższe, to pary w
których występuje styk liniowy lub punktowy np. stykające się dwa koła zębate.

Łańcuchy kinematyczne dzielimy na proste i złożone. Łańcuch kinematyczny prosty to taki, w którego
skład wchodzi nie więcej niż dwie pary kinematyczne, łańcuch kinematyczny złożony natomiast jest
łańcuchem, w którego skład wchodzą więcej niż dwie pary kinematyczne.

Liczba stopni swobody łańcucha kinematycznego

Każdy łańcuch kinematyczny posiada pewną liczbę stopni swobody, która zależy od:

•

Liczby członów

•

Liczby par kinematycznych

•

Klas par kinematycznych

Gdy w łańcuchu kinematycznym jest k – członów niepołączonych w pary, to liczba stopni swobody
wynosi 6k. Każde połączenie w pary odbiera liczbę stopni swobody równą numerowi klasy. Tak więc
liczba stopni swobody dowolnego łańcucha kinematycznego wynosi: S=6k-5p5-4p4-3p3-2p2-p1.

W teorii mechanizmów stosujemy pojęcie stopnia ruchliwości mechanizmów. Ruchliwość jest to
liczba stopni swobody względem członu nieruchomego (podstawy). W=6n-5p5-4p4-3p3-2p2-p1.

Ruchliwość dla mechanizmów płaskich: W=3n-2p5-p4.

Metoda planów wyznaczania prędkości i przyspieszeń

Metoda planów prędkości jest metodą wykreślno – analityczną, co powoduje, że jest częściowo
pozbawiona błędów, które występują w metodach wykreślnych.

Planem prędkości członu sztywnego – nazywamy układy geometryczne końców wektorów prędkości
bezwzględnych punktów mechanizmu, odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu
prędkości. Plan prędkości jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony w
stosunku do członu o kąt 90

o

.

Planem przyspieszeń członu sztywnego – nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów
przyspieszeń bezwzględnych odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu przyspieszeń.
Plan przyspieszeń członu sztywnego jest do niego podobny i obrócony o kąt δ, którego tg jest
ilorazem ε do ω

2

. Jeżeli para postępowa wykonuje ruch to działa na nią przyspieszenie Coriolisa.

Metoda analityczna prędkości i przyspieszeń

Metoda analityczna jest metodą dokładną, gdyż nie jest obarczona błędami kreślenia. Sposób
postępowania w metodzie:

1.

Mechanizm zastępujemy zamkniętym wielobokiem wektorów, które to wektory w czasie

ruchu maszyny (mechanizmu) mogą zmieniać swoją długość jak i położenie.

2.

Układ wektorów lokujemy w przyjętym kartezjańskim układzie współrzędnych.

3.

Przez kąt wektora z osią układu współrzędnych uważamy zawsze dodatni kąt o który trzeba

obrócić oś, aby jej dodatni zwrot pokrył się z dodatnim zwrotem wektora.

4.

Zależność między wektorami uzyskujemy z warunku zamykania się wieloboku wektora.

5.

Różniczkując równania rzutów po czasie jedno- i dwukrotnie, otrzymujemy prędkość i

przyspieszenie.

Metoda rzutów prędkości

Metoda rzutów prędkości opiera się o zasadę: rzuty wektorów prędkości dwóch punktów należących
do ciała sztywnego na prostą łączącą te dwa punkty są takie same.

Dane konieczne do zastosowania metody:

1.

Prędkość jednego punktu

2.

Kierunek prędkości drugiego punktu

Analiza mechanizmów krzywkowych

Metoda analityczna – sprowadza się do określenia funkcji analitycznej opisującej wznios h, prędkość
v i przyspieszenie p popychacza.

Metoda graficzna – unieruchamiamy krzywkę i zmuszamy popychacz do ślizgania się po jej
powierzchni, aż do zajęcia położenia określonego kątem

, przy którym chcemy określić wznios

popychacza. Promień krzywizny wynosi wtedy

. Następnie łukiem okręgu o promieniu  wracamy z

powrotem na oś popychacza. Różnica pomiędzy nowym położeniem popychacza, a starym stanowi
poszukiwany wznios.

Synteza mechanizmów krzywkowych

Synteza mechanizmów krzywkowych jest zagadnieniem odwrotnym do analizy, tzn. poszukiwać
będziemy zarysu krzywki takiego, aby popychacz poruszał się założonym przez nas ruchem.
Dodatkowo na ruch popychacza możemy narzucić pewne ograniczenia:

•

Maksymalny wznios popychacza

•

Maksymalna prędkość popychacza

•

Maksymalne przyspieszenie popychacza

Dodatkowo każdorazowo musimy sprawdzić trzecią pochodną wzniosu po czasie, czyli tzw. udar.
Wielkość ta powinna mieć zawsze skończoną wartość w pełnym zakresie obrotu krzywki. Syntezę
mechanizmów krzywkowych możemy prowadzić metodami analitycznymi lub graficznymi.

Wyznaczanie sił w mechanizmach bez tarcia

Analityczno – wykreślna metoda badania sił w mechanizmach bez tarcia
Warunkiem równowagi układu sił jest zamknie się utworzonego przez nie wieloboków, warunek ten
jest konieczny, ale niedostateczny. Jeżeli układ sił składa się z kilku sił znanych co do wartości i
kierunku; i dwóch sił o wartościach nieznanych, ale o znanych kierunkach to możemy wykreślić
wielobok sił i po zamknięciu wyznaczyć wartości sił nieznanych. W przypadku, gdy liczba
niewiadomych sił jest większa niż 2, wieloboku nie da się zamknąć. W takim przypadku musimy
analitycznie wyznaczyć pewną liczbę niewiadomych tak, aby nie było ich więcej niż 2. Do wyznaczenia
niewiadomych sił stosujemy równanie momentów sił, punkt względem którego liczymy moment
dobieramy tak, aby w skład równania momentu wchodziła nie więcej niż 1 niewiadoma.

Wyznaczanie sił w mechanizmach z uwzględnieniem tarcia

Przy wyznaczaniu sił w mechanizmach z uwzględnieniem tarcia pojawiają się w równaniach
dodatkowe niewiadome, a mianowicie momenty tarcia pochodzące od nieznanych sił tarcia, nie uda
się ułożyć równań momentów tak, aby w ich skład wchodziła tylko 1 niewiadoma. W przypadku gdy w
połączeniach mechanizmów występuje tarcie, sposób postępowania jest następujący:

1.

Wyznaczamy reakcje tak jak dla układu bez tarcia

2.

Wykorzystujemy te reakcje do obliczenia przybliżonych momentów tarcia. Te przybliżone

momenty tarcia przykładamy do mechanizmu i ponownie wyznaczamy reakcji.

3.

Cały proces powtarzamy aż do uzyskania zbliżonej dokładności.

Metoda punktów zastępczych do wyznaczania momentów bezwładności

Metoda punktów zastępczych polega na zastąpieniu rozpatrywanego członu mechanizmu przez
układ punktów materialnych tak dobranych, aby układ sił bezwładności modelu zastępczego i członu
rzeczywistego był taki sam.
Warunek równoważności układu rzeczywistego i przyjętego modelu:

1.

Suma mas punktów zastępczych musi być równa masie badanego członu m=m

1

+m

2

+…+m

n

2.

Środek ciężkości układu zastępczego i rzeczywistego musi pokrywać się.

3.

Suma momentów bezwładności układu zastępczego względem osi prostopadłej do

płaszczyzny w której leży rozpatrywany układ jest równa momentowi bezwładności członu
względem tego punktu. Gdy rozpatrujemy układ składający się z n małych punktów
zastępczych to liczba niewiadomych wynosi 3n (każdy punkt zastępczy określony jest 3
niewiadomymi, masą i współrzędnymi masy). Algorytm metody generujący 4 równania
pozwala w sposób dowolny – liczba wielkości, które możemy przyjąć w sposób dowolny:
p=3n – 4.

Redukcja układu rzeczywistego maszyny

Redukcję możemy przeprowadzić na dwa sposoby:
1.Maszynę zastępujemy układem jednego ciała wykonującym ruch obrotowy. Współrzędną
określającą położenie ciała jest kąt obrotu, a prędkość jest prędkością w ruchu obrotowym. Ten
sposób jest słuszny dla maszyn, których większość elementów porusza się ruchem obrotowym.
2.Maszynę zastępujemy układem jednego ciała poruszającego się ruchem postępowym. Współrzędną
określającą położenie ciała jest jego przemieszczenie, a prędkość jest prędkością w ruchu
postępowym.

Redukcja mas, sił i momentów

Redukcję przeprowadzamy w oparciu o zasadę równości energii kinetycznej układu rzeczywistego
maszyny i przyjętego modelu.
Energia kinetyczna modelu:

•

Ruch postępowy



  





•

Ruch obrotowy



  





Energia kinetyczna wszystkich członów maszyny:





















2











2 





Wyrażenie na masę zredukowaną:



 

































Wyrażenie na zredukowany moment bezwładności:



 

































Redukcja sił:
Redukcję przeprowadzamy w oparciu o zasadę równości chwilowych wartości mocy N

i

wszystkich

członów maszyny i mocy N

z

członu redukcji.

∑ 



 







 



 



Moc chwilową sił przyłożonych do członów maszyny obliczamy z wyrażenia:





 







  

















Wyrażenie na siłę zredukowaną:



 









 

















Jeżeli człon redukcji porusza się ruchem obrotowym, siły redukujemy zwykle do momentu sił:



 









 

















Równanie ruchu maszyny

Przy badaniu ruchu członu redukcji przyjmujemy jako zasadę równowartość pracy i energii
kinetycznej: dE=dL

 





  

; 













;









 



















;























 





 

















 









2





Analogicznie równanie dla ruchu obrotowego:

 





2   







 





2 


; 

 









2





Nierównomierność biegu maszyny

W maszynach w skutek wahania momentu napędowego i oporowego występują wahania prędkości
kątowej od ωmin do ωmax dla określenia stopnia nierównomierności wprowadzamy współczynnik
nierównomierności biegu maszyny.

! 











ś

;



ś











;

!  2

















 2



















; ! 











ś

Koło zamachowe

Koło zamachowe stosujemy do zmniejszenia stopnia nierównomierności biegu maszyny. Działanie
koła charakteryzuje się tym, że przyjmuje w sposób nierówny, a oddaje w sposób równomierny. Do
wyznaczenia momentu bezwładności koła zamachowego wstawiamy w miejsce Iz moment
całkowity. Masę koła zamachowego staramy umieścić na jego obwodzie, gdyż wtedy uzyskujemy
większy moment bezwładności przy mniejszym ciężarze.





"

!

ś



# 

Transformata La Place’a

Transformata pozwala na zmianę równania różniczkowego w zwykłe równanie algebraiczne. Funkcję
czasu f(t) możemy przekształcić na F(s) po transformacie nowej zmiennej s.

Transmitancja operatorowa G(s)

Transmitancja operatorowa jest to stosunek transformaty wyjściowej do wielkości wejściowej przy
zerowych warunkach początkowych.

Transmitancja widmowa

Opisuje zachowanie się układu przy zmiennej częstotliwości pojawiania się sygnału wyjściowego.
Transmitancję widmową otrzymujemy bezpośrednio z transmitancji operatorowej.

Stabilność układu

Stabilność układu jest to zdolność powrotu do stanu równowagi trwałej po ustaniu działania
zakłócenia. Układ lub element automatyki uważać będziemy za stabilny jeżeli po ustaniu działania
zakłócenia z(t) i dla dowolnych warunków początkowych sygnał wyjściowy dążyć będzie do wartości
ustalonej przy czasie t dążącym do nieskończoności.