Zadania dodatkowe

Zadanie 1
Sprawdź, czy relacja f ⊆ R × R, dana zależnością ∀

x,y∈R

[(x, y) ∈ f ⇔ 2x

2

+ y = 3] jest funkcją

częściową.

Zadanie 2
Sprawdź, czy relacja f ⊆ R × R, dana zależnością ∀

x,y∈R

[(x, y) ∈ f ⇔ x + y

2

= 6] jest funkcją

częściową.

Zadanie 3
Uzasadnij, że funkcja f : R → R dana wzorem f(x) = x

2

– 2 nie jest funkcją różnowartościową.

Zadanie 4
Udowodnij, że funkcja f : (1, +∞) → R dana wzorem f(x) = x

2

– 2x + 3 jest funkcją różnowartościową.

Zadanie 5
Rozważmy funkcję f : N → N daną wzorem f(x) = x

2

+ 1. Wyznacz obraz f(A), dla zbioru A = {1, 2, 5}.

Zadanie 6
Rozważmy funkcję f : R → R daną wzorem f(x) = cosx + 2. Wyznacz obraz f(A), dla zbioru A = {0, π, 2π}.

Zadanie 7
Uzasadnij z definicji, że zbiór liczb naturalnych parzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb
naturalnych nieparzystych.

Zadanie 8
Uzasadnij, że zbiór parzystych potęg liczby 2 jest przeliczalny.

Zadanie 9
Uzasadnij, że zbiór liczb pierwszych jest przeliczalny.

Zadanie 10
Uzasadnij, że zbiór {1, 2, 3} × N jest przeliczalny.

Zadanie 11
Rozważmy funkcję f : R → R daną wzorem f(x) = x

2

+ 1. Uzasadnij, że obraz f(N) jest przeliczalny.

Zadanie 12
Uzasadnij, że przedział (0, π) nie jest przeliczalny.