12 równanie ciągłości – ruch nieustalony płynu ściśliwego
Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości V
x
,V
y
,V
z
ciśnienie p
i ρ jako funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy
płynu, która wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy, dz .
-
( )
dx
x
V
V
x
x
∂
∂
+
ρ
ρ
Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość ρ(x, y, z, t)=0. W czasie dt w kierunku
osi x wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu ρV
x
dzdydt.
Przez przeciwległą ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu.
( )
dydzdt
dx
x
V
V
x
x
∂
∂
+
ρ
ρ
przyrost masy w czasie dt w kierunku osi x
( )
( )
dxdydzdt
x
V
dydzdt
dx
x
V
V
dydzdt
V
x
x
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
−
ρ
ρ
ρ
ρ
Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą:
( )
( )
dxdydzdt
z
V
dxdydzdt
y
V
z
y
∂
∂
−
∂
∂
−
ρ
ρ
;
Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku wszystkich osi:
( )
( )
( )
dxdydzdt
z
V
y
V
x
V
z
y
x
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
ρ
ρ
ρ
Równocześnie jednak mamy gęstość ρ która w czasie t wynosiła ρ(x,y,z,t), więc w czasie t+dt
gęstość ρ(x,y,z,t+dt)=ρ+(
لρ/لt)
*
dt
W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości ρ(dxdydz) do
[ρ(
لρ/لt)
*
dt]dxdydz. Stąd przyrost masy -ρdxdydz+[ρ+(
لρ/لt)
*
dt]dxdydz =
(
لρ/لt)dxdydzdt.
Porównując przyrosty otrzymujemy:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⇒
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
z
V
y
V
x
V
t
dxdydzdt
t
dxdydzdt
z
V
y
V
x
V
z
y
x
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.
lub :
( )
( )
( )
dt
dz
z
z
V
V
z
z
V
z
V
dt
dy
y
y
V
V
y
y
V
y
V
dt
dx
x
x
V
V
x
x
V
x
V
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Podstawiając do równania ciągłości :
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
V
y
V
x
V
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
t
z
y
x
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
0
=
+
V
div
dt
dp
r
ρ
→ równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.