12 równanie ci1g3osciid 13586

background image

12 równanie ciągłości – ruch nieustalony płynu ściśliwego

Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości V

x

,V

y

,V

z

ciśnienie p

i ρ jako funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy
płynu, która wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy, dz .

-

( )

dx

x

V

V

x

x

+

ρ

ρ

Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość ρ(x, y, z, t)=0. W czasie dt w kierunku
osi x wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu ρV

x

dzdydt.

Przez przeciwległą ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu.

( )

dydzdt

dx

x

V

V

x

x

+

ρ

ρ

przyrost masy w czasie dt w kierunku osi x

( )

( )

dxdydzdt

x

V

dydzdt

dx

x

V

V

dydzdt

V

x

x

x

x

=

+

ρ

ρ

ρ

ρ

Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą:

( )

( )

dxdydzdt

z

V

dxdydzdt

y

V

z

y

ρ

ρ

;

Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku wszystkich osi:

( )

( )

( )

dxdydzdt

z

V

y

V

x

V

z

y

x

+

+

+

ρ

ρ

ρ

Równocześnie jednak mamy gęstość ρ która w czasie t wynosiła ρ(x,y,z,t), więc w czasie t+dt
gęstość ρ(x,y,z,t+dt)=ρ+(

لρ/لt)

*

dt

W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości ρ(dxdydz) do
[ρ(

لρ/لt)

*

dt]dxdydz. Stąd przyrost masy -ρdxdydz+[ρ+(

لρ/لt)

*

dt]dxdydz =

(

لρ/لt)dxdydzdt.

Porównując przyrosty otrzymujemy:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

=

+

+

+

=

+

+

+

z

V

y

V

x

V

t

dxdydzdt

t

dxdydzdt

z

V

y

V

x

V

z

y

x

z

y

x

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

lub :

( )

( )

( )

dt

dz

z

z

V

V

z

z

V

z

V

dt

dy

y

y

V

V

y

y

V

y

V

dt

dx

x

x

V

V

x

x

V

x

V

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

Podstawiając do równania ciągłości :

0

=





+

+

+

+

+

+

z

V

y

V

x

V

dt

dz

z

dt

dy

y

dt

dx

x

t

z

y

x

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

0

=

+

V

div

dt

dp

r

ρ

→ równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
12 równanie ci1g3osci
12 równanie ciągłości, mechanika plynów
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
12 ELEMENTY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH
METODA 3 RÓWNAŃ- wzorki, NAUKA, budownictwo nowe 4.12.2011, Materiały budowlane
uklady rownan nieliniowych 0.12
12 Uklady rownan
LISTA 12 Zwyczajne, liniowe równania różniczkowe II go rzędu o stałych współczynnikach
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Edytor rownan 2003 12
Macierze,wyznaczniki, układy równań AK, 2011 12
wykład 12 pamięć
Rozwiązywanie układów równań

więcej podobnych podstron