str. 1

Rozkłady NIECIĄGŁE

Rozkład dwupunktowy (zero jedynkowy) - teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:

)

Rozkład używany w statystyce przy badaniu cech niemierzalnych (jakościowych)

Rozkład dwumianowy(rozkład Bernoulliego) - rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:

Rozkład Poissona - rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X o funkcji
prawdopodobieństwa określonej wzorem:

Rozkłady CIĄGŁE

(najważniejszy)Rozkład normalny - najprostszy w statystyce rozkład zmiennej losowej ciągłej X o
prawdopodobieństwa określonej wzorem:

Często rozkład normalny oznacza się symbolem N(m, σ), gdzie m jest wartością oczekiwaną (średnią).
a σ odchyleniem standardowym w tym rozkładzie.
Rozkład normalny standardowy - rozkład normalny N(0,1) o funkcji gęstości określonej wzorem:

Wykresem jest krzywa Gaussa, a zmienna krzywa U mająca rozkład N(0,1) nosi nazwę standardowej
lub unormowanej zmiennej normalnej
Rozkład X

2

(chi kwadrat) o k stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej o funkcji gęstości

prawdopodobieństwa określonej wzorem:

0 dla X

2

≤0

Rozkład t Studenta o k stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa określonej wzorem:

dla -

Rozkład F Snedecara o k1 i k2 stopniach swobody rozkład zmiennej losowości ciągłej o funkcji
gęstości prawdopodobieństwa.

str. 2

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRÓW

1) Przedział ufności dla średniej

MODEL 1
założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
- wartość średnia m jest nieznana,
-próba losowana niezależnie,

Wzór przedziału ufności dla średniej m:

Wartość u

n

dla danego współczynnika ufności 1-α, wyznaczona jest z tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego N(0,1), tak aby

P{ -u

α

< U < + u

α

} = 1 - α

Dla przykładu jeżeli 1-α=0,95 to un = 1,96

-

Model 2
założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-wartość średnia m jest nieznana,
-odchylenie standardowe σ nieznane,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby mała (n<30)

Wzór przedziału ufności dla średniej m:

Odchylenie standardowe:

s - odchylenie standardowe populacji
ŝ - odchylenie standardowe próbki
Wartość t

n

dla danego współczynnika ufności 1-α oraz k = n - 1 liczby stopni swobody, wyznaczona

jest z tablicy dystrybuanty rozkładu t Studenta, tak aby:

P [ -t

n

< t < +t

n

] = 1 - α

-

str. 3

Model 3
założenia;
- populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-wartość średnia m jest nieznana,
-wariancja σ

2

nieznana,

- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby duża (n>30)

Wzór przedziału ufności dla średniej m :

Ponieważ n jest duże, wyniki próby grupuje się w szereg o r klasach, tak aby:
r - liczba klas,
n

j

- liczebność własna klasy,

ẋ - środek przedziału klasowego.

Wartość u

n

dla danego współczynnika ufności 1-α, wyznaczona jest z tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego N(0,1), tak aby

P[ -u

α

< U < + u

α

] = 1 - α

-

2) Przedział ufności dla wariancji

Podstawowe pojęcia:
Najczęściej używanymi estymatorami wariancji α

2

populacji generalnej są statystyki określonej

wzorami:

s

2

- wariancja populacji (estymator obciążony),

ŝ

2

- wariancja próbki (estymator nieobciążony),

W przypadku wyznaczenie przedziału ufności dla wariancji oba estymatory s

2

i

ŝ

2

są równoważne:

-
Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-wartość średnia m jest nieznana,
-odchylenie standardowe σ nieznane,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby mała (n<30).

str. 4

Wzór przedziału ufności dla wariancji σ

2

:

= 1 - α

= 1 - α

c

1

, c

2

- wartości zmiennej X

2

wyznaczone z rozkładu X

2

dla k = n - 1 stopni swobody oraz

współczynnika ufności 1-α, tak aby:

Ponieważ używane powszechnie tablice rozkładu X

2

podając prawdopodobieństwo P{X

2

≥ X

α

2

}, zatem

wartość c

1

odczytujemy z tablic rozkładu X

2

dla prawdopodobieństwa 1/2 α, natomiast c

2

dla -1/2 α.

-
Model 2
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-wartość średnia m jest nieznana,
-odchylenie standardowe σ nieznane,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby duża (n≥30).

Z próby wyznaczana jest wartość

.

Wzór przedziału ufności dla odchylenia standardowego populacji σ:

≈ 1 - α

Wartość u

α

dla danego współczynnika ufności 1 - α, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego N(0, 1) tak aby:
P{-u

α

< U < +u

α

} = 1 - α

-

3) Przedział ufności dla procentu (wskaźnik struktury)

Podstawowe pojęcia:
Jeżeli badana cecha w populacji generalnej ma charakter jedynie jakościowy (jest niemierzalna),
elementy populacji możemy wtedy podzielić na dwie klasy. Podstawowym parametrem populacji ze
względu na cechę jakościową (niemierzalną) jest frakcja, lubpo pomnożeniu przez 100 - procent,
elementów wyróżnionych w populacji (in. wskaźnik struktury).

Najlepszym estymatorem parametru p (frakcja) jest wskaźnik struktury z próby m/n, gdzie m
oznacza liczbę elementów wyróżnionych w losowej próbie o liczebności n.

Najlepiej szacować frakcję p elementów wyróżnionych w populacji (lub procent), w oparciu o wyniki
dużej próby (n<100) .

str. 5

Model 1
-populacja generalna ma rozkład dwupunktowy,
-frakcja elementów wyróżnionych p > 0,05,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby duża (n>100).

Wzór przedziału ufności dla wskaźnika struktury p populacji generalnej:

Wartość u

α

dla danego współczynnika ufności 1-α, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego N(0, 1), tak aby:

P{-u

α

< U < +u

α

} = 1 - α

-

4) Wyznaczenie niezbędnej liczby pomiarów do próby

Podstawowe pojęcia:
Szacując metodą przedziałową parametr θ populacji generalnej, wyznacza się dla niego przedział
ufności w oparciu o rozkład estymatora, w oparciu o wyniki próby o ustalonej z góry liczebności n.
Może okazać się, że połowa długości przedziału ufności d która jest miarą maksymalnego błędu
szacunku parametru θ, dyskredytuje dokonany szacunek parametru ze względu na swą wielkość.

Aby zapewnić zgodną z góry dobrą dokładnośc szacunku pomiaru θ, należy przy założonym
współczynniku ufności 1-α, odpowiednio dobrać liczebność próby n!

Obliczenia da się przeprowadzić dla szacunku średniej m oraz frakcji p.

Nie można zastosować takiego rozumowania dla szacunku wariancji σ

2

.

-
Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-wariancja populacji σ

2

jest znana,

-szacowanie nieznanej średniej m populacji z próby o n elementach. losowanych niezależnie.

Wzór na niezbędną liczebność próby n, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d:

Wartość u

α

dla danego współczynnika ufności 1-α, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego N(0, 1), tak aby:

P{-u

α

< U < +u

α

} = 1 - α

-
Model 2
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
- wariancja populacji σ

2

jest nieznana,

-znana statystyka ŝ

2

uzyaskana z małej próby wstępnej,

- próba losowana niezależnie, o liczebności n

0

,

-szacowanie nieznanej średniej m populacji z próby o n elementach, losowanych niezależnie.

Wzór na niezbędną liczebność próby n, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d:

str. 6

Wartość t

α

dla danego współczynnika ufności 1- α oraz k = n

0

- 1 liczny stopni swobody,

wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu t Studenta, tak aby:

P{-t

α

< t < +t

α

} = 1 - α

Jeżeli n ≤ n

0

(obliczona wartość n zaokrąglamy do całości, zawsze w górę), to próba wstępna jest

wystarczająca(spełnia założoną dokładność szacunku średniej m).
Jeżli n>n

0

, to należy jeszcze dolosować do właściwej próby n- n

0

elementów.

-
Model 3
Założenia
-populacja generalna ma rozkład dwupunktowy,
-szacowanie nieznanej frakcji p populacji z próby o n elementach, losowanych niezależnie.

Wzór na niezbędną liczebność próby n, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d:
a) Jeżeli znamy spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji p

b) Jeżeli nie znamy spodziewanego rzędu wielkości szacowanej frakcji p, zakłada się największą
wartość iloczynu pq= 1/4

Wartość u

α

dla danego współczynnika ufności 1-α, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu

normalnego N(0, 1), tak aby:

P{-u

α

< U < +u

α

} = 1 - α

-

5) Test dla wartości średniej populacji

Model 1
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-m

0

- hipotetyczna wartość średniej,

-odchylenie standardowe σ nieznane,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: m=m

0

,

-hipoteza alternatywna H

1

: m≠m

0

.

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

Z tablicy rozkładu N(0,1) przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

,

tak aby zachodziła równość:

P{|U| ≥u

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

str. 7

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: m≠m

0

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: m<m

0

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≤ u

α

oraz u

α

wyznaczamy

tak aby:

P{U ≤ u

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: m>m

0

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≥ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≥ u

α

} = α

-
Model 2
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-m

0

- hipotetyczna wartość średniej,

-odchylenie standardowe σ nieznane,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: m=m

0

,

-hipoteza alternatywna H

1

: m≠m

0

.

-próba losowana mała(n<30).

Wzór na wartość statystyki t:

Z tablicy rozkładu t Studenta przy założonym poziomie istotności α oraz k=n-1 stopniach swobody,
wyznacza się wartość krytyczną t

α

, tak aby zachodziła równość:

P{|t| ≥t

α

} = α

Zbiór wartości U okreslon jako |t| ≥ t

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli :

|t| ≥ t

α

- hipotezę H

0

nalezu odrzucić,

|t| < t

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 2 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: m≠m

0

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: m<m

0

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. t ≤ t

α

oraz t

α

wyznaczamy

tak aby:

P{t ≤ t

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: m>m

0

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. t ≥ t

α

oraz t

α

wyznaczamy

tak aby:

P{t ≥ t

α

} = α

-
Model 3
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
- wariancja populacji σ

2

jest nieznana,

-m

0

- hipotetyczna wartość średniej,

-weryfikacja na podstawie próby losowana hipotezy H

0

: m=m

0

,

-hipoteza alternatywna H

1

: m≠m

0

,

- próba losowana duża (n≥30).

str. 8

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

Z tablicy rozkładu N(0,1) przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

,

tak aby zachodziła równość:

P{|U| ≥u

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 3 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: m≠m

0

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: m<m

0

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≤ u

α

oraz u

α

wyznaczamy

tak aby:

P{U ≤ u

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: m>m

0

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≥ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≥ u

α

} = α

-

6) Test dla dwóch średnich

Model 1
Założenia:
-populacje generalne mają rozkład N(m

1

, σ

1

) oraz N(m

2

, σ

2

),

-odchylenie standardowe σ

1

oraz σ

2

znane,

weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H

0

: m

1

=m

2

,

-hipoteza alternatywna H

1

: m

1

≠m

2

.

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

, tak

aby zachodziła równość:

P{|U| ≥ u

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: m

1

≠m

2

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: m

1

<m

2

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≤ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≤ u

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: m

1

>m

2

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≥ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≥ u

α

} = α

str. 9

-


Model 2
Założenia:
-populacje generalne mają rozkład N(m

1

, σ

1

) oraz N(m

2

, σ

2

),

-odchylenie standardowe σ

1

oraz σ

2

nieznane, lecz σ

1

=

σ

2

,

weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H

0

: m

1

=m

2

,

-hipoteza alternatywna H

1

: m

1

≠m

2

.

- próby losowane małe (n

1

< 30 oraz n

2

< 30)

Wzór na wartość statystyki t:

Z tablicy rozkładu t Studenta przy założonym poziomi istotności α oraz k = n

1

+ n

2

- 2 stopniach

swobody, wyznacza się wartość krytyczną t

α

tak aby zachodziła równość:
P{|t| ≥ t

α

} = α

Zbiór wartości t określono jako |t| ≥t

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|t| ≥ t

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|t| < t

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 2 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: m

1

≠m

2

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: m

1

<m

2

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. t ≤ t

α

oraz t

α

wyznaczamy

tak aby:

P{t ≤ t

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: m

1

>m

2

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. t ≥ t

α

oraz t

α

wyznaczamy tak aby:

P{t ≥ t

α

} = α

-
Model 3
Założenia:
-populacje generalne mają rozkład N(m

1

, σ

1

) oraz N(m

2

, σ

2

),

-odchylenie standardowe σ

1

oraz σ

2

nieznane,

weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H

0

: m

1

=m

2

,

-hipoteza alternatywna H

1

: m

1

≠m

2

.

- próby losowane duże (n

1

≥ 30 oraz n

2

≥ 30)

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

,

tak aby zachodziła równość:

P{|U| ≥ u

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

str. 10

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 3 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: m

1

≠m

2

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: m

1

<m

2

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≤ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≤ u

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: m

1

>m

2

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≥ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≥ u

α

} = α

-

7) Test dla procentu (wskaźnik struktury)

Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład dwupunktowy,
-p - frakcja elementów wyróżnionych w populacji,
p

0

- hipotetyczna wartość frakcji,

- weryfikacja na podstawi próby losowej hipotezy H

0

: p=p

0

,

- hipoteza alternatywna H

1

: p≠p

0

,

- próba losowana niezależnie, duża (n>100).

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

gdzie q

0

=1 -p

0

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

,

tak aby zachodziła równość:

P{U ≤ u

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: p≠p

0

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: p<p

0

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≤ u

α

oraz u

α

wyznaczamy

tak aby:

P{U ≤ u

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: p>p

0

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≥ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≥ u

α

} = α

-

7) Test dla dwóch procentów

Model 1

Założenia:
-dwie populacje generalne mają rozkłady dwupunktowe,
-p

1

, p

2

- frakcje elementów wyróżnionych w populacji,

- weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H

0

: p

1

=p

2

,

- hipoteza alternatywna H

1

: p

1

≠p

2

,

str. 11

- duże próby losowe (n

1

>100, n

2

>100).

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

gdzie q =1 -p

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

,

tak aby zachodziła równość:

P{U ≤ u

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H

1

: p≠p

0

.)

Jeżeli hipoteza H

1

: p<p

0

. - test z lewostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≤ u

α

oraz u

α

wyznaczamy

tak aby:

P{U ≤ u

α

} = α

Jeżeli hipoteza H

1

: p>p

0

. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U ≥ u

α

oraz u

α

wyznaczamy tak aby:

P{U ≥ u

α

} = α

-

8) Test dla wariancji populacji generalnej

Model 1

Założenia:
-populacja generalna ma rozkład N(m, σ),
-średnia m oraz odchylenie standardowe σ nieznane,
- σ

0

2

-hipotetyczna wartość wariancji,

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: σ

2

= σ

0

2

,

- hipoteza alternatywna H

1

: σ

2

>σ

0

2

,

- próba losowa mała (n<30).

Wzór na wartość statystyki X

2

:

Z tablicy rozkładu X

2

, przy założonym poziomie istotności σ oraz k=n-1 stopniach swobody wyznacza

się wartość krytyczną X

0

2

, tak aby zachodziła równość:

P{X ≥ X

α

2

} = α

Zbiór wartości X

2

określono jako X

2

≥ X

0

2

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

X

2

≥ X

0

2

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

X

2

< X

0

2

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Jeżeli n ≥ 30 korzystamy z rozkładu N(0,1) zgodnie ze wzorem

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną u

α

,

tak aby zachodziła równość:

P{U ≤ u

α

} = α

str. 12

Zbiór wartości U określono jako |U| ≥u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|U| ≥ u

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

|U| < u

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

-

8) Test dla dwóch wariancji

Model 1

Założenia:
-populacje generalne mają rozkłady N(m

1

, σ

1

) oraz N(m

2

, σ

2

),

-średnie m

1

,m

2

oraz odchylenia standardowe σ

1

, σ

2

nieznane,

-weryfikacja na podstawie dwóch prób losowych hipotezy H

0

: σ

1

2

=

σ

2

2

- hipoteza alternatywna H

0

: σ

1

2

>

σ

2

2

.

Z obu prób wyznaczana jest wartość statystyki

;

Wzór na wartość statystyki F:

Z tablicy rozkładu F przy założonym poziomie istotności α oraz k

1

=n

1

-1 i k

2

=n

2

- 1 stopniach swobody,

wyznacza się wartość krytyczną F

α

tak aby zachodziła równość:

P{F ≥ F

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako F ≥F

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

F ≥ F

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

F < F

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

-

9) Test zgodności X

2

:

Model 1
Założenia:
-populacje generalne mają rozkłady Ω,
-próba losowa o dużej liczebności (n≥30),
-F(x) - dystrybuanta rozkładu populacji,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: F(x)єΩ.

Wzór na wartość zmiennej rozkładu X

2

:

- wartość dystrybuanty rozkładu N(0,1) w punkcie u

1

;

r - liczba klas,
n

i

- liczebność i-tej klasy,

p

i

- wartość prawdopodobieństwa w i-tej klasie,

x

i

- wartość końca przedziału w i-tej klasie.

Z tablicy rozkładu X

2

, przy założonym poziomie istotności k=r-1 stopniach swobody, wyznacza się

wartość krytyczną X

α

2

, tak aby zachodziła równość:

P{ X

2

≥ X

α

2

} = α

Zbiór wartości U określono jako X

2

≥ X

α

2

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

X

2

≥ X

α

2

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

str. 13

X

2

< X

α

2

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

Uwaga
Test X

2

jest tak zbudowany, że im bliższa zeru jest wartość X

2

, tym hipoteza H

0

jest bardziej

wiarygodna

-

10) Test zgodności λ Kołmogorowa

Model 1
Założenia:
- populacja generalna ma dowolny ciągły rozkład Ω,
- próba losowa o dużej liczebności (n≥30);
-F(x) - dystrybuant rozkładu populacji;
-F

0

(x) - hipotetyczna ciągła dystrybuanta,

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: F

0

(x).

Wyniki próby grupujemy w stosunkowo wąskie przedziały o prawych końcach x

j

oraz liczebnościach

n

j

. Obliczamy empiryczną dystrybuantę F

n

(x) ze wzoru

- skumulowana od początku aż do x

j

liczebność , tzn.:

Z podziału hipotetycznego wyznaczamy dla każdego x

j

wartość teoretycznej dystrybuanty F(x), np.

F

n

(x)=F(u

j

), przy czym

;

Ostatecznie wyznaczana jest wartość statystyki λ z zależności:

Z tablicy rozkładu λ Kołmogorowa, przy założonym poziomie istotności

α wyznacza się wartość

krytyczną λ

α

, tak aby zachodziła równość:

P{ λ ≥ λ

α

} = α

Zbiór wartości U określono jako λ ≥ λ

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

λ ≥ λ

α

- hipotezę H

0

należy odrzucić,

λ < λ

α

- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.