Metody probabilistyczne

Lista 4

Rozkłady zmiennych losowych dyskretnych

Zadanie 1: Rozważmy zmienne losowe na przestrzeni
, złożonej z 36 jednakowo prawdopodobnych wyników rzutu dwiema symetrycznymi kostkami:
oraz

1. Znajdź zbiory wartości zmiennych D i M.

2. Sporządź tablice rozkładów zmiennych D i M.

3. Oblicz
   ,
   i
   .

4. Czy zmienne losowe D i M są niezależne?

5. Znajdź dystrybuanty zmiennych losowych D i M, naszkicuj ich wykresy,

6. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennych D i M.

Zadanie 2: Przypuśćmy, że niezależne zmienne losowe
mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa
, gdzie
,
i
dla pozostałych wartości
. Oblicz

1)

2)

3) Znajdź zbiór wartości Z=X+Y zmiennych X i Y.

4) Oblicz

5. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Z.

6. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej 3X+2

7. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennych X, Y, Z, 3X+2

Zadanie 3: Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa f, gdzie
,
i
dla pozostałych wartości x. Znajdź wartości oczekiwane i odchylenia standardowe zmiennych losowych:

a) X b)
c)
d) 3X+2

Zadanie 4: Rzucamy dwiema kostkami. Oznaczamy przez X zmienną losową przyjmującą wartości równe liczbie oczek na pierwszej kostce, a przez Y zmienną losową przyjmującą wartość 1, o ile liczba oczek na drugiej kostce jest parzysta i liczbę 2, o ile liczba oczek na tej kostce jest nieparzysta. Podać rozkład zmiennej losowej Z=X+Y.

Zadanie 5: Pewna gra polega na rzucie trzema monetami i otrzymaniu wygranej 10 zł w przypadku wyrzucenia trzech orłów, 3 zł w przypadku wyrzucenia trzech reszek, a przegraniu 6 zł w pozostałych przypadkach. Traktując „wygraną” jako zmienną losową podać jej funkcję prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę, wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe.

Zadanie 6: Rozważ funkcję
, gdzie
.

Czy funkcja
jest rozkładem prawdopodobieństwa jakiejś zmiennej losowej?

Zadanie 7: W urnie znajduje się 5 białych i 5 niebieskich kul. Wybieramy losowo cztery kule (bez zwracania). Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, która podaje liczbę wylosowanych kul białych. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe liczby wylosowanych kul białych.

Zadanie 8: Zmienna losowa X podlega rozkładowi podanemu w tabelce

i	-2	-1	0	3	5
P(X=i)	0,1	0,5	0,2	C	0,1

1. Oblicz stałą C,

2. Wyznacz i naszkicuj dystrybuantę tego rozkładu.

Zadanie 9: Rozkład prawdopodobieństwa liczby wypadków powstających w ciągu dnia roboczego przedstawia tabela

Liczba wypadków	0	1	2	3	4	5
P-stwo wystąpienia wypadku	0,02	0,18	0,28	0,25	0,20	0,07

1. wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X opisującej liczbę wypadków i naszkicuj jej wykres,

2. oblicz
   ,

3. ustal nadzieję matematyczną i wariancję zmiennej losowej X.

Zadanie 10: Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem

Określ funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.

Rozkłady zmiennych losowych ciągłych

Zadanie 11: Dana jest zmienna losowa o następującej funkcji gęstości:

1. znajdź stałą c,

2. oblicz dystrybuantę podanej zmiennej losowej,

3. wyznacz
   

4. oblicz
   

Zadanie 12: Zmienna losowa podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem

Oblicz stałą C, podaj dystrybuantę, oblicz
, oblicz
.

Zadanie 13: Zmienna losowa podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem

Oblicz stałą C, podaj dystrybuantę, oblicz
, oblicz
.

Zadanie 14: Rozkład zmiennej losowej X określa funkcja gęstości
. Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. Oblicz prawdopodobieństwa
. Sporządź wykres dystrybuanty zmiennej losowej X i zaznacz na nim odcinki, których długości reprezentują obliczone prawdopodobieństwa.

2

---