Metody probabilistyczne i statystyka

Teoria

v.0.1

Copyleft 2013 by Małolat

1. Stochastyka - rachunek prawdopodobieństwa, kombinatoryka i statystyka.
   

2. Przestrzenią probabilistyczną nazywamy parę
   , gdzie:

1. Ω jest dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym oraz skończonym albo nieskończonym, ale przeliczalnym,

2. p jest funkcją ze zbioru Ω w zbiór liczb rzeczywistych
   i jest rozkładem prawdopodobieństwa na tym zbiorze Ω.
   

3. Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
   

4. Funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω wtedy, gdy:

1. 
   , gdzie
   ,

2. 
   .
   

5. Przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa jest konstruowanie i badanie przestrzeni probabilistycznych.
   

6. Klasyczną funkcją probabilistyczną nazywamy taką funkcje p, że:
   
   , dla każdego
   .
   Wtedy
   nazywamy klasyczną przestrzenią probabilistyczną.
   

7. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, eksperyment, zjawisko (realne lub pomyślane), o przebiegu i wyniku którego decyduje przypadek, przy czym:

1. Ω jest co najwyżej przeliczalny,

2. dla każdego wyniku da się określić prawdopodobieństwo, z jakim to doświadczenie może się z tym wynikiem zakończyć, gdy będzie wykonane w przyszłości (za chwilę, jutro, za miesiąc...).
   

8. Parę
   nazywamy modelem probabilistycznym zdarzenia losowego. Model probabilistyczny zdarzenia losowego zawsze jest przestrzenią probabilistyczną.
   

9. Przyrząd losujący - przedmiot, za pomocą którego wykonujemy doświadczenie losowe.
   

10. Jeżeli doświadczenie losowe przebiega etapami to jego wynik przedstawiamy jako ciąg wyników kolejnych etapów.
    

11. Rozkład dwumianowy:
    
    .
    

12. Rozkład geometryczny:
    
    .
    

13. Dwumian Newtona:
    
    .
    

14. Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie, w którym są dwa możliwe wyniki, sukces i porażka:
    
    
    
    
    0 - porażka
    1 - sukces
    

15. Powtarzanie n razy (n>1) próby Bernoullego nazywamy schematem Bernoullego o n próbach. Każdy wynik schematu Bernoullego jest k-wyrazowym ciągiem o wyrazach ze zbioru dwuelementowego
    .
    
    - zbiór wszystkich wyników schematu Bernoullego o n próbach
    
    , gdzie k jest liczbą jedynek w ciągu ω, oraz
    .
    

16. Populacją nazywamy każdy zbiór, którego elementy interesują nas ze względu na pewną cechę.
    

17. Bijekcja zbioru:
    
    
    Funkcję f nazywamy bijekcją jeśli jest to funkcja różnowartościowa oraz
    .
    

18. Zdarzenie jest to zbiór pewnych wyników doświadczenia:

1. zbiór A jest zdarzeniem w danej przestrzeni
   , gdy
   ,

2. 
   - rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω,

3. 
   - zdarzenie niemożliwe
   
   - zdarzenie pewne
   Pozostałe to zdarzenia prawdopodobne.
   

19. Jeśli
    jest przestrzenią probabilistyczną i jeśli
    to:
    
    
    P - prawdopodobieństwo
    
    , gdzie
    .
    

20. Twierdzenie Laplace'a (klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzeń):
    Jeżeli przestrzeń probabilistyczna
    jest klasyczna i A jest zdarzeniem tej przestrzeni, to P(A) jest ilorazem mocy zbioru A i mocy zbioru Ω.
    
    
    

21. W losowaniu zapałkami każdy ma równe szanse, natomiast w losowaniu metodą marynarza szanse nie są równe.
    

22. Zmienna losowa - jest to funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia (przebiegającego etapami lub nie) przypisuje liczbę (np. wyrzuconych reszek, sumę liczb oczek, liczbę sukcesów schematu Bernoullego, itp.).
    
    - przestrzeń probabilistyczna
    
    - zmienna losowa
    

23. Jeśli doświadczenie przebiega etapami, to kolejne etapy są przeprowadzane w kolejnych jednostkach czasu.
    

24. Niech X będzie zmienną losową w dowolnej przestrzeni
    .
    Ω_X - zbiór wszystkich wartości zmiennej X
    
    Przykład:
    
    lub
    
    
    
    
    
    - prawdopodobieństwo z jakim zmienna losowa X przyjmie wartość x_j
    
    Na zbiorze Ω_X określimy funkcję p_X:
    
    
    
    
    
    Funkcja p_X jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω_X wartości zmiennej losowej X.
    

25. Obszar krytyczny (Λ_α) - zbiór wartości, których wystąpienie przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej (H₀), jest na tyle mało prawdopodobne, żeby realizacja zmiennej losowej w tym obszarze pozwalała na odrzucenie hipotezy zerowej.
    

26. Niech
    będzie przestrzenią probabilistyczną, a A i B są zdarzeniami w tej przestrzeni. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę
    i oznaczamy ją
    .
    

27. Twierdzenie Poissona.
    
    - S_n jest zmienną losową oznaczającą liczbę sukcesów w schemacie Bernoullego o n próbach.
    
    
    ,
    
    
    Dla dostatecznie dużych n, lim nu_n jest bliskie λ.
    
    
    , dla
    
    

28. Przybliżenie Poissona.
    Z twierdzenia Poissona wynika następujące przybliżenie:
    
    , dla
    , gdzie n jest duże, u jest małe oraz
    
    

29. Rozkład Poissona.
    
    , dla
    oraz
    
    
    
    
    Ta funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na liczbach całkowitych nieujemnych.
    

30. Nadzieja matematyczna (wartość oczekiwana zmiennej losowej, E(X)) - jest to wartość jakiej spodziewamy się jako wyniku doświadczenia losowego.

1. załóżmy, że X jest zmienną losową w
   , zbiór Ω_X jest skończony
   , wtedy:
   
   ,
   

2. wartość oczekiwana liczby sukcesów w schemacie Bernoullego:
   
   
   
   , dla
   
   
   .
   

31. Twierdzenia o wartości oczekiwanej:

1. jeżeli X jest zmienną losową w przestrzeni probabilistycznej
   , a zbiór wartości Ω_X jest skończony
   , wówczas:
   
   , gdzie
   ,
   

2. jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi w tej samej przestrzeni i każda ma skończony zbiór wartości to:
   
   .

4

---