Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Metody probabilistyczno-

statyczne

w pomiarze ryzyka projektu

inwestycyjnego

Politechnika Warszawska

Wydział Inżynierii Lądowej

[e-mail]

Dr inż. Andrzej

Minasowicz

FCIOB, SIDIR, PSMB

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

W procesie wykorzystania

probabilistyczno-statystycznych metod

oceny ryzyka związanego z realizacją

konkretnego projektu inwestycyjnego

jest ważne ustalenie następujących

założeń wyjściowych:

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



horyzontu czasowego (t) budowy i eksploatacji

inwestycji, t = 1, ..., n okresów (lat)



kryterium oceny efektywności projektu inwestycyjnego,

np. w postaci wartości zdyskontowanej netto (NPV)



definicji rozłącznych pojęć mających istotne znaczenie

z punktu widzenia mechanizmów zastosowania metod



warunków realizacji projektu inwestycyjnego,

związanych głównie z charakterystyką zdarzeń

inwestycyjnych (zmiennych losowych) w czasie, np.

sald przepływów środków pieniężnych



wariantów oraz scenariuszy projektów inwestycyjnych

uwzględniających wszystkie skrajnie możliwe niepewne

warunki inwestowania (korzystne i niekorzystne)

Założenia wyjściowe:

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Metody probabilistyczno-statystyczne są

związane z rachunkiem ustalania wartości

oczekiwanych i ze statystycznym

pomiarem ryzyka
Głównymi narzędziami wykorzystania

tych metod są:
rozkład normalny (symetryczny, skośny

prawostronnie lub lewostronnie),

wskaźniki prawdopodobieństwa

występowania określonych wartości

zmiennych oraz ich wariancje, odchylenia

standardowe

i współczynniki zmienności, kowariancje i

in.

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

1. Gdy salda przepływów środków

pieniężnych w okresie realizacji
projektu inwestycyjnego są zmiennymi
losowymi, wówczas kryterium oceny
efektywności ekonomicznej tego
projektu stanowi oczekiwana wartość
zdyskontowana netto E(NPV), a nie
wartość zdyskontowana netto NPV

Podstawowe zasady zastosowania metod

probabilistyczno-statystycznych w

pomiarze ryzyka

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

2. Strumienie sald przepływów środków

pieniężnych związanych z danym
projektem inwestycyjnym mogą być
albo niezależne, albo zależne w czasie:



jeżeli w kolejnych okresach (latach) salda
są niezależne, to wariancja wartości
zdyskontowanej netto jest zdeterminowana
tylko wariancją sald
w poszczególnych okresach (latach) przy
danej stopie dyskontowej, a więc stanowi
ich sumę

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



jeżeli w kolejnych okresach (latach) salda
są zależne (tzn. prawdopodobieństwa ich
wystąpienia są uwarunkowane uprzednio
realizowanymi saldami), to przy obliczaniu
wariancji wartości zdyskontowanej netto
(NPV) jest niezbędne uwzględnienie
kowariancji sald w czasie; obliczanie tych
kowariancji występuje zatem przy
założeniu, że zyski i straty – generowane
w czasie realizacji projektu – są zależne

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Uogólniając, można rozpatrywać dwie

podstawowe podgrupy

probabilistyczno-

-statystycznych metod pomiaru

ryzyka inwestycyjnego

metody

w ujęciu

largo

metody

w ujęciu

stricto

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



metody w ujęciu largo, czyli przy
uwzględnieniu wszystkich wartości
odchyleń (dodatnich i ujemnych)
możliwych sald przepływów
pieniężnych od oczekiwanej wartości
zdyskontowanej netto E(NPV)
ocenianego projektu; wówczas
oblicza się ryzyko wariancyjne

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



metody w ujęciu stricto, czyli przy
uwzględnieniu tylko wartości
odchyleń ujemnych możliwych sald
przepływów pieniężnych od
oczekiwanej wartości
zdyskontowanej netto E(NPV);
wówczas oblicza się ryzyko
semiwariancyjne

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Pomiar ryzyka inwestycyjnego

w warunkach niezależności

zmiennych w czasie

Wariancja jako miara ryzyka

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

W ujęciu probabilistycznym ocena
ryzyka inwestycyjnego polega na
oszacowaniu kilku możliwych poziomów
sald przepływów środków pieniężnych,
np. wynajem powierzchni, koszt
materiału, dla każdego okresu (roku)
i określania prawdopodobieństwa ich
wystąpienia w celu ustalenia
oczekiwanego salda tych przepływów

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Następnie mierzy się ryzyko, zakładając,
że standardowymi jego miarami są
statystyczne miary rozproszenia, a więc
wariancja, odchylenie standardowe i
współczynnik zmienności

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Przy wariancyjnym ujęciu ryzyka zakłada

się, że salda przepływów pieniężnych

związanych z daną inwestycją w kolejnych

latach są niezależne
Wówczas można mówić o istnieniu

pewnego zbioru różnych sald, które

występują z różnymi

prawdopodobieństwami
Stąd iloczyn prawdopodobieństw tych sald

z poszczególnych lat wyznacza

prawdopodobieństwo wystąpienia

pewnego strumienia przepływów

pieniężnych

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



Etap I



Oczekiwaną wartość salda przepływów
pieniężnych E(S

t

) dla każdego kolejnego

okresu (roku) t oblicza się według wzoru:







t

m

i

ti

ti

t

P

S

S

E

1

)

(

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

gdzie:

i = 1, 2, ..., m

t

- numery prawdopodobnych poziomów

przepływów pieniężnych w okresie (roku) t (symbol m,

oznacza, że liczba tych przepływów może być

zróżnicowana

w poszczególnych latach budowy i eksploatacji

inwestycji),

S

ti

- saldo przepływów pieniężnych w okresie t na

poziomie i,

P

ti

- wskaźnik prawdopodobieństwa kształtowania się

przepływów pieniężnych w okresie t na poziomie i, przy

spełnieniu następującego warunku:







t

m

i

ti

P

1

1

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Po oszacowaniu wartości prawdopodobnej
wszystkich sald przepływów pieniężnych należy
obliczyć oczekiwaną wartość zdyskontowaną
netto E(NPV):

gdzie:
α

t

– współczynnik dyskontujący dla okresu (roku)

t, przy czym:

r - stopa dyskontowa

,

)

1

(

1

)

1

(

t

t

t

r

r



















n

t

t

t

S

E

NPV

E

0

)

(

)

(



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Należy zaznaczyć, że przy uwzględnianiu tego

nakładu początkowego (S

0

), który występuje

zawsze ze znakiem ujemnym, powyższa formuła

jest następująca:

gdzie:
E(NPV) to zdyskontowana wartość netto

strumienia wartości zdyskontowanych sald

pomniejszona o nakład początkowy S

0

, ponieważ

występuje on zawsze ze znakiem ujemnym











n

t

t

t

S

E

S

NPV

E

1

0

)

(

)

(



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



Etap II



Obliczanie wariancji sald przepływów
pieniężnych V(St) dla każdego kolejnego
okresu t według wzoru:









t

m

i

ti

t

ti

t

P

S

E

S

S

V

1

2

)]

(

[

)

(

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Następnie oblicza się wariancję
zdyskontowanych sald przepływów
pieniężnych, czyli wariancję wartości
zdyskontowanej netto, oznaczoną
symbolem V(NPV):







n

t

t

t

S

V

NPV

V

0

)

(

)

(



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Wariancja charakteryzuje stopień rozrzutu
(rozproszenia) wartości możliwych sald wokół
ich wartości oczekiwanej E(NPV)
Wariancja wartości NPV jest zatem średnią
ważoną kwadratów odchyleń możliwych do
zrealizowania sald od oczekiwanej
zdyskontowanej wartości salda przepływów
pieniężnych E(NPV)
Wagami są prawdopodobieństwa wystąpienia
możliwych sald przepływów pieniężnych

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Im większe są odchylenia możliwych
sald od oczekiwanej wartości
E(NPV), tym większa jest wariancja

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



Etap III



Ustalenie odchylenia standardowego
wartości zdyskontowanej netto,
oznaczonego symbolem (NPV):

Odchylenie standardowe NPV wyrażone w
procentach wskazuje, jakie jest przeciętne
odchylenie możliwych sald od oczekiwanej
wartości E(NPV)

5

,

0

)

(

)

(

)

(

NPV

V

NPV

V

NPV







Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



Etap IV



Ustalanie współczynnika zmienności wartości

zdyskontowanej netto, oznaczonej jako C(NPV):

przy czym E(NPV)  0

Poziom tego współczynnika, będącego miarą ryzyka,

zależy zarówno od skali rozrzutu sald, jak i od

oczekiwanej wartości E(NPV)
Współczynnik ten może przejąć wartości z przedziału

(-, +), czyli nie jest mianowany

Nie ulega wątpliwości, że wielkość ryzyka na

jednostkę oczekiwanej wartości E(NPV) powinna być

jak najmniejsza

NPV

E

NPV

NPV

C

(

)

(

)

(





Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Współczynnik zmienności jest przydatny również

w procesie szacowania premii za ryzyko
Premia za ryzyko to różnica między zyskiem z

realizacji projektu inwestycyjnego w warunkach

niepewnego otoczenia a zyskiem z inwestycji

pozbawionej ryzyka
Premia z tytułu ryzyka może być rozpatrywana

jako funkcja współczynnika zmienności, ponieważ

jego poziom jest proporcjonalny do ryzyka
Oznacza to, że wraz ze wzrostem tego

współczynnika wzrasta ryzyko towarzyszące

realizacji projektu inwestycyjnego

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Premia za ryzyko jako funkcja współczynnika

zmienności

U w a g a : i – stopa procentowa (odzwierciedlająca

rentowność lokat pozbawionych ryzyka, np. 6 – 8 % w
Stanach Zjednoczonych)

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

W określonych sytuacjach powyżej

prezentowane formuły pomiaru ryzyka

wariancyjnego mogą być stosowane w

bardziej zagregowanej postaci
Możemy oceniać jeden lub więcej projektów

inwestycyjnych, dysponując już wcześniej

ustalonymi zdyskontowanymi wartościami

netto (NPVi) oraz prawdopodobieństwami

ich wystąpienia (pi), charakterystycznymi

dla każdego z projektów w warunkach

różnych scenariuszy tendencji

gospodarczych

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Oczekiwaną wartość zdyskontowaną netto

można zatem obliczyć według wzoru:

i = 1,2, ..., n - numery możliwych tendencji

gospodarczych (scenariuszy) w danym okresie, np. w
ostatnim roku

NPV - możliwa wartość zdyskontowana netto, gdy

wystąpi i-ta tendencja gospodarcza w danym
okresie

p

i

- prawdopodobieństwa wystąpienia i-tej tendencji

gospodarczej w danym okresie







n

n

i

i

NPV

p

NPV

E

1

)

(

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Natomiast wariancję wartości

zdyskontowanej netto ustalamy według
wzoru:









n

i

i

i

NPV

E

NPV

p

NPV

V

1

2

)]

(

[

)

(

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Przykład zastosowania

wariancyjnej metody oceny

ryzyka

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Rozpatrujemy cztery warianty strategii

inwestowania w postaci projektów A, B, C i D
Możliwe wartości zdyskontowane netto (NPV)

tych projektów są zdeterminowane pięcioma

możliwymi tendencjami zmian makro- i

mezogospodarczych w otoczeniu projektów
Jednocześnie zakłada się, że wystąpi

stabilizacja czynników mikrogospodarczych

związanych ze strategią firmy realizującej

dany projekt (i samym projektem)

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Eksperci ustalili prawdopodobieństwa

wystąpienia tych rodzajów tendencji

gospodarczych
Możliwe jest zatem wystąpienie pięciu

różnych wartości NPV z odpowiednimi

prawdopodobieństwami
W efekcie ustalono pięć scenariuszy

inwestowania dla analizowanych czterech

projektów

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Wartości zaktualizowane netto (NPV)

oraz prawdopodobieństwo ich wystąpienia

dla projektów inwestycyjnych A, B, C i D

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Należy ustalić, który projekt inwestycyjny powinien
być realizowany według kryterium maksymalizacji
oczekiwanej zdyskontowanej wartości netto E(NPV)
Ta oczekiwana wartość jest obliczana według
formuły:







n

i

i

i

NPV

p

NPV

E

1

)

(

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

W pierwszym etapie analizy porównujemy

projekty A i B:



dla projektu A
E(NPV)

A

= 0,1  200 + 0,2  110 + 0,3  25

+ 0,3 (-20) + + 0,1 (-100) = 20 + 22 + 7,5 +

(-6) + (-10) = 33,5



dla projektu B
E(NPV)

B

= 0,1  100 + 0,2  55 + 0,3  15 +

0,1 (-50) =

= 10 + 11 + 7,5 + 4,5 + (-5) = 28,0

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Oczekiwana wartość E(NPV)

A

> E(NPV)

B

Inwestor, przestrzegający kryterium

maksymalizacji E(NPV), powinien wybrać

projekt A
Istotne jest jednak, że w przypadku

wystąpienia trudności oraz niekorzystnych

tendencji w gospodarce, projekt A może

spowodować straty (ujemne salda

przepływów środków pieniężnych)
Natomiast mniej korzystny projekt B może je

spowodować tylko w przypadku scenariusza

złego stanu gospodarki

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Miarą ryzyka jest wariancja V(NPV) i

odchylenie standardowe (NPV) ustalane

wg formuły:









n

i

i

i

NPV

E

NPV

p

NPV

1

5

,

0

2

]

))

(

(

[

)

(



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



dla projektu A:

V(NPV)

A

= 0,1(200 – 33,5)2 + 0,2(110 – 33,5)2 +

0,3(25 – 33,5)2 +03(-20 – 33,5)2 + 0,1(-100 –

33,5)2 = 0,1  166,5 + 0,2  76,52 + 0,3(-8,5)2

+ 0,3(-53,5)2 + 0,1(-133,5)2 =
= 2772,22 + 1170,45 + 21,67 +858,67 +

1782,22 = 6605,23

27

,

81

23

,

6605

)

(





A

NPV



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości



dla projektu B:

V(NPV)

B

= 0,1(100 – 28)2 + 0,2(55 – 28)2 +

0,3(25 – 28)2 + 0,3(15 – 28)2 +0,1(-50 – 28)2 =

0,1  722 + 0,2  272 + 0,3(-3)2 + 0,3(-13)2 +

0,1(-78)2 = 518,4 + 145,8 + 2,7 + 50,7 + 608,4

= 1326,00

41

,

36

00

,

1326

)

(





B

NPV



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

W ramach danego programu inwestycyjnego, w
uzupełnieniu do analizy projektów A i B,
interesująca jest analiza dwóch kolejnych
wariantów C i D

Zakłada się, że projekty A i C oraz B i D będą
charakteryzowały takie same poziomy wartości
E(NPV)

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Oczekiwana wartość zdyskontowana netto

E(NPV) wynosi:



dla projektu C:
E (NPV)

C

= 0,1  250 + 0,2  140 + 0,3  30

+ 0,3(-40) + + 0,1(-165) = 25 + 28 +9 + (-

12) + (-165) = 33,5



dla projektu D:
E(NPV)

D

= 0,1  210 + 0,2  150 + 0,3  50

+ 0,3(-60) + + 0,1(-200) = 21 + 30 + 15 + (-

18) + (-20) = 28

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Natomiast wariancje i odchylenia standardowe są

następujące:



dla projektu C:



dla projektu D:

89

,

111

23

,

12520

)

(





C

NPV



13

,

118

13956

)

(





D

NPV



Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Współczynnik zmienności wynosi:



dla projektu A:
C(NPV)

A

= 81,3 : 33,5 = 2,42



dla projektu B:
C(NPV)

B

= 36,4 : 28,0 = 1,3



dla projektu C:
C(NPV)

C

= 111,9 : 33,5 = 3,34



dla projektu D:
C(NPV)

D

= 118,1 : 28,0 = 4,22

)

(

)

(

)

(

NPV

E

NPV

NPV

C





Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany
pod nadzorem Polskiej Agencji Rozwoju Przedsiębiorczości

Zestawienie wyników