Metody probabilistyczne

Lista 3

Zadanie 1: Spośród liczb 1,2,3,...,20 losujemy jedną. Czy zdarzenia: A - wylosujemy liczbę podzielną przez 4, B - wylosujemy liczbę podzielną przez 6, są niezależne?

Zadanie 2: Zbadano 60 elementów ze względu na 3 cechy A, B, C, przy czym okazało się, że 15 elementów posiada tylko cechę A, 15 - tylko cechę B, 15 - tylko cechę C, a pozostałe 15 posiadają wszystkie 3 cechy. Zbadać niezależność zespołową wszystkich trzech cech. Rozpatrując te dane, obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrane losowo kolejno z próby trzy elementy będą miały cechę A.

Zadanie 3: Ze zbioru liczb {1,4,5,6,7} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń

1. A - suma wylosowanych liczb jest większa od 10,

2. B - za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą,

3. A\B - suma wylosowanych liczb jest większa od 10 pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.

Zadanie 4: Wykonano trzy rzuty symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma oczek wyrzuconych w trzech rzutach jest większa od 10, jeżeli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadły 4 oczka.

Zadanie 5: W urnie mamy 20 jednakowych kul, wśród których jest 8 kul białych oznaczonych cyfrą 1, 7 kul białych oznaczonych cyfrą 2, 3 kule czarne oznaczone cyfrą 1 i 2 kule czarne oznaczone cyfrą 2. Wybieramy losowo kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem wylosowania kuli znaczonej cyfrą 2?

Zadanie 6: Z trzech klas należy wybrać losowo jednego ucznia. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie jedno oczko, to losujemy jednego ucznia z klasy 4a, jeżeli wypadnie parzysta liczba oczek, to losujemy jednego ucznia z klasy 4b, w pozostałych przypadkach z klasy 4c. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to chłopak, jeżeli: w klasie 4a jest 6 dziewczyn i 18 chłopców, w klasie 4b - 12 dziewczyn i 18 chłopców, w klasie 4c - 14 dziewczyn i 14 chłopców?

Zadanie 7: Dane są dwie urny typu A (6 kul czarnych i 9 białych) i dwie typu B (5 kul czarnych i 15 białych). Wylosowano kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny typu A?

Zadanie 8: Trzy maszyny różnego typu produkują seryjnie ten sam towar. W pewnym okresie pierwsza maszyna częściowo zautomatyzowana wykonuje 50 sztuk, podczas gdy druga z obsługą ręczną wykonuje 30 sztuk, a trzecia najstarszego typu 20 sztuk. Zaobserwowano, że średni procent braków produkcji pierwszej maszyny wynosi 3%, drugiej 4%, a trzeciej 5%.

1. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia na brak w całej produkcji tego towaru.

2. Przypuśćmy, że wylosowano jedną sztukę z produkcji łącznej trzech maszyn i okazała się brakiem. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że brak ten wyprodukowała maszyna trzecia.

Zadanie 9: W pierwszej urnie znajdują się dwie czarne i jedna biała kula, w drugiej - dwie czarne i trzy białe kule, w trzeciej - dwie czarne i dwie białe kule. Wybieramy losowo jedną z urn, a później z niej jedną kulę.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięta kula jest czarna?

2. Jeśli wiadomo, że wyciągnięto kulę czarną, to jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięto ją z urny pierwszej? Drugiej? Trzeciej?

3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnięta kula jest czarna i pochodzi z urny pierwszej?

Zadanie 10: Wyciągamy trzy karty bez zwracania z talii 52 kart. Określ prawdopodobieństwo tego, że

1. zostają wyciągnięte trzy asy,

2. wyciągamy kolejno asa, króla i królową w tym właśnie porządku,

3. wyciągamy co najmniej jednego asa.

Zadanie 11: W pudełku znajdują się dwie monety, jedna symetryczna i druga mająca po obu stronach orły. Rzucamy losowo wybraną monetą

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł?

2. Jeśli wypadł orzeł, to jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucona moneta ma dwa orły?

3. Jeśli wybraną monetą rzucimy dwa razy, to jakie jest prawdopodobieństwo, że za każdym razem wypadnie orzeł?

Zadanie 12: W pudełku jest 20 sztuk towaru. Kontrolę jego jakości przeprowadza się sprawdzając 5 sztuk, losowo wybranych z pudełka. Jeśli żadna z nich nie jest wadliwa, to akceptuje się całą zawartość pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie zaakceptowane pudełko, w którym są dwie wadliwe sztuki towaru?

Zadanie 13: W urnie jest 6 kul białych, 3 kule niebieskie i 5 czarnych. Losujemy jedną kulę i nie oglądając jej odkładamy (na bok). Następnie losujemy za jednym zamachem 3 kule.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu wylosujemy kule o różnych kolorach?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu wylosujemy dwie kule białe i jedną czarną?

Zadanie 14: Z urny zawierającej 6 kul białych i 4 czarne losujemy jedną kulę. Kulę zwracamy do urny dokładając jeszcze dwie w kolorze kuli wylosowanej i ponownie przystępujemy do losowania jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w drugim losowaniu?

Zadanie 15: Rozważmy rodziny mające troje dzieci. Przypuśćmy, że w losowo wybranej rodzinie najstarszy jest syn (zdarzenie S). Jakie jest prawdopodobieństwo, że najmłodszym dzieckiem jest dziewczynka (zdarzenie D)?

Zadanie 16: Student dojeżdża na zajęcia rowerem raz na dwa dni, autobusem raz na trzy dni oraz tramwajem raz na sześć dni. Jeśli jedzie rowerem spóźnia się raz na 60 przypadków, autobusem - raz na 20 przypadków, tramwajem - raz na 10 przypadków. Jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się studenta?

Zadanie 17: Badając chorego lekarz nie może postawić jednoznacznej diagnozy. Zaobserwowane objawy mogą być wynikiem pewnej groźnej choroby, mogą być też spowodowane innymi przejściowymi czynnikami. Wiadomo, że podejrzewana choroba, występuje w populacji, z której pochodzi pacjent, z prawdopodobieństwem 0,001 oraz powoduje zaobserwowane objawy z prawdopodobieństwem 0,8. Z innych powodów występują one raz na 100 przypadków. Oblicz prawdopodobieństwo, że badany pacjent zapadł na podejrzewaną chorobę.

Zadanie 18: Wśród studentów II roku przystępujących do egzaminu, 25% jest świetnie przygotowanych (grupa A), połowa przygotowała się częściowo (grupa B), pozostałe 25% zna materiał bardzo słabo (grupa C). Z grupy A zdaje każdy student, z grupy B co drugi, z grupy C co piąty. Przypuśćmy, że losowo wybrany student nie zdał egzaminu. Z jakim prawdopodobieństwem należy on do grupy B?

Zadanie 19: Mając dane niezależne zdarzenia A i B o prawdopodobieństwach
i
, oblicz następujące prawdopodobieństwa
.

Zadanie 20: W urnie mamy 20 kul, wśród których jest 8 białych, 12 czarnych. Losujemy 10 razy po jednej kuli, zwracając ją za każdym razem. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania 6 kul białych.

Zadanie 21: Pewna gra polega na rzucie kostką i monetą. Wygrana następuje przy łącznym otrzymaniu piątki i orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzech grach wygrana nastąpi dokładnie jeden raz?

Zadanie 22: Oblicz prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką co najwyżej 3 razy wypadnie liczba oczek nie mniejsza od 4.

Zadanie 23: Dana jest urna, w której są kule: 6 czarnych i 9 białych. Losujemy 5 razy po jednej kuli, zwracając za każdym razem kulę do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najwyżej 3 razy kulę białą?

Zadanie 24: Mamy dwie urny typu A zawierające 3 białe i 7 czarnych kul, 3 urny typu B zawierające po 2 białe, 3 czarne, 5 zielonych kul oraz 5 urn typu C, w każdej z których znajduje się 1 biała i 9 czarnych kul. Pobieramy losowo 3 kule zwracając je za każdym razem do urny, z której została wyciągnięta. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedna kula będzie czarna.

---