1

ZAJĘCIA WYRÓWNAWCZE Z METOD PROBABILISTYCZNYCH

rok akad. 2008/2009 (Małgorzata Murat)

Zadnia przygotowano na podstawie następujących podręczników i zbiorów zadań

• J. Burdzy, B. Kowal, Rachunek prawdopodobieństwa.

• M. Cieciura, J. Zacharski, Rachunek prawdopodobieństwa w ujęciu praktycznym.

• T. Gerstenkorn, T. Śródka, Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa.

• H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady

i zadania.

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski,

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I.

1. Miara probabilistyczna, prawdopodobieństwo całkowite, zdarzenia niezależne, schematy
rachunku prawdopodobieństwa.

Zadanie 1 Wykazać, że jeśli P(A) + P(B) > 1, to zdarzenia nie mogą się wykluczać.

Zadanie 2 Wykazać, że jeśli (B ∩ C) ⊂ A, to P(A) ­ P(C) + P(B) − 1.

Zadanie 3 Udowodnić, że jeśli P(A/B) = P(A/B), to zdarzenia A i B są niezależne.

Zadanie 4 Dowieść, że

p−q
1−q

¬ P(A/B) ¬

p

1−q

, gdzie p = P(A) i q = P(B).

Zadanie 5 Niech A i B będą zdarzeniami niezależnymi. Czy zdarzenia A i B też są niezależne?

Zadanie 6 Przypuśćmy, że pewien eksperyment prowadzi do rozpatrywania takich zdarzeń A i B, że
P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 8 i P(A ∩ B) = 0, 4. Znajdź P(A ∪ B) oraz P(A ∪ B).

Zadanie 7 Dla danych P(B) = 3P(B), P(A/B) =

1
3

i P(A/B) =

1
2

, obliczyć P(A).

Zadanie 8 Losowo wybrano dwie liczby dodatnie takie, że każda z nich jest nie większa niż jeden. Znaleźć
prawdopodobieństwo tego, że suma tych liczb będzie niewiększa niż 1, a ich iloczyn będzie niemniejszy niż
0, 09.

Zadanie 9 Na odcinku < 0, 1 > umieszczmy losowo i niezależnie dwa punkty x i y. Niech A będzie
zdarzeniem polegającym na tym, że wybraliśmy punkty z koła o środku (0, 0) i promieniu długości 1, a B
niech będzie zdarzeniem polegającym na tym, że x < y. Czy zdarzenia A i B są niezależne?

Zadanie 10 Z odcinka < −1, 1 > wybrano losowo i niezależnie od siebie dwie liczby x i y. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że funkcja ln(x

2

+ y

2

− 1) jest poprawnie określona, jeśli wiadomo, że punkty

zostały wybrane z zewnętrza koła ośrodku (0, 0) i promieniu długości

1
2

.

Zadanie 11 Z odcinka < 0, 1 > wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby p i q. Jakie jest prawdo-
podobieństwo tego, że równanie kwadratowe x

2

+ px + q = 0 będzie miało dwa sprzężone pierwiastki

zespolone?

Zadanie 12 Na odcinku < 0, 1 > umieszczmy losowo i niezależnie dwa punkty x i y. Niech A będzie
zdarzeniem polegającym na tym, że x > y, a B niech będzie zdarzeniem polegającym na tym, że x < 0, 5.
Czy zdarzenia A i B są niezależne?

2

Zadanie 13 Dwóch strzelców strzela do tarczy. Pierwszy strzelec trafia z prawdopodobieństwem

2
3

, a

drugi z prawdopodobieństwem

1
2

. Po oddaniu strzału okazało się, że tarcza została trafiona dokładnie raz.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że trafił pierwszy strzelec?

Zadanie 14 Firma produkuje 98% wyrobów odpowiadających normie. Wśród wyrobów spełniających nor-
mę jest 75% wyrobów pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany wyrób jest
pierwszego gatunku.

Zadanie 15 Wykonujemy ciąg doświadczeń w następujący sposób. W pierwszym doświadczeniu losu-
jemy kulę z szuflady zawierającej jedną kulę białą i jedną czarną. Jeśli wyciągniemy czarną kulę, to
przerywamy doświadczenie. W przeciwnym przypadku wrzucamy do szuflady wyciągniętą białą kulę i
dodatkową kulę białą. Następnie losujemy jedną kulę i postępujemy jak poprzednio. W każdym kroku
dorzucamy jedną kulę białą, jeśli wylosujemy białą, bądź przerywamy doświadczenie, gdy była czarna.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że postępowanie zakończymy w n-tym doświadczeniu.

Zadanie 16 Do samolotu oddano niezależnie trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu pierw-
szym strzałem wynosi 0,4, drugim strzałem - 0,5, a trzecim - 0,7. Jeśli w samolot trafi jeden pocisk, to
nastąpi zestrzelenie samolotu z prawdopodobieństwem 0,2, jeśli dwa pociski, to z prawdopodobieństwem
0,6, a jeśli trzy, to samolot zostanie na pewno zestrzelony. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w re-
zultacie trzech strzałów samolot zostanie zestrzelony.

Zadanie 17 Z trzech pracujących niezależnie elementów urządzenia dwa zawiodły. Znaleźć prawdopodo-
bieństwo tego, że zawiodły elementy drugi i trzeci jeśli prawdopodobieństwo awarii pierwszego elementu
wynosi 0,2, drugiego - 0,4, a trzeciego - 0,3.

Zadanie 18 Do sygnalizowania wadliwej pracy układu sterującego pewnego urządzenia zastosowano
czujnik. Prawdopodobieństwo tego, że jest on typu A wynosi 0,6, typu B - 0,3, a typu C - 0,1. Wia-
domo, że czujnik typu A sygnalizuje złą pracę układu sterującego z prawdopodobieństwem 1, typu B z
prawdopodobieństwem 0,8, a typu C - 0,6. Czujnik zasygnalizował złą pracę układu sterującego. Jakie
jest prawdopodobieństwo tego, że jest on typu C?

Zadanie 19 Pewna choroba występuje u 0, 2% ogółu ludności. Przygotowano test do jej wykrycia. Test
daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wy-
brana osoba jest chora jeśli test tej osoby dał wynik pozytywny.

Zadanie 20 Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że sztuka wybrana na chybił trafił z partii wyproduko-
wanych przedmiotów jest pierwszego gatunku, jeśli wiadomo, że 4% całej produkcji to sztuki wadliwe, a
75% to sztuki zaliczone do pierwszego gatunku.

Zadanie 21 Załóżmy, że 53% bezrobotnych stanowią kobiety. Załóżmy, że wśród bezrobotnych kobiet
9%, a wśród bezrobotnych mężczyzn 12% ukończyło 45 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo
wybrana osoba spośród bezrobotnych ma powyżej 45 lat.

Zadanie 22 Prawodopodobieństwo tego, że wyprodukowany przedmiot odpowiada standardowi wynosi
0,96. Przy badaniu jakości przedmiotu stosuje się badanie uproszczone, które dla przedmiotu zgodnego ze
standardem daje pozytywny wynik z prawdopodobieństwem 0,98, a dla przedmiotu niestandardowego tylko
z prawdopodobieństwem 0,05. Badanie uproszczone dało wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że przedmiot odpowiada standardowi?

Zadanie 23 Dane są trzy maszyny typu A, pięć typu B i dwie typu C. Każda z nich produkuje wyroby
I i II gatunku oraz braki, których procentowy udział podaje tabelka

typ maszyny

I gatunek

II gatunek

braki

A

50%

45%

5%

B

80%

17%

3%

C

30%

69%

1%

3

Ponadto maszyny produkują tą samą ilość towaru.

a) Wybieramy losowo i niezależnie po jednej sztuce z każdego typu maszyny. Obliczyć prawdopodo-

bieństwo tego, że dwie sztuki będą piewszego gatunku, a jedna drugiego.

b) Wybieramy losowo i niezależnie z całej masy towarowej cztery sztuki, zwracając je po każdym

losowaniu. Obliczyć prawdopodobieństwo, tego, że co najmniej trzy sztuki będą drugiego gatunku.

c) Wybieramy losowo i niezależnie z całej masy towarowej 200 sztuk ze zwracaniem. Obliczyć praw-

dopodobieństwo, tego że co najwyżej jedna sztuka będzie brakiem.

d) Wybieramy ze zwracaniem, z całej masy towarowej po jednej sztuce tak długo, aż otrzymamy trzy

sztuki pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybierzemy osiem sztuk.

Zadanie 24 Trzy fabryki X, Y , Z produkują towar tak, że fabryka X pokrywa 30% zapotrzebowania
rynku, fabryka Y -50%, a fabryka Z-20%. Jakość towaru produkowanego przez poszczególne fabryki podano
w tabelce

fabryka

I gatunek

II gatunek

braki

X

80%

18%

2%

Y

40%

55%

5%

Z

80%

15%

5%

a) Kupujemy na rynku jedną sztukę towaru. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to brak?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zakupimy jedną sztukę poniżej pierwszego gatunku?

c) Kupujemy dwie sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jedna jest pierwszego gatunku, a

druga drugiego?

d) Kupujemy trzy sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwie będą pierwszego gatunku?

e) Kupujemy na rynku w sposób losowy po jednej sztuce tak długo aż otrzymamy dwie sztuki pierwszego

gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że kupiono pięć sztuk.

Zadanie 25 Gracz wykonuje rzuty monetą tak długo, aż otrzyma orła. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że liczba rzutów nie przekroczy czterech.

Zadanie 26 Prawdopodobieństwo, że obiekt nie zostanie wykryty przy jednym obrocie anteny radarowej
wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obiekt zostanie co najmniej raz wykryty w ciągu n obrotów
anteny. Zakładamy, że wykrycia obiektów przy każdym obrocie anteny są niezależne.

Zadanie 27 Obszar powietrzny jest kontrolowany przez m stacji radiolokacyjnych, z których każda nie-
zależnie od pozostałych wykrywa obiekt z prawdopodobieństwem p w ciągu jednego obrotu. Każda antena
wykonała n obrotów. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że

a) obiekt zostanie wykryty przynajmniej przez jedną stację,

b) obiekt zostanie wykryty przez każdą stację.

Zadanie 28 W celu zwiększenia niezawodności przyrządu dubluje się go za pomocą n − 1 pracujących
niezależnie takich samych przyrządów o niezawodności p każdy. Znaleźć niezawodność całego układu.

Zadanie 29 Mamy m liczników cząstek elementarnych, na które padło łącznie n cząstek, przy czym
prawdopodobieństwo trafienia każdej cząstki na dowolny z liczników jest takie samo. Obliczyć prawdopo-
dobieństwo tego, że do pewnego licznika trafi dokładnie k cząstek elementarnych (k ¬ n).

4

Zadanie 30 Szufladę o polu podstawy równym metrowi kwadratowemu podzielono na przegródki o polach
podstaw równych centymetrowi kwadratowemu. Do tej szyflady wrzucono losowo 1000 kulek. Zakładając,
że prawdopodobieństwo wpadnięcia kulki do przegródki jest dla każdej przegródki jednakowe. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że do wyróżnionej przegródki wpadną więcej niż dwie kulki.

Zadanie 31 Prawdopodobieństwo przepalenia się lampy w ciągu 100 godzin eksploatacji wynosi 0,4.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że po 100 godzinach eksploatacji spośród 20 lamp świeci się jeszcz 15.

Zadanie 32 Aparat składa się z 1000 elementów pracujących niezależnie. Prawdopodobieństwo awarii
dowolnego elementu w określonym czasie t jest równe 0,002. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w
czasie t nastąpi awaria dokładnie 3 elementów.

Zadanie 33 Automat produkuje oporniki. Prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowany opornik jest wy-
brakowany wynosi 0,01. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród 300 oporników nie będzie wybrako-
wanych.

Zadanie 34 Prawdopodobieństwo, że dany przedmiot nie wytrzyma dokonanej na nim próby jest równe
0,001. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród 5000 przedmiotów więcej niż jeden nie wytrzyma
próby.

Zadanie 35 Na karcie egzaminacyjnej jest 5 pytań i 3 możliwe odpowiedzi na każde z nich. Należy
wybrać jedną poprawną odpowiedź na każde pytanie. Ile wynosi prawdopodobieństwo otrzymania czterech
poprawnych odpowiedzi, jeżeli egzaminowany zgaduje odpowiedzi.

Zadanie 36 Aparatura zawiera 3000 elementów. Prawdopdobieństwo awarii każdego z nich wynosi 0,0006.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że aparatura przestanie działać jeżeli ma to miejsce przy uszkodzeniu
jednego lub więcej elementów?

5

2. Zmienna losowa jednowymiarowa.

Zadanie 37 Dokonuje się próby wyprodukowanych przedmiotów. Dla każdego przedmiotu prawdopodo-
bieństwo pomyślnego przejścia przez próbę wynosi 0,8 i są to zdarzenia niezależne. Próbę kończy się po
dojściu do pierwszego przedmiotu który próby nie wytrzyma. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa ilości
prób. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję wyznaczonego rozkładu.

Zadanie 38 Na trasie, po której porusza się samochód znajdują się cztery sygnały świetlne. Każdy z
nich z prawdopodobieństwem 0,5 albo przepuszcza samochód albo zatrzymuje. Znaleźć rozkład prawdopo-
dobieństwa liczby sygnałów, które minął samochód nie zatrzymując się, a następnie wyznaczyć

a) dystrybuantę,

b) medianę, odchylenie standardowe,

c) funkcję charakterystyczną,

otrzymanego rozkładu.

Zadanie 39 Po określonej trasie jeździ pięć autobusów. Awarie poszczególnych autobusów są zdarze-
niami niezależnymi i prawdopodobieństwo każdej z nich w określonym przedziale czasu jest równe 0,2.
Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa liczby autobusów, które w ciągu określonego przedziału czasu uległy
awarii, a następnie wyznaczyć

a) dystrybuantę,

b) medianę, odchylenie standardowe,

c) funkcję charakterystyczną,

otrzymanego rozkładu.

Zadanie 40 Robotnik obsługuje cztery automaty funkcjonujące niezależnie od siebie. Prawdopodobień-
stwo, że w ciągu godziny automat będzie wymagał interwencji robotnika wynosi 0,9. Znaleźć rozkład
prawdopodobieństwa liczby automatów, które wymagały interwencji robotnika w ciągu godziny, a następ-
nie wyznaczyć

a) dystrybuantę,

b) medianę, odchylenie standardowe,

c) funkcję charakterystyczną,

otrzymanego rozkładu.

Zadanie 41 Niech X oznacza czas oczekiwania na wyrzucenie szóstki przy rzucie symetryczną kostką
do gry. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, a następnie wyznaczyć

a) odchylenie standardowe,

b) funkcję charakterystyczną,

tej zmiennej.

Zadanie 42 Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Niech X

i

będzie liczbą oczek w i-tym rzucie, i = 1, 2.

Określamy zmienną losową Z =| X

1

−X

2

|. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Z, a następnie

wyznaczyć

a) dystrybuantę,

b) medianę, odchylenie standardowe,

c) funkcję charakterystyczną,

tej zmiennej.

6

Zadanie 43 Zmienna losowa X przyjmuje wartości całkowite nieujemne z prawdopodobieństwami
P[X = k] = C · q

k

, k = 0, 1, 2, . . . . Znaleźć stałe C i q, a następnie wyznaczyć

a) odchylenie standardowe,

b) funkcję charakterystyczną,

tej zmiennej.

Zadanie 44 Niech P[X = 2

n

] = α · β

−n

, n = 1, 2, 3, . . . . Dla jakich α, β jest to funkcja prawdopodo-

bieństwa? Dla jakich β istnieją momenty zwykłe dowolnego rzędu zmiennej losowej X?

Zadanie 45 Niech P[X = 3

n

] = C · 5

−n

, n = 1, 2, 3, . . . . Wyznaczyć stałą C tak, aby była to funkcja

prawdopodobieństwa. Dla jakich k istnieją momenty EX

k

? Obliczyć jeśli to możliwe, odchylenie standar-

dowe zmiennej X, a następnie wyznaczyć jej funkcję charakterystyczną.

Zadanie 46 Zmienna losowa X ma rozkład P[X = n] = A

k

n

n!

, n = 0, 1, 2, 3, . . . . Wiadomo, że EX =

a > 0. Znaleźć k i A.

Zadanie 47 Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej ma postać F (x) = c + b arg tg

x
a

, x ∈ R, a > 0.

Wyznaczyć

a) stałe b i c,

b) gęstość prawdopodobieństwa,

c) medianę i modę, odchylenie standardowe,

tej zmiennej.

Zadanie 48 Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem f (x) =

c

e

x

+e

−x

, x ∈ R.

Wyznaczyć

a) stałą c,

b) dystrybuantę,

c) medianę i modę,

tej zmiennej.

Zadanie 49 Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem f (x) =

a

1+(bx)

2

, x ∈ R.

Wyznaczyć

a) stałe a i b,

b) dystrybuantę,

c) medianę i modę,

tej zmiennej.

Zadanie 50 Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa daną wzorem f (x) = ce

−|x|

Wyznaczyć

a) stałą c,

b) dystrybuantę,

c) medianę i modę, wartość oczekiwaną,

d) funkcję charakterystyczną,

tej zmiennej.

Zadanie 51 Wiedząc, że zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa określoną wzorem

f (x) =

(

ax + bx

2

,

0 ¬ x ¬ 2,

0,

poza tym

oraz, że EX = 1, wyznaczyć dystrybuantę, medianę oraz modę tej zmiennej.

7

Zadanie 52 Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y wyrażającej objętość sześcianu,
jeśli długość krawędzi sześcianu jest zmienną losową X o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0, a).

Zadanie 53 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f

X

i dystrybuancie F

X

. Znaleźć

dystrubuantę i gęstość zmiennych losowych

Y = aX + b,

a 6= 0;

Z = X

2

;

U =

√

X;

V =

3

√

X.

Zadanie 54 Promień koła jest zmienną losową o gęstości f (x) =

(

e

−x

,

x ­ 0

0,

x < 0.

Znaleźć dystrybuantę

gęstość zmiennej losowej będącej polem tego koła.

Zadanie 55 Niezależne zmienne losowe X o rozkładzie jednostajnym na przedziale < 0, a > i Y o
rozkładzie jednostajnym na przedziale < 0, b >, są bokami prostokąta. Wyznaczyć odchylenie standardowe
obwodu i pola tego prostokąta.

Zadanie 56 Zmienne losowe X

i

, i = 1, 2, . . . , 50 są niezależne o jednakowym rozkładzie danym gęstością

f (x) =

1

2

√

π

e

−

x2

4

. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma tych zmiennych będzie ujemna.

Zadanie 57 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tych samych funkcjach charaktery-
stycznych. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej Z = X − Y .

Zadanie 58 Niech {X

n

} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na

przedziale (−1, 1). Znaleźć rozkład zmiennych losowych Y = X

1

+ X

2

+ · · · + X

n

i Z =

1

n

Y .

Zadanie 59 Niech X

1

, X

2

, . . . , X

n

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o standaryzowanym rozkła-

dzie normalnym. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y =

1

√

n

(X

1

+ X

2

+ · · · + X

n

).

Zadanie 60 Niech dane będą niezależne zmienne losowe X

n

o rozkładach Poissona z parametrami λ

n

odpowiednio. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X

1

+ X

2

+ · · · + X

n

.

Zadanie 61 Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej

a) ϕ(t) = cos t,

b) ϕ(t) =

1
4

(1 + e

it

)

2

,

Zadanie 62 Wykorzystując własności funkcji charakterystycznej wyznaczyć rozkład sumy n niezależnych
miennych losowych o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n, p.

Zadanie 63 Wykorzystując własności funkcji charakterystycznej wyznaczyć rozkład zmiennej losowej
Y = −X wiedząc, że X ma rozkład jednostajny.

8

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa, regresja.

Zadanie 64 Wyprowadzić wzór na wariancję iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych X, Y .
W jakim przypadku D

2

(XY ) = D

2

X · D

2

Y ?

Zadanie 65 Wyprowadzić wzór na wariancję sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych X, Y . W
jakim przypadku D

2

(X + Y ) = D

2

X + D

2

Y ?

Zadanie 66 Udowodnić, że

V

a,b∈R

%(aX + b, Y ) = %(X, Y ), gdzie %(X, Y ) oznacza współczynnik korelacji

zmiennych X i Y .

Zadanie 67 Niech X, Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi posiadającymi momenty do rzędu drugie-
go włącznie. Znaleźć kowariancję zmiennych losowych U = aX + bY , V = cX + dY , gdzie a, b, c, d ∈ R.

Zadanie 68 Wiadomo, że współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y równa się %. Wyznaczyć
współczynnik korelacji zmiennych losowych U = aX + b, V = cY + d, gdzie a, b, c, d ∈ R, ac 6= 0.

Zadanie 69 Pewien nadajnik wysyła sygnał, który jest zmienną losową X. W rezultacie szumów odbior-
nik odbiera sygnał Y = aX + Z, gdzie a jest stałym współczynnikiem wzmocnienienia, zaś Z losowym
szumem niezależnym od sygnału X. Wiadomo, że EX = m, DX = 1, EZ = 0, D

2

Z = 1σ > 0. Obliczyć

współczynnik korelacji zmiennych X i Y .

Zadanie 70 Niech Y i X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach

P[X = 1] =

1

3

,

P[X = 5] =

2

3

,

P[Y = 0] =

1

2

,

P[Y = 2] =

1

2

.

Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennych losowych min(X, Y ), max(X, Y ).

Zadanie 71 Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej określona jest wzorem

(i) P[X = k, Y = j] = C · kj, k, j = 1, 2, . . . , n;

(ii) P[X = k, Y = j] = C



1

2



j

λ

k

k!

, λ > 0; k = 0, 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . .

a) Wyznaczyć stałą C.

b) Znaleźć rozkłady brzegowe.

c) Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej (X, Y ).

d) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.

Zadanie 72 Dane są niezależne zmienne losowe U i V przyjmujące wartości −1, 0, 1 z jednakowym
prawdopodobieństwem. Określamy zmienne losowe X = U + V , Y = U − V .

a) Znaleźć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ).

b) Obliczyć kowariancję zmiennych X i Y .

c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.

9

Zadanie 73 W pudełku znajdują się ponumerowane liczbami naturalnymi o 1 do 21 kartki. Niech zmien-
na losowa X przyjmuje wartość 1 jeśli wylosujemy z pudełka kartkę o numerze parzystym i wartość 0,
jeśli z nieparzystym, zaś zmienna losowa Y niech przyjmuje wartość 1 jeśli ten numer jest podzielny
przez 3 i 0 w rzeciwnym przypadku.

a) Znaleźć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ).

b) Obliczyć kowariancję zmiennych X i Y .

c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.

d) Wyznaczyć linie regresji Igo rodzaju.

Zadanie 74 Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Niech X = 1, jeśli w pierwszym rzucie
wypadło sześć oczek i X = 0 w przeciwnym przypadku. Niech Y = 1, jeśli suma wyrzuconych oczek będzie
większa od 7 i Y = 0 w przeciwnym razie.

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodbieństwa zmiennej losowej (X, Y ).

b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej (X, Y ).

c) Naszkicować krzywe regresji pierwszego rodzaju.

Zadanie 75 Dwie identyczne urny zawierają po trzy kule ponumerowane od 1 do 3. Losujemy po jednej
kuli z każdej urny. Niech X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanej z jednej urny, a Y z drugiej.
Zdefiniujmy zmienne losowe U = X + Y i V = X − Y . Zbadać, czy zmienne losowe są niezależne i czy
są nieskorelowane.

Zadanie 76 Czas X zakończenia pierwszego etapu i czas Y zakończenia drugiego etapu pewnej opera-
cji są zmiennymi losowymi skorelowanymi o współczynniku korelacji %. Obliczyć drugi moment zwykły
całkowitego czasu zakończenia tej operacji wiedząc, że EX = EY = α i DX = DY = σ.

Zadanie 77 Koszt K pewnej operacji równy jest kwadratowi całkowitego czasu jej zakończenia. Operacja
jest dwuetapowa, przy czym czasy X zakończenia pierwszego etapu i Y drugiego etapu są zmiennymi
losowymi skorelowanymi o współczynniku korelacji %. Obliczyć wartość oczekiwaną kosztu K wiedząc, że
EX = EY = α i DX = DY = σ.

Zadanie 78 Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa o funkcji prawdopodobieństwa

Y

\

X

0

1

2

0, 2

0, 4

3

0, 1

0, 3

a) Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.

b) Wyznaczyć krzywe regresji pierwszego rodzaju.

c) Czy zmienne X i Y są niezależne? Odpowiedź uzasadnij.

d) Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej (X, Y ).

Zadanie 79 W urnie znajdują się cztery kule w tym dwie białe. Niech X i Y przyjmują wartości równe
liczbie wyjętych kul białych odpowiednio w pierwszym oraz drugim losowaniu kuli z urny.

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodbieństwa zmiennej losowej (X, Y ).

b) Zbadać czy zmienne losowe są niezależne i czy są nieskorelowane.

c) Naszkicować krzywe regresji pierwszego rodzaju.

d) Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej (X, Y ).

10

4. Ciągi zmiennych losowych, prawa wielkich liczb

Zadanie 80 Niech (Ω, F , P) będzie przestrzenią probabilistyczną taką, że Ω =< 0, 1 >, F jest rodziną
wszystkich podzbiorów borelowskich Ω, P jest miarą probabilistyczną określoną wzorem P(< a, b >) = b−a
dla dowolnego podzbioru < a, b >∈ F , a < b. Dla podanych ciągów rozstrzygnąć czy są one zbieżne do
zera według rozkładu, według prawdopodobieństwa, prawie pewnie, średniokwadratowo.

a) X

n

(ω) =

(

0,

dla ω ∈< 0, 1 −

1

n

>,

n,

dla ω ∈ (1 −

1

n

, 1 >,

b) X(ω) =

(

(−1)

n

,

dla ω ∈< 0,

1
2

>,

(−1)

n+1

,

dla ω ∈ (

1
2

, 1 >,

c) X(ω) =

(

0,

dla ω ∈< 0, 1 −

1

n

>,

2,

dla ω ∈ (1 −

1

n

, 1 >,

d) X(ω) =

(

1 −

1

n

,

dla ω ∈< 0,

1
2

>,

1

n

2

,

dla ω ∈ (

1
2

, 1 > .

Zadanie 81 Dany jest ciąg {X

n

} niezależnych zmiennych losowych o funkcji prawdopodobieństwa

P[X

n

= −

1

n

] =

1

2

,

P[X

n

=

1

n

] =

1

2

.

Sprawdzić czy ten ciąg jest zbieżny według rozkładu, według prawdopodobieństwa, prawie pewnie, śred-
niokwadratowo.

Zadanie 82 Niech zmienna losowa X

n

ma dystrybuantę daną wzorem F

n

(X) =

1
2

+

1

π

arc tg(nx). Zbadać,

czy ciąg zmiennych losowych (X

n

) jest zbieżny według rozkładu, według prawdopodobieństwa i średnio-

kwadratowo.