X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznacz rozkład zmiennej losowej z parametrem e−x i policz jej wartość oczekiwaną.
ROZWIĄZANIE
Rozkład wykładniczy znajduje zastosowanie do obliczania prawdopodobieństwa przejścia obiek-tu ze stanu X w Y w stałym czasie, przy stałym, prawdopodobieństwie (zmiany stanu z X w Y).
Rozkład nazywamy rozkładem wykładniczym jeżeli istnieje taka liczba λ > 0 że funkcja f : R → R
która ma gęstość:
GĘSTOŚĆ
DYSTRYBUANTA
x
0 , x < 0
0 , x < 0
R
f ( x) =
F x( t) =
f ( t) dt =
−∞
1 − e−λx , x
λe−λx , x > 0
> 0
Y = g( X) = e−x ROZKŁAD Y :D
F x( X) = P ( X < x) F y( Y ) = P ( Y < y) = P ( e−x < y) = P ( ln e−x < ln y) = P ( −x < ln y) = P ( x > −ln y) =
1 − P ( x 6 −ln y) = 1 − F x( −ln y) = 1 − (1 − e−λ ( ln y)) = eλ ln y = eln yλ = yλ dla y ∈ (0 , 1 i
0
, y 6 0
F y( y) =
yλ , y ∈ (0 , 1 >
1
, y > 1
WARTOŚĆ OCZEKIWANA Y:
+ ∞
+ ∞
+ ∞
E( Y ) = E( g( X)) = R f x( x) g( x) dx = R λ e−λ x e−x dx = R λ e−x( λ+1) dx = − λ [ e−x( λ+1)] ∞ =
λ+1
0
−∞
0
0
− λ (0 − 1) = λ
λ+1
λ+1
1