Wyznaczanie napr

ęż

e

ń

w przekrojach

zginanych i rozci

ą

ganych (lub

ś

ciskanych) układów pr

ę

towych

Ewa Błazik-Borowa

Wy

ż

sza Szkoła Zarz

ą

dzania i Administracji

Katedra Mechaniki Budowli, Politechnika Lubelska

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Opis problemu

Jednym z parametrów charakteryzuj

ą

cych materiał, jest

mi

ę

dzy innymi jego wytrzymało

ść

na ró

ż

nego rodzaju

stany napr

ęż

e

ń

. Projektuj

ą

c konstrukcj

ę

nale

ż

y tak dobra

ć

przekrój, aby napr

ęż

enia maksymalne w przekroju nie

przekrój, aby napr

ęż

enia maksymalne w przekroju nie

przekroczyły tych wytrzymało

ś

ci. Maksymalne napr

ęż

enia

zale

żą

od obci

ąż

e

ń

konstrukcji oraz od charakterystyk

geometrycznych przekroju, które z kolei zale

żą

od jego

kształtu i wymiarów.

Teoria

Napr

ęż

enia s

ą

to oddziaływania pomi

ę

dzy

ś

cianami przekroju bryły. Te oddziaływania s

ą

rozło

ż

one na całej powierzchni przekroju. Napr

ęż

enia na obu

ś

cianach s

ą

takie same co

do warto

ś

ci, maj

ą

ten sam kierunek, ale przeciwne zwroty.

Definicja napr

ęż

e

ń

P

P

P

q

α

P

P

q

q

napr

ęż

enia

P

α

P

Teoria

Siły wewn

ę

trzne s

ą

układem sił i momentów skupionych, który jest umieszczony w

ś

rodku ci

ęż

ko

ś

ci przekroju i jest równowa

ż

ny napr

ęż

eniom czyli efekt działania sił

wewn

ę

trznych jest taki sam jak napr

ęż

e

ń

.

Układ sił wewn

ę

trznych mog

ą

stanowi

ć

siła wypadkowa i moment wypadkowy lub trzy

Definicja sił wewn

ę

trznych

Układ sił wewn

ę

trznych mog

ą

stanowi

ć

siła wypadkowa i moment wypadkowy lub trzy

składowe wektora siły i trzy składowe wektora momentu.

P

P

q

q

M

P

P

P

q

q

P

M

W

W

M

P

Teoria

W celu ułatwienia okre

ś

lenia sił wewn

ę

trznych oraz dalszej analizy stanu napr

ęż

e

ń

wypadkowe siły i momentu w przekroju rozkłada si

ę

na nast

ę

puj

ą

ce kierunki: wzdłu

ż

osi

elementu oraz w dwóch kierunkach wzajemnie do siebie prostopadłych, le

żą

cych w

płaszczy

ź

nie przekroju.

Definicja sił wewn

ę

trznych

płaszczy

ź

nie przekroju.

Nazwy sił wewn

ę

trznych:

• siła w kierunku prostopadłym do przekroju czyli wzdłu

ż

osi pr

ę

ta – siła normalna N,

• dwie siły wzajemnie do siebie prostopadłe le

żą

ce w płaszczy

ź

nie przekroju – siły

poprzeczne (tn

ą

ce) T

y

i T

z

,

• moment o wektorze prostopadłym do przekroju – moment skr

ę

caj

ą

cym M

x

,

• dwa momenty o wektorach wzajemnie do siebie prostopadłych le

żą

cych w płaszczy

ź

nie

przekroju – momenty zginaj

ą

ce M

y

i M

z

.

P

q

W.

P

W

M

M

W.

N

T

z

T

y

M

x

M

y

M

z

Teoria

Napr

ęż

enia w pr

ę

cie zginanym momentem M, rozci

ą

ganym (lub

ś

ciskanym) sił

ą

N oraz

ś

cinanym sił

ą

T w punkcie o współrz

ę

dnej

y

maj

ą

warto

ść

:

Zale

ż

no

ś

ci pomi

ę

dzy napr

ęż

eniami i siłami wewn

ę

trznymi

A

N

N

=

σ

( )

x

M

J

y

M

y

−

=

σ

napr

ęż

enia normalne wywołane sił

ą

normaln

ą

N

napr

ęż

enia normalne wywołane momentem zginaj

ą

cym M

( )

)

(

)

(

ˆ

y

g

J

y

S

T

y

x

x

=

τ

napr

ęż

enia styczne wywołane sił

ą

poprzeczn

ą

(tn

ą

c

ą

) T

Teoria

Zale

ż

no

ś

ci pomi

ę

dzy napr

ęż

eniami i siłami wewn

ę

trznymi - oznaczenia

q

2

q

1

P

q

1

q

2

P

N

N

T

T

M

M

Z

x

y

z

M

T

N

σ

y

– współrz

ę

dna punktu tzn. odległo

ść

punktu od osi przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

τ

A

– pole powierzchni przekroju

J

x

– moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

x

g(y)

– szeroko

ść

przekroju przy współrz

ę

dnej

y

S

x

(y)

– moment statyczny wzgl

ę

dem osi

x

przekroju pomi

ę

dzy współrz

ę

dn

ą

y

i kraw

ę

dzi

ą

przekroju

Przykład

Wyznacz napr

ęż

enia normalne

σ

N

, wywołane sił

ą

normaln

ą

, napr

ęż

enia

σ

M

wywołane

momentem zginaj

ą

cym, wypadkowe napr

ęż

enia normalne oraz napr

ęż

enia styczne

τ

,

wywołane sił

ą

poprzeczn

ą

w odniesieniu do przekroju pr

ę

ta.

Tre

ść

zadania

Dane:

siły wewn

ę

trzne w przekroju

N= 4 kN
T= 12 kN
M= 8 kNm

wymiary przekroju

a= 80 mm
b= 140 mm

d

(d-e)/2

e

c

b

h

(d-e)/2

b= 140 mm
c= 100 mm
d= 200 mm
e= 80 mm
f= 120 mm

f

a

Figura składa si

ę

z trzech prostok

ą

tów, oznaczonych

numerami 1, 2 i 3. Pole całej figury jest równe sumie pól
wymienionych trzech prostok

ą

tów:

Wyznaczenie pola powierzchni

Przykład

3

2

1

A

A

A

A

+

+

=

2

6

2

1

m

10

9600

mm

9600

mm

80

mm

120

−

⋅

=

=

⋅

=

=

af

A

2

6

2

2

m

10

11200

mm

11200

mm

80

mm

140

−

⋅

=

=

⋅

=

=

be

A

2

6

2

3

m

10

20000

mm

20000

mm

200

mm

100

−

⋅

=

=

⋅

=

=

cd

A

200

60

80

60

1

0

0

1

4

0

3

2

0

3

2

2

3

2

6

2

6

2

6

2

6

m

10

8

.

40

m

10

40800

m

10

20000

m

10

11200

m

10

9600

−

−

−

−

−

⋅

=

⋅

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

A

Pole powierzchni całej figury wynosi:

120

8

0

1

[mm]

Przykład

Do wyznaczenia

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci figury

η

0

potrzebny jest

moment statyczny całej figury wzgl

ę

dem dowolnej osi, np.

ξ

,

oraz pole całej figury. Moment statyczny zostanie policzony
jako suma momentów statycznych poszczególnych figur:

Wyznaczenie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci figury

60

80

60

η

=Y

jako suma momentów statycznych poszczególnych figur:

3

2

1

ξ

ξ

ξ

ξ

S

S

S

S

+

+

=

3

6

2

6

1

1

m

10

384

m

04

.

0

m

10

9600

2

/

mm

80

−

−

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

A

S

ξ

(

)

3

6

2

6

2

2

m

10

1680

m

15

.

0

m

10

11200

2

/

mm

140

mm

80

−

−

⋅

=

⋅

⋅

=

+

⋅

=

A

S

ξ

(

)

3

6

2

6

3

3

m

10

5400

m

27

.

0

m

10

20000

2

/

mm

100

mm

320

−

−

⋅

=

=

⋅

⋅

=

−

⋅

=

A

S

ξ

120

1

0

0

1

4

0

8

0

3

2

1

X

ξ

η

η

0

1

[mm]

A

1

=9600 ·10

-6

m

2

A

2

=11200 ·10

-6

m

2

A

3

=20000 ·10

-6

m

2

A=40.8 ·10

-3

m

2

Potrzebne dane:

Moment statyczny figury wzgl

ę

dem osi – całka podwójna po powierzchni figury z iloczynu niesko

ń

czenie

małego fragmentu figury

dA

przez odległo

ś

ci tego fragmentu od osi.

3

3

3

6

3

6

3

6

3

6

m

10

464

.

7

m

10

7464

m

10

5400

m

10

1680

m

10

384

−

−

−

−

−

⋅

=

⋅

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

ξ

S

Moment statyczny całej figury wynosi:

120

[mm]

Przykład

Ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci figury

η

0

jest równy ilorazowi momentu

statycznego całej figury wzgl

ę

dem dowolnej osi, np.

ξ

, oraz

pola powierzchni:

Wyznaczenie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci figury

60

80

60

η

=Y

pola powierzchni:

mm

9412

.

182

m

10

8

.

40

m

10

464

.

7

2

3

3

3

0

=

⋅

⋅

=

=

−

−

A

S

ξ

η

137.0588mm

mm

9412

.

182

mm

320

0

1

=

−

=

−

=

η

η

h

Odległo

ść

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci od górnej kraw

ę

dzi wynosi:

120

1

0

0

1

4

0

8

0

3

2

1

X

ξ

η

η

0

1

[mm]

A=40.8 ·10

-3

m

2

S

ξ

=7.464·10

-3

m

3

Potrzebne dane:

0

1

Moment statyczny figury wzgl

ę

dem osi równy jest iloczynowi pola figury i współrz

ę

dnej

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci

tej figury. Współrz

ę

dna

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci to odległo

ść

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci od osi z uwzgl

ę

dnieniem znaku.

120

[mm]

Przykład

Wyznaczenie momentu bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

ś

rodkowej

X

W celu wyznaczenia momentu bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

ś

rodkowej

X

zostanie policzony moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

ξ

. Moment

ten zostanie policzony jako suma momentów bezwładno

ś

ci

poszczególnych figur wzgl

ę

dem osi

ξ

:

J

J

J

J

+

+

=

d

(d-e)/2

e

(d-e)/2

c

3

η

poszczególnych figur wzgl

ę

dem osi

ξ

:

3

2

1

ξ

ξ

ξ

ξ

J

J

J

J

+

+

=

(

)

4

6

2

2

6

3

2

1

3

1

m

10

4800

.

20

2

mm

80

m

10

9600

12

mm

80

mm

120

2

12

−

−

⋅

=













⋅

⋅

+

⋅

=

=













+

=

a

A

fa

J

ξ

Potrzebne dane:

(

)

4

6

2

2

6

3

2

2

3

2

m

10

2933

.

270

mm

140

mm

80

m

10

11200

12

mm

140

mm

80

2

12

−

−

⋅

=









+

⋅

⋅

+

+

⋅

=













+

+

=

b

a

A

eb

J

ξ

f

b

a

h

2

1

ξ

60

80

60

1

0

0

3

η

Moment bezwładno

ś

ci figury wzgl

ę

dem osi – całka podwójna po powierzchni figury z iloczynu fragmentu

figury

dA

i kwadratu odległo

ś

ci tego fragmentu od osi.

A

1

=9600 ·10

-6

m

2

A

2

=11200 ·10

-6

m

2

A

3

=20000 ·10

-6

m

2

m

10

2933

.

270

2

mm

80

m

10

11200

⋅

=









+

⋅

⋅

+

(

)

4

6

2

2

6

3

2

3

3

3

m

10

6667

.

1474

2

mm

100

mm

320

m

10

20000

12

mm

100

00mm

2

2

12

−

−

⋅

=













−

⋅

⋅

+

+

⋅

=













−

+

=

c

h

A

dc

J

ξ

120

1

4

0

8

0

2

1

ξ

3

2

0

[mm]

Przykład

Wyznaczenie momentu bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

ś

rodkowej

X

Moment bezwładno

ś

ci całej figury wzgl

ę

dem osi

ξ

wynosi:

60

80

60

η

=Y

3

2

1

ξ

ξ

ξ

ξ

J

J

J

J

+

+

=

Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

ś

rodkowej X zgodnie ze

wzorem Steinera wynosi:

4

6

4

6

4

6

4

6

m

10

4400

.

1765

m

10

6667

.

1474

m

10

2933

.

270

m

10

48

.

20

−

−

−

−

⋅

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

ξ

J

2

=

−

=

η

120

1

0

0

1

4

0

8

0

3

2

1

X

ξ

η

η

0

1

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładno

ś

ci figury wzgl

ę

dem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem

osi

ś

rodkowej oraz iloczynu pola figury i kwadratu odległo

ś

ci pomi

ę

dzy dan

ą

osi

ą

i osi

ą

ś

rodkow

ą

A=40.8 ·10

-3

m

2

η

0

=182.9412mm=0.1829m

J

ξ

1

=20.48·10

-6

m

4

J

ξ

2

=270.2933·10

-6

m

4

J

ξ

3

=1474.6667·10

-6

m

4

Potrzebne dane:

(

)

4

6

2

4

3

4

6

2

0

X

m

10

9667

.

399

m

1829

.

0

m

10

8

.

40

m

10

4400

.

1765

−

−

−

⋅

=

=

⋅

⋅

−

⋅

=

=

−

=

η

ξ

A

J

J

Przykład

Napr

ęż

enia normalne wywołane sił

ą

normaln

ą

nale

ż

y

wyznaczy

ć

ze wzoru:

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych sił

ą

normaln

ą

σ

N

200

60

80

60

kPa

04

.

98

m

kN

04

.

98

m

10

40.8

kN

4

2

2

3

-

=

=

⋅

=

=

A

N

N

σ

Wykres napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych sił

ą

normaln

ą

jest stały w przekroju i w tym przykładzie b

ę

dzie wygl

ą

dał

w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

98.04

σ

N

[kPa]

120

1

0

0

1

4

0

8

0

3

2

0

Y

[mm]

A= 40.8 ·10

-3

m

2

N

= 4 kN

Potrzebne dane:

Jednostki : 1mm=0.001m=1·10

-3

m, 1mm

2

=0.000001m

2

=1·10

-6

m

2,

,1mm

4

=0.000000000001m

2

=1·10

-12

m

4

1000N=1kN, 1000kN=1MN, 1000Pa=1kPa, 1000kPa=1MPa, N/m

2

=Pa, kN/m

2

=kPa, MN/m

2

=MPa

98.04

X

+

Przykład

Napr

ęż

enia normalne wywołane momentem zginaj

ą

cym

nale

ż

y wyznaczy

ć

ze wzoru:

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych momentem zginaj

ą

cym

σ

M

( )

My

kN

kNm

8

−

−

Y

Potrzebne dane:

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych momentem

zginaj

ą

cym w charakterystycznych punktach wynosz

ą

:

( )

y

y

J

My

y

x

M

3

4

6

m

kN

665

.

20001

m

10

9667

.

399

kNm

8

−

=

⋅

−

=

−

=

−

σ

( )

(

)

kPa

30

.

3658

m

1829

.

0

m

kN

665

.

20001

3

0

=

−

⋅

−

=

−

η

σ

M

X

η

η

0

1

J

x

= 399.9667 ·10

-6

m

4

M= 8.0 kNm

η

o

=182.9mm=0.1829 m

η

1

= 137.1mm=0.1371m

Potrzebne dane:

( )

0

0

m

kN

665

.

20001

0

3

=

⋅

−

=

M

σ

( )

kPa

23

.

2742

m

1371

.

0

m

kN

665

.

20001

3

1

−

=

⋅

−

=

η

σ

M

Przykład

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

normalnych

σ

M

wywołanych momentem zginaj

ą

cym

Wykres napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych momentem

zginaj

ą

cym jest wykresem liniowym opisanym

Y

Wykres napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych

momentem zginaj

ą

cym tym przykładzie b

ę

dzie

wygl

ą

dał w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

( )

y

y

M

3

m

kN

665

.

20001

−

=

σ

zale

ż

no

ś

ci

ą

:

-2742.23

σ

[kPa]

Potrzebne dane:

X

η

η

0

1

Y

-2742.23

3658.30

σ

M

[kPa]

σ(−η

o

)=3658.30kPa

σ(0

)=0

σ(η

1

)= -2742.23kPa

Potrzebne dane:

X

+

-

Przykład

Napr

ęż

enia normalne w przekroju pr

ę

ta zginanego i rozci

ą

ganego

Je

ż

eli pr

ę

t jest zarówno zginany jak i rozci

ą

gany, to

napr

ęż

enia s

ą

sum

ą

napr

ęż

e

ń

normalnych wywołanych

momentem zginaj

ą

cym i sił

ą

normaln

ą

:

Y

kPa

04

.

98

m

kN

665

.

20001

3

+

−

=

+

=

y

N

M

σ

σ

σ

momentem zginaj

ą

cym i sił

ą

normaln

ą

:

A

N

y

J

M

x

N

M

+

−

=

+

=

σ

σ

σ

( )

3756.34kPa

98.04kPa

kPa

30

.

3658

0

=

+

=

−

η

σ

Potrzebne dane:

X

η

η

0

1

( )

3756.34kPa

98.04kPa

kPa

30

.

3658

0

=

+

=

−

η

σ

( )

kPa

04

.

98

kPa

04

.

98

0

0

=

+

=

σ

( )

kPa

19

.

2644

98.04kPa

kPa

23

.

2742

1

−

=

+

−

=

η

σ

η

o

=182.9mm=0.1829 m

η

1

= 137.1mm=0.1371m

Przykład

Napr

ęż

enia normalne w przekroju pr

ę

ta zginanego i rozci

ą

ganego

Wykres napr

ęż

e

ń

normalnych jest wykresem liniowym i

w tym przykładzie b

ę

dzie wygl

ą

dał w nast

ę

puj

ą

cy

sposób:

Y

η

1

-2742.23

σ

M

[kPa]

( )

3756.34kPa

0

=

−

η

σ

( )

kPa

04

.

98

0

=

σ

( )

kPa

19

.

2644

1

−

=

η

σ

σ

N

[kPa]

-2644.19

98.04

σ

[kPa]

X

η

η

0

Y

-

-

3658.30

98.04

3756.34

98.04

X

+

+

Przykład

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

stycznych w przekroju pr

ę

ta zginanego

Napr

ęż

enia styczne mo

ż

na wyznaczy

ć

ze wzoru:

( )

)

(

ˆ

y

S

T

( )

)

(

)

(

ˆ

y

g

J

y

S

T

y

x

x

=

τ

gdzie:

T

– siła tn

ą

ca (poprzeczna)

J

x

– moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

ś

rodkowej

x

S

x

– moment statyczny wzgl

ę

dem osi

ś

rodkowej

x

fragmentu figury pomi

ę

dzy

punktem o współrz

ę

dnej

y

i kraw

ę

dzi

ą

punktem o współrz

ę

dnej

y

i kraw

ę

dzi

ą

g

– szeroko

ść

figury na wysoko

ś

ci punktu o współrz

ę

dnej

y

Warto

ś

ci

T

i

J

x

s

ą

stałe w przekroju, natomiast wielko

ś

ci

S

x

i

g

s

ą

funkcjami współrz

ę

dnej

y

.

Przykład

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

stycznych w odniesieniu do

y

∈

(-

η

0

,

-

η

0

+

a

)

Moment statyczny obszaru zacienionego

wzgl

ę

dem osi

x

:

(

)

m

1829

.

0

m

1829

.

0

m

12

.

0

)

(

ˆ

y

y

y

y

S

=













−

+

⋅

−

⋅

=

(

)

(

)

(

)

2

2

m

1829

.

0

m

06

.

0

2

m

1829

.

0

m

12

.

0

)

(

ˆ

y

y

y

y

S

x

−

⋅

=

=











+

⋅

−

⋅

=

m

12

.

0

)

(

=

y

g

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

4

4

6

2

2

m

1829

.

0

m

kN

25

.

15001

m

12

.

0

m

10

9667

.

399

m

1829

.

0

m

06

.

0

kN

12

y

y

y

−

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

−

τ

η

η

[mm]

Szeroko

ść

:

Napr

ęż

enia styczne:

J

x

= 399.9667 ·10

-6

m

4

T= 12.0 kNm

Potrzebne dane:

−η

o

=-0.1829 m

−η

o

+a=-0.1829 m+0.08m=-0.1029

y

∈

(-0.1829m;-0.1029m)

4

4

6

m

m

12

.

0

m

10

9667

.

399

⋅

⋅

−

(

)

(

) (

)

(

)

0

m

1829

.

0

m

1829

.

0

m

kN

25

.

15001

m

1829

.

0

2

2

4

=

−

−

=

−

τ

(

)

(

) (

)

(

)

kPa

99

.

342

m

1029

.

0

m

1829

.

0

m

kN

25

.

15001

m

1029

.

0

2

2

4

=

−

=

−

τ

Przykład

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

stycznych w odniesieniu do

y

∈

(

-

η

0

+

a,0

)

Moment statyczny obszaru zacienionego

wzgl

ę

dem osi

x

:

(

)

m

1029

.

0

2

m

08

.

0

-

m

1829

.

0

m

08

.

0

m

12

.

0

)

(

ˆ

y

y

S

x









−

+













⋅

⋅

=

(

)

(

)

(

)

2

2

3

3

m

1029

.

0

m

04

.

0

m

10

3718

.

1

2

m

1029

.

0

m

1029

.

0

m

08

.

0

y

y

y

y

−

⋅

+

⋅

=

=















−

+

⋅

−

⋅

+

−

m

08

.

0

)

(

=

y

g

( )

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

2

2

4

6

2

2

3

3

m

1029

.

0

kN

25

.

15001

kN

47

.

514

m

08

.

0

m

10

9667

.

399

m

1029

.

0

m

04

.

0

m

10

3718

.

1

kN

12

y

y

y

−

+

=

=

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

=

−

−

τ

η

η

[mm]

Szeroko

ść

:

Napr

ęż

enia styczne:

J

x

= 399.9667 ·10

-6

m

4

T= 12.0 kNm

Potrzebne dane:

(

)

(

)

4

2

m

1029

.

0

m

25

.

15001

m

47

.

514

y

−

+

=

(

)

(

) (

)

(

)

kPa

47

.

514

m

1029

.

0

m

1029

.

0

m

kN

25

.

15001

m

kN

47

.

514

m

1029

.

0

2

2

4

2

=

=

−

+

=

−

τ

−η

o

+a=-0.1829 m+0.08m=-0.1029

y

∈

(-0.1029m;0)

( )

(

) ( )

(

)

kPa

31

.

673

m

0

m

1029

.

0

m

kN

25

.

15001

m

kN

47

.

514

m

0

2

2

4

2

=

−

+

=

τ

Przykład

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

stycznych w odniesieniu do

y

∈

(

0,

η

1

-c

)

Moment statyczny obszaru zacienionego

wzgl

ę

dem osi

x

:

(

)

m

0371

.

0

2

m

10

.

0

-

m

1371

.

0

m

10

.

0

m

20

.

0

)

(

ˆ

y

y

S

x





−

+













⋅

⋅

=

Szeroko

ść

:

Napr

ęż

enia styczne:

(

)

(

)

(

)

2

2

3

3

m

0371

.

0

m

04

.

0

m

10

742

.

1

2

m

0371

.

0

m

0371

.

0

m

08

.

0

y

y

y

y

−

⋅

+

⋅

=

=













−

+

⋅

−

⋅

+

−

m

08

.

0

)

(

=

y

g

( )

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

2

2

4

6

2

2

3

3

m

0371

.

0

kN

25

.

15001

kN

30

.

653

m

08

.

0

m

10

9667

.

399

m

0371

.

0

m

04

.

0

m

10

742

.

1

kN

12

y

y

y

−

+

=

=

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

=

−

−

τ

η

η

[mm]

J

x

= 399.9667 ·10

-6

m

4

T= 12.0 kNm

Potrzebne dane:

(

)

(

)

2

2

4

2

m

0371

.

0

m

kN

25

.

15001

m

kN

30

.

653

y

−

+

=

( )

(

) ( )

(

)

kPa

31

.

673

m

0

m

0371

.

0

.

0

m

kN

25

.

15001

m

kN

30

.

653

0

2

2

4

2

=

−

+

=

m

τ

η

1

-c=0.1371m-0.10m=0.0371

y

∈

(0;0.0371m)

(

)

(

) (

)

(

)

kPa

30

.

653

m

0371

.

0

m

0371

.

0

m

kN

25

.

15001

m

kN

30

.

653

m

0371

.

0

2

2

4

2

=

=

−

+

=

τ

Przykład

Wyznaczenie napr

ęż

e

ń

stycznych w odniesieniu do

y

∈

(

η

1

-c,

η

1

)

Moment statyczny obszaru zacienionego

wzgl

ę

dem osi

x

:

(

)

m

1371

.

0

m

1371

.

0

m

20

.

0

)

(

ˆ

y

y

y

y

S

=









−

+

⋅

−

⋅

=

(

)

(

)

(

)

2

2

m

1371

.

0

m

10

.

0

2

m

1371

.

0

m

1371

.

0

m

20

.

0

)

(

ˆ

y

y

y

y

y

S

x

−

⋅

=

=













−

+

⋅

−

⋅

=

m

20

.

0

)

(

=

y

g

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

4

4

6

2

2

m

1371

.

0

m

kN

25

.

15001

m

2

.

0

m

10

9667

.

399

m

1371

.

0

m

10

.

0

kN

12

y

y

y

−

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

−

τ

η

η

[mm]

Szeroko

ść

:

Napr

ęż

enia styczne:

J

x

= 399.9667 ·10

-6

m

4

T= 12.0 kNm

Potrzebne dane:

(

)

(

) (

)

(

)

kPa

32

.

261

m

0371

.

0

m

1371

.

0

m

kN

25

.

15001

.0371m

0

2

2

4

=

−

=

τ

η

1

-c=0.1371m-0.10m=0.0371

η

1

=0.1371m

y

∈

(0.0371m;0.1371m)

(

)

(

) (

)

(

)

0

m

1371

.

0

m

1371

.

0

m

kN

25

.

15001

.1371m

0

2

2

4

=

−

=

τ

Przykład

Wykres napr

ęż

e

ń

stycznych

Napr

ęż

enia styczne s

ą

funkcj

ą

kwadratow

ą

współrz

ę

dnej

y

a wykres napr

ęż

e

ń

stycznych jest wykresem krzywoliniowym, w tym przykładzie b

ę

dzie wygl

ą

dał

w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

w nast

ę

puj

ą

cy sposób:

( )

kPa

31

.

673

m

0

=

τ

(

)

kPa

30

.

653

m

0371

.

0

=

τ

(

)

kPa

32

.

261

.0371m

0

=

τ

(

)

0

.1371m

0

=

τ

X

Y

+

(

)

0

m

1829

.

0

=

−

τ

(

)

kPa

99

.

342

m

1029

.

0

=

−

τ

(

)

kPa

47

.

514

m

1029

.

0

=

−

τ

Podsumowanie

Przekroje w konstrukcjach rzeczywistych

Sprawdzanie stanu napr

ęż

e

ń

w przekrojach i relacji tych warto

ś

ci w odniesieniu do

wytrzymało

ś

ci materiału dotyczy wszystkich konstrukcji. Na zdj

ę

ciach przedstawiono

przykłady układów pr

ę

towych, wykonanych z ró

ż

nych materiałów i o ró

ż

nych przekrojach.

Most, którego
konstrukcja składa
si

ę

z układu belek

ż

elbetowych o

przekroju,
pokazanym na
rysunku.

Konstrukcja
wsporcza kładki
dla pieszych,
wykonana ze stali o
przekroju,
pokazanym na
rysunku.

Konstrukcja
przekrycia hali
wykonana z
drewna o
przekroju,
pokazanym na
rysunku.

Podsumowanie

Porównanie maksymalnych napr

ęż

e

ń

z wytrzymało

ś

ci

ą

wybranych materiałów

Maksymalne napr

ęż

enia w przekroju wynosz

ą

:

Na zako

ń

czenie zostanie zaprezentowane porównanie napr

ęż

e

ń

w przedstawionym przykładzie z wytrzymało

ś

ciami

materiałów, zalecanymi przy projektowaniu (tzw. warto

ś

ci obliczeniowe, które s

ą

mniejsze w stosunku do rzeczywistej

i dzi

ę

ki temu zapewniaj

ą

wi

ę

ksze bezpiecze

ń

stwo pracy konstrukcji).

Maksymalne napr

ęż

enia w przekroju wynosz

ą

:

- napr

ęż

enia normalne rozci

ą

gaj

ą

ce

σ

max

=3756.34kPa

- napr

ęż

enia normalne

ś

ciskaj

ą

ce

σ

max

=-2644.19kPa

- napr

ęż

enia styczne

τ

max

=673.31kPa

Wytrzymało

ść

na rozci

ą

ganie:

- stal S235 – 215MPa=215000kPa
- beton B20 – 900kPa
- drewno K27 –
13MPa=13000kPa (przy zginaniu)
9.5MPa=9500kPa (przy rozci

ą

ganiu)

Wytrzymało

ść

na

ś

cinanie:

- stal S235 – 77000kPa
- beton B20 – 2120kPa
- drewno K27 – 1400kPa

Wytrzymało

ść

na

ś

ciskanie:

- stal S235 – 215MPa=215000kPa
- beton B20 – 11500kPa
- drewno K27 –11500kPa

Jak wida

ć

z powy

ż

szego porównania, mo

ż

na by ten przekrój wykona

ć

drewna. Wytrzymało

ść

stali jest tak

ż

e wi

ę

ksza ni

ż

maksymalne napr

ęż

enia, ale stal jest materiałem ci

ęż

kim i u

ż

ycie go spowodowałoby wzrost sił wewn

ę

trznych, a wi

ę

c

maksymalne napr

ęż

enia, ale stal jest materiałem ci

ęż

kim i u

ż

ycie go spowodowałoby wzrost sił wewn

ę

trznych, a wi

ę

c

napr

ęż

e

ń

. Natomiast przekroje tego typu s

ą

najcz

ęś

ciej wykonywane z betonu. Z porównania wynika,

ż

e wytrzymało

ść

na

ś

ciskanie i

ś

cinanie materiału nie jest przekroczona. Jedynym problemem s

ą

napr

ęż

enia w strefie rozci

ą

ganej. W zwi

ą

zku z

tym beton ł

ą

czy si

ę

ze stal

ą

, tzn. wprowadza si

ę

zbrojenie, które przenosi napr

ęż

enia rozci

ą

gaj

ą

ce. Materiał, w którym

współpracuje ze sob

ą

beton i stal, nazywany jest

ż

elbetem.

Wi

ę

cej informacji na temat okre

ś

lania napr

ęż

e

ń

maksymalnych mo

ż

na znale

źć

w podr

ę

cznikach:

R. Bąk, T. Burczyński: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT 2001.
P. Jastrzębski, J. Mutermilch, W. Orłowski: Wytrzymałość materiałów, Arkady 1986.

Ewa Błazik-Borowa

Wy

ż

sza Szkoła Zarz

ą

dzania i Administracji

Katedra Mechaniki Budowli, Politechnika Lubelska

Mam nadziej

ę

,

ż

e wykład

dostarczył niezb

ę

dnych informacji

z zakresu wyznaczania napr

ęż

e

ń

w przekrojach

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego