1

INFORMACJA!

• Udostępniane materiały pomocnicze do nauki

przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są

przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców.

Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest

komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w

prezentacjach.

• Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do

studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi,

a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników.

• Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów

przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać

może poprawek i uzupełnień. Pobierający te

materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na

adres e-mailowy autora: [e-mail].

2

ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ

3

Rozkład przestrzenny
naprężeń

 

n

r

p

p









,







 

r

p

n

n

r

p

p

const





















;





 

n

p

n

r

r

p

p

const





















;

Stan naprężenia

Rozkład naprężeń

Wektor
naprężenia

const

n

r

p



const

r

n



n



r

4

x

2

x

1

x

3

Rozkład przestrzenny
naprężeń





Objętość

V

Powierzchnia

S

 

i

p









 

i

q

q







Objętość

V

0

Powierzchnia

S

0

Wektor
naprężenia

Wektor sił
objętościowych

 

i

P

P



dS

p

dV

P

S

V













0

0

0











0

0

0









dS

dV

P

j

S

ij

V

i







0

0

0









dS

dV

P

S

i

V

i





0

0

0













dV

x

dV

P

V

j

ij

V

i



0

0

























dV

x

P

V

j

ij

i



j

ij

i













0























j

ij

i

x

P







,

,

,

3

2

1

x

x

x

ij

ij







Tw. Greena-Gaussa-
Ostrogradzkiego

Obciążenie
powierzchniowe



q

5

Rozkład przestrzenny
naprężeń

0























j

ij

i

x

P







Na powierzchni ciała
wektor naprężenia jest
znany:



q



p



j

ij

i

i

q

















Naprężenia na powierzchni
ciała

Współrzędne wersora normalnego do
powierzchni

j

ij

i

q











Są to

statyczne warunki brzegowe

, które musi spełniać rozwiązanie

równania:

Równanie to (równanie Naviera) nosi
nazwę równania równowagi
wewnętrznej.

6

Rozkład przestrzenny
naprężeń

0























j

ij

i

x

P



Jest to układ 3 rownań różniczkowych :
cząstkowych, liniowych, jednorodnych.

Równanie
:

we współrzędnych:

0

0

0

3

33

2

32

1

31

3

23

2

22

1

21

3

13

2

12

1

11























































x

x

x

x

x

x

x

x

x



















Do wyznaczenia jest 6 nieznanych
funkcji naprężęń, przy spełnieniu trzech
warunków brzegowych w każdym
punkcie powierzchni ciała:

j

ij

i

q











Konieczne jest więc znalezienie dalszych równań, pozwalających
na wyznaczenie wszystkich składowych macierzy naprężeń jako
fonkcji zmiennych przestrzennych

x

1

, x

2

, x

3

.

(dla

P

i

=0)

7

Rozkład przestrzenny
naprężeń

Dwie
uwagi:

1. Równanie jest spełnieniem tylko jednego

z dwu

warunków równowagi ciała: suma wszystkich sił działających

na ciało musi być równa zeru.

0























j

ij

i

x

P



Spełnienie drugiego warunku – suma momentów równa zero –
prowadzi do potwierdzenia przyjętego już wcześniej założenia o
symetrii macierzy naprężeń

σ

ij

= σ

ji

2. Równanie równowagi wewnętrznej jest szczególnym przypadkiem

równania ruchu, w którym przyspieszenie jest równe zeru (ruch
jednostajny lub ciało znajdujace się w spoczynku). Gdy
przyspieszenie jest różne od zera, to po prawej stronie równania
równowagi trzeba uwzględnić siły bezwładności d’Alamberta. Jest
to zadanie dynamiczne teorii sprężystości.