1
Wykład 9
Mechanika p
Mechanika p
ł
ł
yn
yn
ó
ó
w
w
Wrocław University of Technology
14-I-2012
1
Wykład 9
Mechanika p
Mechanika p
ł
ł
yn
yn
ó
ó
w
w
Wrocław University of Technology
14-I-2012
2
Płyny
Mechanika płynów
14.I.2012
Płyn — w odróŜnieniu od ciała stałego — to substancja zdolna do przepływu.
Gdy umieścimy go w naczyniu, przyjmie kształt tego naczynia.
Płyny — pod tą nazwą rozumiemy ciecze i gazy!
3
G
ę
sto
ść
Mechanika płynów
14.I.2012
Gęstość płynu jest równa
V
m
∆
∆
=
ρ
Aby wyznaczyć gęstość płynu ρ w pewnym jego punkcie, wydzielamy mały
element objętości ∆V w otoczeniu tego punktu i mierzymy masę ∆m płynu
zawartego w tej objętości.
=
3
3
1000
1
m
kg
cm
g
Substancja lub ciało
Gęstość [kg/m
3
]
Przestrzeń międzygwiazdowa
10
-20
Powietrze (20
o
C, 1 atm)
1.21
Styropian
60.5
Lód
0.917
.
10
3
Krew
1.060
.
10
3
Ziemia
5.5
.
10
3
Słońce
1.4
.
10
3
Jądro uranu
3
.
10
17
4
Ci
ś
nienie
S
F
p
∆
∆
=
⊥
Mechanika płynów
14.I.2012
Definicja:
[
]
2
/
1
1
1
m
N
Pa
Pascal
=
=
jednostkowa siła prostopadła do powierzchni ∆S
⊥
∆
F
1 Atm = 1.01
.
10
5
Pa = 1.013 bar =
= 760 Tr = 14.7 funt/in
2
Atmosfera (atm) jest to - jak wskazuje sama nazwa -
przybliŜona wartość średnia ciśnienia atmosferycznego
na poziomie morza. Tor (Tr), nazwany tak na cześć
Evangelisty Toricellego, który wynalazł barometr
rtęciowy w 1647 roku, nazywany jest równieŜ
milimetrem słupa rtęci (mm Hg).
5
Płyny w spoczynku
mg
F
F
+
=
1
2
Mechanika płynów
14.I.2012
S
p
F
S
p
F
2
2
1
1
=
=
(
)
2
1
1
2
y
y
Sg
S
p
S
p
−
+
=
ρ
(
)
2
1
1
2
y
y
g
p
p
−
+
=
ρ
Oznaczając przez p
0
ciśnienie atmosferyczne na
powierzchni cieczy, otrzymujemy:
p
p
h
y
p
p
y
=
−
=
=
=
2
2
0
1
1
,
oraz
,
0
gh
p
p
ρ
+
=
0
6
Płyny w spoczynku
Mechanika płynów
14.I.2012
Ciśnienie w pewnym punkcie w płynie znajdującym się w równowadze statycznej
zaleŜy od głębokości tego punktu pod powierzchnią płynu, a nie zaleŜy od
poziomych rozmiarów płynu ani zbiornika, w którym płyn jest zawarty.
gh
p
p
ρ
+
=
0
7
Pomiary ci
ś
nienia
Mechanika płynów
14.I.2012
Manometr rtęciowy
Manometr otwarty
8
Prawo Pascala
Mechanika płynów
14.I.2012
W zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona
bez zmiany wartości do kaŜdego miejsca w płynie i do ścian zbiornika.
Ciśnienie p w dowolnym punkcie cieczy P wynosi:
gh
p
p
zewn
ρ
+
=
Następnie, do zbiornika ze śrutem dosypujemy nieco
ś
rutu, w wyniku czego ciśnienie p
zewn
wzrasta o
∆p
zewn
. Zatem zmiana ciśnienia w punkcie P jest
równa ∆p:
zewn
p
p
∆
=
∆
Ten przyrost ciśnienia nie zaleŜy od h, a więc musi
być taki sam w kaŜdym punkcie cieczy, co właśnie
stwierdza prawo Pascala.
9
Prasa hydrauliczna
Mechanika płynów
14.I.2012
wyj
wyj
wej
wej
S
F
S
F
p
=
=
∆
wej
wyj
wej
wyj
S
S
F
F
=
Jeśli przesuniemy tłok wejściowy w dół o odcinek
d
wej
, to tłok wyjściowy przesunie się w górę o
odcinek d
wyj
wyj
wyj
wej
wej
d
S
d
S
V
=
=
wyj
wej
wej
wyj
S
S
d
d
=
stąd gdy S
wyj
> S
wej
, przemieszczenie tłoka
wyjściowego jest mniejsze niŜ przemieszczenie
tłoka wejściowego.
Praca wykonana przez siłę wyjściową:
wej
wej
wyj
wej
wej
wej
wyj
wej
wyj
wyj
d
F
S
S
d
S
S
F
d
F
W
=
=
=
10
Prawo Archimedesa
Mechanika płynów
14.I.2012
Na ciało całkowicie lub częściowo zanurzone w
płynie działa ze strony płynu siła wyporu F
w
. Jest
ona skierowana pionowo do góry, a jej wartość
jest równa cięŜarowi m
p
g płynu wypartego przez
to ciało.
Siła wyporu, jaka działa na ciało w płynie, ma
wartość:
g
m
F
p
wyp
=
przy czym m
p
jest masą płynu wypartego przez
ciało.
CIĘśAR
POZORNY
CIĘśAR
RZECZYWISTY
WARTOŚĆ SIŁY
WYPORU
=
-
11
Ruch płynów doskonałych
Mechanika płynów
14.I.2012
1. Przepływ ustalony. Przepływ jest ustalony
(nazywany teŜ laminarnym), gdy prędkość
poruszającego się płynu w kaŜdym wybranym
punkcie nie zmienia się w upływem czasu,
zarówno co do wartości, jak i co do kierunku.
2. Przepływ nieściśliwy. Będziemy zakładać,
podobnie jak to juŜ robiliśmy dla płynów w
spoczynku, Ŝe nasz doskonały płyn jest
nieściśliwy, to znaczy, Ŝe jego gęstość jest stała.
3. Przepływ nielepki. Z grubsza rzecz biorąc,
lepkość płynu jest miarą oporu, jaki stawia płyn
jego przepływowi.
4. Przepływ bezwirowy.
12
Równanie ci
ą
gło
ś
ci
Mechanika płynów
14.I.2012
13
Równanie ci
ą
gło
ś
ci
Mechanika płynów
14.I.2012
Prędkość elementu e jest równa v, zatem w
przedziale czasu ∆t element ten przebywa
wzdłuŜ rury odcinek o długości ∆x = v ∆t.
Wobec tego w przedziale czasu ∆t przez linię
przerywaną przepływa płyn o objętości ∆V
równej
t
Sv
x
S
V
∆
=
∆
=
∆
t
v
S
t
v
S
V
∆
=
∆
=
∆
2
2
1
1
2
2
1
1
v
S
v
S
=
- równanie ciągłości
Wynika z niego, Ŝe prędkość przepływu wzrasta, gdy maleje pole przekroju
poprzecznego, przez który płyn przepływa.
14
Równanie Bernoulliego
Mechanika płynów
14.I.2012
Oznaczenia:
y
1
, v
1
i p
1
- poziom, prędkość i ciśnienie płynu
wchodzącego do rury z lewej strony;
y
2
, v
2
i p
2
- odpowiednie wielkości odnoszące się
do płynu wychodzącego z rury z prawej strony.
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
gy
v
p
gy
v
p
ρ
ρ
ρ
ρ
+
+
=
+
+
const
gy
v
p
=
+
+
ρ
ρ
2
2
1
Równanie Bernoulliego:
15
Równanie Bernoulliego
Mechanika płynów
14.I.2012
• Równanie Bernoulliego dla płynu w spoczynku, v
1
= v
2
= 0
(
)
2
1
1
2
y
y
g
p
p
−
+
=
ρ
• Równanie Bernoulliego dla płynu, który w trakcie przepływu nie zmienia
połoŜenia w pionie (y jest stałe np. y = 0)
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
v
p
v
p
ρ
ρ
+
=
+
Jeśli przy przepływie wzdłuŜ poziomej linii prądu prędkość elementu płynu
wzrasta, to ciśnienie płynu maleje i na odwrót.
Równanie Bernoulliego stosuje się ściśle jedynie dla płynu doskonałego. Gdy
występują siły lepkości, nie wolno nam pominąć zmian energii termicznej płynu.
16
Równanie Bernoulliego
Mechanika płynów
14.I.2012
Wyprowadzenie
Zasada zachowania energii w postaci związku pracy ze zmianą energii kinetycznej:
k
E
W
∆
=
Zmiana energii kinetycznej jest wynikiem zmiany prędkości płynu między końcami
rury, a zatem wynosi:
(
)
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
v
v
V
mv
mv
E
k
−
∆
=
∆
−
∆
=
∆
ρ
Praca wykonana nad układem ma dwa źródła. Po pierwsze, siła cięŜkości
(
∆mg) wykonuje pracę W
g
nad płynem o masie
∆m, wznosząc go z poziomu
wejściowego na wyjściowy. Praca ta jest równa:
(
)
(
)
1
2
1
2
y
y
V
g
y
y
mg
W
g
−
∆
−
=
−
∆
−
=
ρ
Jest ona ujemna ze względu na przeciwne kierunki przemieszczenia płynu
(skierowanego w górę) i siły cięŜkości (skierowanej w dół).
17
Równanie Bernoulliego
Mechanika płynów
14.I.2012
Po drugie, praca jest teŜ wykonywana nad układem (na wejściowym końcu
rury), gdy płyn jest wtłaczany do rury, oraz przez układ (na wyjściowym końcu
rury), gdy płyn jest wypychany z rury. Całkiem ogólnie moŜemy powiedzieć,
Ŝ
e praca wykonana przez siłę o wartości F, działającą na próbkę płynu o polu
przekroju poprzecznego S, przy przemieszczeniu płynu na odległość ∆x, jest
równa
( )( ) ( )
V
p
x
S
p
x
pS
x
F
∆
=
∆
=
∆
=
∆
Praca wykonana nad układem jest zatem równa p
1
∆V, a praca wykonana przez
okład wynosi - p
2
∆V. Ich suma W
p
jest równa:
(
)
V
p
p
V
p
V
p
W
p
∆
−
−
=
∆
+
∆
−
=
1
2
1
2
Związek pracy ze zmianą energii kinetycznej:
k
p
g
E
W
W
W
∆
=
+
=
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
v
v
V
p
p
V
y
y
V
g
−
∆
=
−
∆
−
−
∆
−
ρ
ρ
18
Efekt Magnusa
Mechanika płynów
14.I.2012
19
Efekt Magnusa
Mechanika płynów
14.I.2012
20
Efekt Magnusa
Mechanika płynów
14.I.2012
21
Efekt Magnusa
Mechanika płynów
14.I.2012