2007-10-23

1

Podstawy analizy

Podstawy analizy

statystycznej

statystycznej

dla potrzeb

dla potrzeb

administracji publicznej

administracji publicznej

wykład 4

wykład 4

MIARY ZMIENNOŚCI

(zróżnicowania, dyspersji, rozproszenia)

A) KLASYCZNE

odchylenie przeciętne

odchylenie standardowe wyznaczane z wariancji

współczynniki zmienności oparte na odchyleniu przeciętnym
i standardowym

B) POZYCYJNE

rozstęp (empiryczny obszar zmienności)

odchylenie ćwiartkowe

współczynnik zmienności oparty na odchyleniu ćwiartkowym

MIARY ZMIENNOŚCI

A) ABSOLUTNE

odchylenie przeciętne

odchylenie standardowe wyznaczane z wariancji

odchylenie ćwiartkowe

rozstęp (empiryczny obszar zmienności)

B) WZGLĘDNE

współczynniki zmienności oparte na odchyleniu
przeciętnym, standardowym i ćwiartkowym

(

)

N

x

x

s

N

i

i

∑

=

−

=

1

2

2

(

)

(

)

∑

∑

=

=

−

=

−

=

k

i

i

i

k

i

i

i

w

x

x

N

n

x

x

s

1

2

1

2

2

Wariancja

(s

2

)

jest

średnią

arytmetyczną

z

kwadratów

odchyleń

poszczególnych wartości zmiennej od jej średniej arytmetycznej.

z szeregu
prostego

z szeregu
rozdzielczego
punktowego

z szeregu
rozdzielczego
przedziałowego

(

)

=

−

=

∑

=

N

n

x

x

s

k

i

i

i

1

2

2

o

(

)

∑

=

−

k

i

i

i

w

x

x

1

2

o

Odchylenie standardowe (s) jest to pierwiastek kwadratowy z wariancji.

2

s

s =

Odchylenie ćwiartkowe (Q) jest średnią rozpiętością dwóch
środkowych ćwiartek zbiorowości.

Rozstęp (R) jest różnicą między największą a najmniejszą
wartością zmiennej w badanej zbiorowości.

(

) (

)

2

2

1

3

1

3

Q

Q

Q

Me

Me

Q

Q

−

=

−

+

−

=

min

max

x

x

R

−

=

rozpiętość drugiej

ćwiartki

rozpiętość trzeciej

ćwiartki

Współczynnik zmienności (miara względna) jest ilorazem
absolutnej

miary

dyspersji

do

odpowiedniej

wartości

przeciętnej.

%

x

s

V

s

100

×

=

%

Me

Q

V

Q

100

×

=

Typowe obszary zmienności

s

x

x

s

x

typ

+

<

<

−

Q

Me

x

Q

Me

typ

+

<

<

−

Siła zróżnicowania:
(0%-30%> - zróżnicowanie słabe,
(30%-70%> - zróżnicowanie umiarkowane,
(70% -100%> - zróżnicowanie silne.

2007-10-23

2

Wyznaczanie miar zróżnicowania dla

Wyznaczanie miar zróżnicowania dla
szeregu rozdzielczego punktowego

szeregu rozdzielczego punktowego

x

=2,19

09

,

2

32

88

,

66

2

=

=

x

S

Wariancja:

xi

ni

(xi -

) (xi -

)^2 (xi -

)^2*ni

0

5

-2,19

4,79

23,93

1

5

-1,19

1,41

7,05

2

10

-0,19

0,04

0,35

3

5

0,81

0,66

3,30

4

5

1,81

3,29

16,43

5

2

2,81

7,91

15,82

suma

32

x

x

66,88

x

x

x

Odchylenie standardowe:

45

,

1

09

,

2

=

=

x

S

Dla

badanych

komputerów

liczba

napraw

odchyla

się

od

średniej

liczby

napraw

przeciętnie o

naprawy.

45

,

1

±

Odchylenie ćwiartkowe:

2

1

3

Q

Q

Q

x

−

=

1

1

=

Q

3

3

=

Q

1

2

1

3

=

−

=

x

Q

to

Dla komputerów stanowiących dwie środkowe
ćwiartki zbiorowości, liczba napraw odchyla się od
mediany liczby napraw, przeciętnie o naprawę.

1

±

Współczynnik zmienności (klasyczny):

100

x

S

V

x

x

=

19

,

2

=

x

45

,

1

=

x

S

%

66

100

19

,

2

45

,

1

=

=

x

V

Zróżnicowanie liczby napraw dla badanych komputerów jest dość
silne.

Współczynnik zmienności (pozycyjny):

100

'

x

x

x

M

Q

V =

1

=

x

Q

2

=

x

M

to

%

50

100

2

1

'

=

=

x

V

Int. Zróżnicowanie liczby napraw dla badanych
komputerów tworzących dwie środkowe ćwiartki
zbiorowości jest umiarkowane.

Klasyczny typowy obszar zmienności

(

)

x

x

S

x

S

x

+

−

;

19

,

2

=

x

45

,

1

=

x

S

(

)

45

,

1

19

,

2

;

45

,

1

19

,

2

+

−

(

)

63

,

3

;

74

,

0

Int. W przedziale tym znajdują się typowe liczby napraw
dla badanych komputerów, czyli liczby 1, 2, 3.

2007-10-23

3

Pozycyjny typowy obszar zmienności

(

)

x

x

x

x

Q

M

Q

M

+

−

;

(

)

1

2

;

1

2

+

−

(

)

3

;

1

Int. W przedziale tym znajdują się typowe liczby napraw
dla badanych komputerów stanowiących dwie środkowe
ćwiartki zbiorowości.

1

=

x

Q

2

=

x

M

1. Zróżnicowanie w dwóch środkowych
ćwiartkach zbiorowości mierzy:

a) wariancja

b) odchylenie ćwiartkowe

c) odchylenie standardowe

2. Odchylenie standardowe jest:

a) klasyczną miarą zróżnicowania

b) pozycyjną miarą zróżnicowania

c) bezwzględną miarą zróżnicowania

3. Analizie podlegają dochody własne dwóch
gmin. W pierwszej gminie otrzymano: średnią
równą 3000 tys. zł i odchylenie standardowe
równe 1500 tys. zł; w drugiej: średnią równą 2000
tys. zł i odchylenie standardowe równe 1200 tys.
zł.

a)

zróżnicowanie pierwszej gminy jest wyższe

niż drugiej,

b)

zróżnicowanie drugiej gminy jest wyższe

niż pierwszej,

c)

zróżnicowanie obu grup jest jednakowe.