Podstawy analizy statystycznej dla potrzeb

administracji publicznej

Wykład 5

Miary

asymetrii

służą

do

badania

kierunku

zróżnicowania wartości zmiennej

.

Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej
istotny jest nie tylko przeciętny poziom (miary
położenia) i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości
(miary

zróżnicowania),

ale

również

to,

czy

przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej,
czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy.
Problem ten wiąże się z oceną asymetrii (skośności)
rozkładu.

x

x

D

M

x





x

i

n

i

Rozkład symetryczny

Po tyle samo jednostek ma wartości większe

i mniejsze od poziomu średniego.

x

i

n

i

x

D

x

M

x

Rozkład o asymetrii prawostronnej

Większość jednostek ma wartości mniejsze od poziomu
średniego.

x

i

n

i

x

D

x

M

x

Większość jednostek ma wartości większe

od poziomu średniego.

Rozkład o asymetrii lewostronnej

Miary asymetrii (skośności)

Miary asymetrii (skośności)

Ocena asymetrii to rozstrzygnięcie czy
przeważająca liczba jednostek ma wartości
zmiennej powyżej czy poniżej średniej
arytmetycznej.

Rozkład symetryczny:

Rozkład o asymetrii dodatniej
(prawostronnej):

Rozkład o asymetrii ujemnej (lewostronnej):

D

Me

x





x

Me

D





D

Me

x





Wskaźniki asymetrii
(skośności)

D

x

W

__

sk







 



1

3

p

sk

Q

Me

Me

Q

W













N

x

x

W

N

1

i

3

i

3

k

sk













• mieszany

• klasyczny

• pozycyjny

Wskaźniki asymetrii
(skośności)

0

W

symetria

sk





dodatnia

asymetria

0

W

sk





ujemna

asymetria

0

W

sk





Są to bezwzględne miary asymetrii i określają
jedynie kierunek asymetrii:

Współczynniki asymetrii (skośności)

0









p

k

s

A

A

A

symetria

dodatnia

asymetria

A

,

A

,

A

p

k

s



 0

ujemna

asymetria

A

,

A

,

A

p

k

s



 0

s

D

x

A

__

s







 



Q

Q

Me

Me

Q

A

p

2

1

3









2

3

2

3

3

3











s

A

k

• mieszany

• klasyczny

• pozycyjny

Są to względne miary asymetrii (niemianowane) i
określają kierunek i siłę asymetrii, a zatem służą do
porównań asymetrii różnych rozkładów. Mamy:

Współczynniki asymetrii (skośności)

Siła asymetrii :
(0,00-0,30> - asymetria słaba,
(0,30-0,70> - asymetria umiarkowana,
(0,70 -1,00> - asymetria silna.

A

Wyznaczanie miar asymetrii dla szeregu

rozdzielczego punktowego

.

1

Q

,

42

,

1

s

,

3

Q

,

2

Q

,

1

Q

,

2

D

,

09

,

2

x

3

2

1















09

,

0

2

09

,

2

D

x

Wsk











Asymetria rozkładu
jest dodatnia, oznacza
to, że liczba napraw
większości
komputerów jest
mniejsza od średniej.

0

)

1

2

(

)

2

3

(

)

Q

Q

(

)

Q

Q

(

W

1

2

2

3

p

sk



















Rozkład jest symetryczny.

06

,

0

42

,

1

2

09

,

2

s

D

x

A











Siła asymetrii jest słaba.

Wyznaczanie miar asymetrii dla
szeregu rozdzielczo-
przedziałowego

•Współczynnik mieszany

x

x

s

S

D

x

A





75

86

,

164

88

,

246







x

x

D

S

y

04

,

1

86

,

164

75

88

,

246







s

A

Interpretacja: Asymetria prawostronna, bardzo silna.

Większość komputerów miała koszt napraw mniejszy od średniego
kosztu napraw.

Wyznaczanie miar asymetrii dla
szeregu rozdzielczo-przedziałowego
(c.d.)

•Współczynnik pozycyjny

1

3

3

1

2

Q

Q

M

Q

Q

A

x

Q









71

,

385

33

,

233

89

,

88

3

1







Q

M

Q

y

03

,

0

89

,

88

71

,

385

33

,

233

2

71

,

385

89

,

88













Q

A

Interpretacja:

Dla komputerów tworzących dwie środkowe ćwiartki zbiorowości koszt
napraw charakteryzuje się rozkładem o bardzo słabej asymetrii
prawostronnej.

24. Analizie podlegają subwencje ogólne przypadające na

1 mieszkańca w dwóch województwach. Otrzymano

następujące wyniki: w pierwszym województwie średnia

równa 70 zł/mieszk., dominanta równa 60 zł/mieszk.; w

drugim województwie średnia równa 40 zł/mieszk.,

dominanta równa 50 zł/mieszk.

a) subwencje ogólne na mieszkańca większości gmin

województwa 1 są większe od średniej,

b) subwencje ogólne na mieszkańca większości gmin

województwa 2 są większe od średniej,

c) subwencje ogólne na mieszkańca większości gmin

województwa 2 są mniejsze od średniej.

25. Otrzymano następujące wyniki: kwartyl

pierwszy równy 4, kwartyl drugi równy 5, a

trzeci równy 7. Wyniki te przedstawiają

rozkład:

a) symetryczny,
b) asymetryczny, dodatni,
c) asymetryczny, ujemny.

26. Otrzymano następujące wyniki: średnia

równa 4, dominanta równa 6, wariancja

równa 16. Wyniki te przedstawiają rozkład:

a) symetryczny,
b) ujemny, umiarkowanie asymetryczny,
c) ujemny o słabej asymetrii.