WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA

POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ

Zakład Teorii Maszyn i Robotów

Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV

Instrukcja do ćwiczenie nr 7A

Wyznaczanie transmitancji widmowej na podstawie danej

charakterystyki skokowej

2

Wstęp

Właściwości dynamiczne liniowych układów o stałych skupionych można określić

m.in. na podstawie odpowiednich charakterystyk

zarówno w dziedzinie czasu jak też

dziedzinie częstotliwości. W pierwszym przypadku często wykorzystuje się charakterystyki
impulsową i skokową natomiast w drugim, charakterystyki częstotliwościowe (np. wykresy

Nyquista lub Bodego)

. Znajomość transmitancji operatorowej układu a co za tym idzie

transmitancji widmowej pozwala na wyznaczenie obu typów charakterystyk. W

związku z

tym

zachodzą również możliwości:

•

wyznaczania transmitancji widmowej układu na podstawie charakterystyki skokowej

• wyznaczania charakterystyki skokowej na podstawie transmitancji widmowej

układu.

;

Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania transmitancji

widmowej układu na podstawie zdjętej doświadczalnie charakterystyki skokowej

.

Podstawy teoretyczne

Jeżeli znana jest charakterystyka impulsowa g(t) układu, będąca odpowiedzią na

impuls Diraca

δ

(t), to na jej podstaw

ie można wyznaczyć transmitancję widmową układu

G(

jω)=P(ω)+jQ(ω) z zależności:

dt

e

t

g

j

G

t

j

ω

ω

−

∞

⋅

=

∫

0

)

(

)

(

(7A.1)

Związek (7A.1) wynika z faktu, że charakterystyka impulsowa układu liniowego jest
oryginałem transmitancji operatorowej tego układu.

Z uwagi n

a to, że w praktyce nie można ściśle zrealizować wymuszenia

δ

(t),

często

stosuje się odpowiedź skokową h(t) układu do oceny jego właściwości dynamicznych.
Charakterystyka skokowa jest łatwa w realizacji doświadczalnej a jej pochodna pierwszego
rzędu względem czasu jest równa charakterystyce impulsowej:

)

(

)

(

t

h

dt

d

t

g

=

dla h(0)=0

(7A.2)

W związku z tym równanie (7A.1) można zapisać w postaci:

dt

e

t

h

dt

d

j

G

t

j

ω

ω

−

∞

⋅









=

∫

0

)

(

)

(

(7A.3)

Je

śli charakterystyka h(t) nie jest podana w postaci analitycznej, lecz graficznej (np.

została zdjęta doświadczalnie), wtedy transmitancję widmową układu można wyznaczyć w

3

sposób uproszczony. W tym celu dokonuje się aproksymacji uzyskanej krzywej za pomocą
linii łamanej (Rys. 7A.1).

Rys. 7A.1. Zasada aproksymacji charakterystyki skokowej h(t)

P

rzybliżoną wartość pochodnej funkcji h(t) dla każdego przedziału aproksymacji określa

iloraz różnicowy w przód:

1

1

−

−

−

−

=

k

k

k

k

k

t

t

h

h

B

;

dla k=1,2,…,n ,

(7A.4)

(

gdzie wielkości h

k

i t

k

Zależność 7A.4 ma również zastosowanie w przypadku ćwiczenia, gdy

charakterystykę skokową rejestruje się przy użyciu przetwornika analogowo-cyfrowego

(A/C). W

ielkości h

oznaczają współrzędne k-tego punktu załamania, natomiast n jest

liczbą odcinków linii łamanej).

k

i t

k

oznaczają wtedy współrzędne k-tego punktu pomiarowego a

interwały (t

k

-t

k-1

Po uwzględnieniu (7A.4) wyrażenie na transmitancję widmową przyjmie postać:

)

są równe okresowi próbkowania przetwornika

∆

t.

)

(

)

(

1

1

1

1

−

−

−

−

=

−

=

−

=

=

∑

∫

∑

k

k

k

k

t

j

t

j

n

k

k

t

t

t

j

n

k

k

e

e

jB

dt

e

B

j

G

ω

ω

ω

ω

ω

(7A.5)

Po przekształceniach szukaną transmitancję widmową można zapisać w dogodnej formie do
wykreślenia charakterystyki amplitudowo-fazowej (A-F):

∑

=

−

−

=

n

k

k

k

k

t

t

B

P

1

1

)

sin

(sin

1

)

(

ω

ω

ω

ω

(7A.6)

∑

=

−

−

=

n

k

k

k

k

t

t

B

Q

1

1

)

cos

(cos

1

)

(

ω

ω

ω

ω

4

Przebieg ćwiczenia

Ćwiczenie laboratoryjne nr 7A stanowi uzupełnienie i kontynuację ćwiczenia nr 7

„

Badanie charakterystyk częstotliwościowych i przebiegów nieustalonych podstawowych

członów automatyki”. Zakłada się, że studenci wykonali wcześniej ćwiczenie nr 7 i znają

sposób pomiaru charakterystyk A-

F czwórników RLC przy użyciu analizatora transmitancji.

Część pomiarowa ćwiczenia obejmuje:

• Pomiary (analizatorem transmitancji) charakterystyk A-F wskazanych przez asystenta

czwórników;

• Zarejestrowanie odpowiedzi skokowych badanych elementów

przy użyciu

przetwornika A/C (karta: PCL-812 lub PCL18)

obsługiwanego przez program

SCOPE.

Rejestracja

charakterystyk skokowych przy użyciu programu SCOPE:

1.

Uruchomić mikrokomputer PC w trybie DOS, (Boot Partition 4);

2. Ur

uchomić program SCOPE z dysku C, (C:\cd scope);

3.

Ustawić parametry przetwornika A/C wg wskazań asystenta;

4.

Zadeklarować nazwę pliku, do którego zostanie zapisana odpowiedź na sygnał

wymuszenia (opcja File



Save,

przykładowa nazwa pomiar1)

5.

Połączyć wejście badanego czwórnika z generatorem sygnału fali prostokątnej;

6.

Połączyć wyjście badanego czwórnika z wejściem przetwornika A/C;

7.

Zarejestrować przebieg odpowiedzi na sygnał wymuszenia (opcja RUN). W tym celu
należy tak dobrać amplitudę i częstotliwość sygnału fali prostokątnej oraz nastawy

programu SCOPE, aby uzyskany na monitorze wykres

zawierał fragment

odpowiadający poszukiwanej charakterystyce skokowej.

Na rysunku

7A.2 pokazano przykładowy przebieg zarejestrowanego sygnału

wyjściowego z elementu oscylacyjnego.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Rys. 7A.2.

Odpowiedź elementu oscylacyjnego na wymuszenie sygnałem fali prostokątnej.

Ts

5

8.

Zapisać do pliku uzyskany przebieg, wciskając klawisz funkcyjny F2. Jeżeli nie

zadeklarowano inaczej, to plik zostanie zapisany w katalogu C:\SCOPE (pod

wprowadzoną w pkt. 4. nazwą z dodanym automatyczne rozszerzeniem dat)

9.

Skonwertować zapisany plik (pomiar1.dat) do formatu ASCII real - opcja

File



Convert



ascii Real. Po udanej operacji

zostaje wyświetlona nazwa

skonwertowanego pliku z nowym rozszerzeniem (pomiar1.rel). Plik ten

należy

skopiować na dyskietkę używając komendy DOS, copy pomiary1.rel A:\

Opracowanie wyników pomiarów

Zapisana w skonwertowanym pliku

odpowiedź badanego elementu na wymuszenie

sygnałem fali prostokątnej zawiera nagłówek oraz kolumnę liczb odpowiadających
wartościom przebiegu w równoodległych odstępach czasu

∆

t.

W

przykładowym nagłówku (patrz ramka poniżej) znajdują się informacje o

parametrach

zarejestrowanego przebiegu i użytego przetwornika A/C. Wartość częstotliwości

próbkowania f

p

("SAMPLING RATE PER CHANNEL: 25KHz")

określa potrzebny do

obliczeń okres próbkowania

∆

t=1/f

p

.

W celu obliczenia poszukiwanej charakterystyki A-

F należy wcześniej wyznaczyć

znormalizowaną odpowiedź skokową, rozważając tylko fragment zapisanego przebiegu,

ograniczonego czasem

osiągnięcia wartości ustalonej T

s

(Rys. 7A.2).

Kolejność postępowania

1. O

kreślić okres próbkowania

∆

t

na podstawie nagłówka;

:

2.

Korzystając z dowolnego edytora tekstu należy usunąć z pliku nagłówek oraz liczby z

kolumny danych

niedotyczące przedziału czasu T

s

. Zapisać plik pod nową nazwą.

"======THIS DATA FILE IS CREATED BY PC-SCOPE ======"

"FILE NAME : INER1.REL "

"DATA FORMAT : ASCII FILE "

"CARD TYPE : PCL-812 "

"START CHANNEL : 0 "

"STOP CHANNEL : 0 "

"TOTAL CHANNELS : 1 "

"VOLTAGE RANGE : -10 V ---> +10 V "

"SAMPLING RATE PER CHANNEL : 25KHz "

"DATE : 20 DEC. 2005"

"TIME : 21:36:39.59"

"DATA"

"CH. 1"

"================================================"

6

3.

Unormować (przeskalować) przebieg w ten sposób, aby wartość ustalona h(t) była

równa jeden, natomiast h(0)=0

4.

Wykonać wykres unormowanej charakterystyki skokowej w celu sprawdzenia
poprawności wykonania powyższych operacji;

5.

Korzystając z zależności (7A.4) oraz (7A.6) obliczyć składowe transmitancji

widmowej P(

ω) oraz Q(ω) w zakresie pulsacji ω∈(0, 2π10

4

);

Przedstawiony powyżej schemat obliczeń wymaga zautomatyzowania. W tym celu zaleca się

zastosowanie programu Matlab lub MS Excel.

Uwaga:

Sprawozdanie

Sprawozdanie powinno zawierać:

• opis pr

zebiegu ćwiczenia;

•

wyniki pomiarów i obliczeń;

• wykresy zmierzonych charakterystyk;
• porównanie na jednym rysunku dwóch charakterystyk amplitudowo-fazowych

badanego elementu: zmierzonej miernikiem transmitancji oraz uzyskanej

z obliczeń;

•

dyskusję wpływu częstotliwości próbkowania sygnału odpowiedzi skokowej na
dokładność odtworzenia charakterystyki A-F;

• wnioski.