WYZNACZENIE CZĘSTOŚCI GENERATORA NA PODSTAWIE OBSERWACJI DUDNIEŃ I KRZYWYCH LISSAJOUS

Pytania kontrolne:

• Równanie opisujące drganie harmoniczne proste

x = Acos(ω₀+α) lub   x = Asin(ω₀+α)

gdzie:

x – wychylenie punktu - odległość x drgającego punktu od położenia równowagi

A - ampituda

ω₀+α - faza drgań

α - faza początkowa

ω₀ - częstotliwość kątowa

• Omówić zasadę pomiaru okresu i częstotliwość napięcia zmiennego za pomocą oscyloskopu

Bezpośredni pomiar: na ekranie oscyloskopu możemy zauważyć zmiany napięcia w postaci wykresy:

x – T (zmiana napięcia w funkcji czasu)

aby wyliczyć okres T₁=LT

(wartość podstawy czasu oraz odległość pomiędzy maksimami sygnału pochodzącego z generatora)

częstotliwość obliczamy ze wzoru: $\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$

natomiast częstość: $\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= 2}\mathbf{\pi}\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$

Krzywe Lissajous: oscyloskop pracuje w trybie X-Y obraz tworzony jest przez dwa zewnętrzne sygnały (generator G₁ oraz wzorcowy G₂)

dzięki temu uzyskujemy na ekranie obraz elipsy, tym sposobem możemy mierzyć przesunięcie fazowe, oraz częstotliwość z wykorzystaniem figur Lissajousa.

Częstość sygnału badanego generatora: $\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 2}\mathbf{\pi}\mathbf{f}_{\mathbf{1}}$

Częstotliwość: $\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}\mathbf{f}_{\mathbf{2}}$

Dudnienia: z obrazu dudnień odczytujemy okres wypadkowy T_w oraz okres dudnień T_d

Z tego wyznaczmy liczbę n drgań fali wypadkowej przypadającej na jeden okres dudnień:

$$\mathbf{n = \ }\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}\mathbf{T}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

Wyznaczmy częstość:

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁<ω₂

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁>ω₂

• Powstanie i cechy charakterystyczne dudnień:

Dudnienia powstają podczas nakładania się fal o tej samej amplitudzie i niewiele różniących się częstotliwościach – prowadzi to do powstania wypadkowych drgań o amplitudzie okresowej zmiennej w czasie

y =  y₁+ y₂=y_nsin(2πf₁t)+sin(2πf₂t)

Amplituda drgań okresowych jest zależna okresowo od czasu, zmian się z częstotliwością

$$\mathbf{f}_{\mathbf{\text{AM}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{f}_{\mathbf{1}}\mathbf{- \ }\mathbf{f}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$

Dudnienie jest wynikiem super pozycji drgań, które odbywają się w tym samym kierunku, a początkowa faza drgań jest równa 0.

• Zasada wyznaczania częstości generatora na podstawie obserwacji dudnień

Obserwacja dudnień umożliwia wyznaczenie stosunku składowych częstości. Jeżeli w czasie równym okresowi dudnień T_d mieści się n drgań o częstości f₁ wówczas:

częstość wynosi: ω₁=2πf₁

Do wyznaczenia częstości potrzebne są 2 generatory (generator G₁ oraz wzorcowy G₂), oraz włączona podstawa czasu. Z ekranu odczytujemy okres wypadkowy T_w oraz okres dudnień T_d

mierzymy dla: ω₁<ω₂ oraz ω₁>ω₂

na ich podstawie określamy liczbę n drgań fali wypadkowej przypadającej na jeden okres dudnień:

$$\mathbf{n = \ }\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}\mathbf{T}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}\mathbf{T}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{w}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

Wyznaczmy częstość:

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁<ω₂

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{n + 1}}{\mathbf{2}\mathbf{n - 1}}\mathbf{\ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{2}}$ gdy ω₁>ω₂

• Powstawanie i cechy charakterystyczne krzywych Lissajous

Złożenie drgań harmonicznych o różnych pulsacjach daje w wyniku skomplikowane krzywe, zwane krzywymi Lissajous.

Ruch fal zachodzi w kierunku X, Y, do siebie prostopadłym, jest on okresowy tylko w przypadku, kiedy stosunek częstości składowych równy jest stosunkowi liczb całkowitych.

Kształt ich zależy od amplitudy, częstotliwości oraz różnicy faz drgań składowych.

Dla każdej zaobserwowanej krzywej wyznaczamy liczbę przecięć N_x krzywej Lissajous z osią poziomą oraz liczbę przecięć N_y krzywej Lissajous z osią pionową. Wyznaczamy częstość ω₁ sygnału badanego generatora:

$$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}$$

• Zasada wyznaczania częstości generatora na podstawie obserwacji krzywych Lissajous

Dla każdej zaobserwowanej krzywej wyznaczamy liczbę przecięć N_x krzywej Lissajous z osią poziomą oraz liczbę przecięć N_y krzywej Lissajous z osią pionową. Wyznaczamy częstość ω₁ sygnału badanego generatora:

$$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{N}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{x}}}$$