Ćwiczenia nr 8, 9 (RPiS) 

Zad.  1.  Prawdopodobieostwo,  że  produkt  poddany  próbie  wytrzymałości  nie  wytrzyma  tej  próby 
wynosi  0,01.  Stosując  przybliżenie  rozkładu  dwumianowego  rozkładem  Poissona,  obliczyd 
prawdopodobieostwo, że wśród 200 produktów co najwyżej 2 nie wytrzymają próby wytrzymałości. 

Zad. 2. Wyznaczyd dystrybuantę i gęstośd zmiennej losowej  Y , jeśli: 

a) 

X

e

Y





 i 

)

1

(

~ Exp

X

, b) 

X

e

Y



 i 

 

1

,

0

~ N

X

, c) 

2

X

Y



 i 

 

1

,

0

~ N

X

. 

Zad.  3.  Dwuwymiarowa  zmienna  losowa 





Y

X ,

  ma  rozkład  prawdopodobieostwa  określony 

następująco: 





2

,

0

1

,

1







Y

X

P

, 





3

,

0

2

,

1







Y

X

P

, 





4

,

0

1

,

3







Y

X

P

, 





1

,

0

2

,

3







Y

X

P

. 

Wykonad następujące polecenia: 
a) zapisad rozkład 





Y

X ,

 w tabeli, 

b) wyznaczyd rozkłady brzegowe (czyli rozkłady zmiennych losowych  X , Y ), 
c) zbadad, czy zmienne losowe  X  i Y  są niezależne, 
d) wyznaczyd 





 

2

,

2

,Y

X

F

, gdzie 





Y

X

F

,

 oznacza dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej 





Y

X ,

. 

Zad.  4.  Dana  jest  funkcja 

 



























. 

p.p

  

w

,

0

,

1

0

 

,

1

0

gdy 

,

2

,

2

2

y

x

xy

y

x

xy

c

y

x

f

  Wykonad 

następujące polecenia: 
a)  znaleźd  wartośd  c , dla której funkcja  f   jest zmienną losową  pewnej dwuwymiarowej  zmiennej 

losowej 





Y

X ,

, 

b) zbadad, czy zmienne losowe  X  i  Y  są niezależne. 

Zad. 5. Niech 





Y

X ,

 ma rozkład o gęstości 





















.

 

p.p

 

w

,

0

,

1

 

0,

y

,

gdy 

,

8

,

2

2

y

x

x

xy

y

x

f

 Obliczyd: 

a)  EX , b) 

 

2

XY

E

. 

Zad. 6. Zmienna losowa 





Y

X ,

 ma rozkład o gęstości 

 



















. 

p.p

  

w

,

0

,

2

0

 ,

1

0

gdy 

,

1

,

x

y

x

y

x

f

 Obliczyd: 

a) 

X

D

2

, b)  EY .