Ćwiczenia nr 8, 9 (RPiS)

Zad. 1. Prawdopodobieostwo, że produkt poddany próbie wytrzymałości nie wytrzyma tej próby
wynosi 0,01. Stosując przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona, obliczyd
prawdopodobieostwo, że wśród 200 produktów co najwyżej 2 nie wytrzymają próby wytrzymałości.

Zad. 2. Wyznaczyd dystrybuantę i gęstośd zmiennej losowej Y , jeśli:

a)

X

e

Y





i

)

1

(

~ Exp

X

, b)

X

e

Y



i

 

1

,

0

~ N

X

, c)

2

X

Y



i

 

1

,

0

~ N

X

.

Zad. 3. Dwuwymiarowa zmienna losowa





Y

X ,

ma rozkład prawdopodobieostwa określony

następująco:





2

,

0

1

,

1







Y

X

P

,





3

,

0

2

,

1







Y

X

P

,





4

,

0

1

,

3







Y

X

P

,





1

,

0

2

,

3







Y

X

P

.

Wykonad następujące polecenia:
a) zapisad rozkład





Y

X ,

w tabeli,

b) wyznaczyd rozkłady brzegowe (czyli rozkłady zmiennych losowych X , Y ),
c) zbadad, czy zmienne losowe X i Y są niezależne,
d) wyznaczyd





 

2

,

2

,Y

X

F

, gdzie





Y

X

F

,

oznacza dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej





Y

X ,

.

Zad. 4. Dana jest funkcja

 



























.

p.p

w

,

0

,

1

0

,

1

0

gdy

,

2

,

2

2

y

x

xy

y

x

xy

c

y

x

f

Wykonad

następujące polecenia:
a) znaleźd wartośd c , dla której funkcja f jest zmienną losową pewnej dwuwymiarowej zmiennej

losowej





Y

X ,

,

b) zbadad, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zad. 5. Niech





Y

X ,

ma rozkład o gęstości





















.

p.p

w

,

0

,

1

0,

y

,

gdy

,

8

,

2

2

y

x

x

xy

y

x

f

Obliczyd:

a) EX , b)

 

2

XY

E

.

Zad. 6. Zmienna losowa





Y

X ,

ma rozkład o gęstości

 



















.

p.p

w

,

0

,

2

0

,

1

0

gdy

,

1

,

x

y

x

y

x

f

Obliczyd:

a)

X

D

2

, b) EY .