Ćwiczenia nr 6 (RPiS) 

Zad. 1. Wyznaczyd  c , dla której funkcja  f , dana wzorem: a)

 

x

ce

x

f





, b) 

 

 

x

I

cx

x

f

2

,

0

2



, jest 

gęstością zmiennej losowej. 

Zad.  2.  Zmienna  losowa  X   ma  rozkład  o  gęstości 

 
























 tym.

poza

,

0

,

2

1

gdy   

,

2

,

1

0

gdy   

,

x

x

x

x

x

f

Wyznaczyd: 

a)  dystrybuantę  zmiennej  losowej  X ,  b) 





2

,

1



X

P

,  c)  prawdopodobieostwo  zdarzenia,  że 

w dwóch  niezależnych  doświadczeniach  co  najmniej  raz  zmienna  losowa  X   przyjmie  wartośd 
z przedziału 

2

,

1

. 

Zad.  3.  Wyznaczyd 





2

1





X

P

,  gdy  X   ma  rozkład  wykładniczy  z  parametrem  1  (tzn.,  rozkład 

o gęstości 

 





 

x

I

e

x

f

x







,

0

). 

Zad.  4.  Zmienna  losowa  X   ma  rozkład  o  gęstości 

 

























.

1

,

1

gdy 

,

0

,

1

0,

gdy   

,

,

,0

1

-

gdy   

/2,

1

x

x

x

x

x

f

  Obliczyd 

prawdopodobieostwo, że 

8

5

8

1





X

 lub 

2

1

1





X

. 

Zad.  5.  Ustalid,  czy  funkcja 

 





































,

1

gdy   

,

1

,

1

0,

gdy   

,

,

0

,

gdy   

,

0

2

t

t

t

t

t

F

  jest  dystrybuantą  zmiennej  losowej  typu 

ciągłego. Jeśli tak, to wyznaczyd gęstośd rozkładu tej zmiennej losowej. 

Zad. 6. Dana jest funkcja 

 




































 









.

,

gdy   

,

1

,

1

gdy   

,

1

1

2

,

1

,

gdy   

,

0

c

t

c

t

t

t

t

F

. Wykonad następujące polecenia: 

a) wyznaczyd stałą  c , dla której  F  jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej  X  typu ciągłego, 
b) obliczyd 





2

/

3

1







X

P

. 

Zad. 7. Wyznaczyd wartośd oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej  X , jeśli: 
a)  X  ma rozkład postaci 

i

x

 

1



 

2

 

3

 





i

i

x

X

P

p





 

2

,

0

 

5

,

0

 

3

,

0

 

b)  X  jest zmienną losową z zad. 2.