Ćwiczenia nr 6 (RPiS)

Zad. 1. Wyznaczyd c , dla której funkcja f , dana wzorem: a)

 

x

ce

x

f





, b)

 

 

x

I

cx

x

f

2

,

0

2



, jest

gęstością zmiennej losowej.

Zad. 2. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 
























tym.

poza

,

0

,

2

1

gdy

,

2

,

1

0

gdy

,

x

x

x

x

x

f

Wyznaczyd:

a) dystrybuantę zmiennej losowej X , b)





2

,

1



X

P

, c) prawdopodobieostwo zdarzenia, że

w dwóch niezależnych doświadczeniach co najmniej raz zmienna losowa X przyjmie wartośd
z przedziału

2

,

1

.

Zad. 3. Wyznaczyd





2

1





X

P

, gdy X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1 (tzn., rozkład

o gęstości

 





 

x

I

e

x

f

x







,

0

).

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 

























.

1

,

1

gdy

,

0

,

1

0,

gdy

,

,

,0

1

-

gdy

/2,

1

x

x

x

x

x

f

Obliczyd

prawdopodobieostwo, że

8

5

8

1





X

lub

2

1

1





X

.

Zad. 5. Ustalid, czy funkcja

 





































,

1

gdy

,

1

,

1

0,

gdy

,

,

0

,

gdy

,

0

2

t

t

t

t

t

F

jest dystrybuantą zmiennej losowej typu

ciągłego. Jeśli tak, to wyznaczyd gęstośd rozkładu tej zmiennej losowej.

Zad. 6. Dana jest funkcja

 




































 









.

,

gdy

,

1

,

1

gdy

,

1

1

2

,

1

,

gdy

,

0

c

t

c

t

t

t

t

F

. Wykonad następujące polecenia:

a) wyznaczyd stałą c , dla której F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X typu ciągłego,
b) obliczyd





2

/

3

1







X

P

.

Zad. 7. Wyznaczyd wartośd oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X , jeśli:
a) X ma rozkład postaci

i

x

1



2

3





i

i

x

X

P

p





2

,

0

5

,

0

3

,

0

b) X jest zmienną losową z zad. 2.