Matematyka A, kolokwium, 21 stycznia 2007, 17:20 — 19:15

Rozwiazania r´

o˙znych zada´

n maja znale´

z´

c sie na r´

o˙znych kartkach, bo sprawdza´

c je beda r´

o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem piszacego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´

cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadzacej ´

cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urzadze´

n elek-

tronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza by´

c schowane i wy laczone! Nie dotyczy rozrusznik´

ow serca.

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie na twierdzenia, kt´

ore zo-

sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Nale˙zy przeczyta´c





zadanie

 



rozpoczeciem rozwiazywania go!

1. (1 pt.)

Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji sin x w punkcie p = 0 .

(2 pt.)

Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji tg x w punkcie p = 0 .

(1 pt.)

Znale´z´c pierwszy wielomian Taylora funkcji

√

1 + x w punkcie p = 0 .

(6 pt.)

Znale´z´c granice lim

x→

0

3

√

tg x − sin x

√

1 + x − 1

.

2. (5 pt.)

Znale´z´c taka liczbe a ∈



, ˙ze granica b = lim

x→∞

x

−

2 x

4

+2x

3

+3x

2

+4x+5

6+7x+8x

2

− ax

2

jest

sko´

nczona oraz

(5 pt.)

granice lim

x→∞

x

4

+2x

3

+3x

2

+4x+5

6+7x+8x

2

− ax

2

− bx

.

3. (5 pt.)

Znale´z´c najmniejsza taka liczbe L , ˙ze nier´

owno´s´c




√

9 + x

2

−

p9 + y

2




≤ L|x−y|

zachodzi dla wszystkich x, y ≥ 4 .

(5 pt.)

Znale´z´c najwieksza taka liczbe ` , ˙ze nier´

owno´s´c `|x − y| ≤




√

9 + x

2

−

p9 + y

2




zachodzi dla wszystkich x, y ≥ 4 .

4. Niech f (x) = (x − 4)

3

px

2

(x − 12)

4

. Wiadomo, ˙ze f

0

(x) = (x − 8)(3x − 4)

3

q

x−

12

x

dla x 6= 0 oraz

f

00

(x) =

2(x−4)(3x

2

−

32x−16)

3

√

x

4

(x−12)

2

dla x /

∈ {0, 12}

(3 pt.)

Czy istnieja f

0

(0) , f

00

(0) i f

00

(12) ? Odpowied´z nale˙zy uzasadni´c.

(4 pt.)

Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja f jest ´sci´sle rosnaca, na kt´

orych jest ´sci´sle

malejaca i wszystkie lokalne ekstrema funkcji f .

(4 pt.)

Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja f jest ´sci´sle wypuk la, na kt´

orych jest ´sci´sle

wkles la i wszystkie punkty przegiecia funkcji f .

(4 pt.)

Korzystajac z uzyskanych rezultat´

ow naszkicowa´c wykres funkcji f .

5. Niech f (x) = x

1 + ln(2 + x) − ln 2 − (x + 1) ln(x + 1) .

(1 pt.)

Obliczy´c f (0) .

(3 pt.)

Obliczy´c f

0

(x) .

(6 pt.)

Udowodni´c, ˙ze dla dowolnej liczby x > 0 zachodzi nier´

owno´s´c

x

1 − ln 2 + ln(1 + x) > (x + 1) ln(x + 1) .

Ciekawostki

kolejnymi pochodnymi funkcji tangens w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , 2 , 0 , 16 , 0 , 272 , . . . ,

kolejnymi pochodnymi funkcji sinus w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , −1 , 0 , 1 , 0 , −1 , . . .
kolejnymi pochodnymi funkcji ln w punkcie 1 sa liczby: 1 , −1 , 2 , −6 , 24 , −120 , 720 , . . .

kolejnymi pochodnymi funkcji x

a

w punkcie 1 sa liczby: a , a(a − 1) , a(a − 1)(a − 2) , . . .