Matematyka A, kolokwium, 21 stycznia 2007, 17:20 — 19:15
Rozwiazania r´
o˙znych zada´
n maja znale´
z´
c sie na r´
o˙znych kartkach, bo sprawdza´
c je beda r´
o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´
c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem piszacego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´
cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadzacej ´
cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urzadze´
n elek-
tronicznych; je´
sli kto´
s ma, musza by´
c schowane i wy laczone! Nie dotyczy rozrusznik´
ow serca.
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie na twierdzenia, kt´
ore zo-
sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Nale˙zy przeczyta´c
zadanie
rozpoczeciem rozwiazywania go!
1. (1 pt.)
Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji sin x w punkcie p = 0 .
(2 pt.)
Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji tg x w punkcie p = 0 .
(1 pt.)
Znale´z´c pierwszy wielomian Taylora funkcji
√
1 + x w punkcie p = 0 .
(6 pt.)
Znale´z´c granice lim
x→
0
3
√
tg x − sin x
√
1 + x − 1
.
2. (5 pt.)
Znale´z´c taka liczbe a ∈
, ˙ze granica b = lim
x→∞
x
−
2 x
4
+2x
3
+3x
2
+4x+5
6+7x+8x
2
− ax
2
jest
sko´
nczona oraz
(5 pt.)
granice lim
x→∞
x
4
+2x
3
+3x
2
+4x+5
6+7x+8x
2
− ax
2
− bx
.
3. (5 pt.)
Znale´z´c najmniejsza taka liczbe L , ˙ze nier´
owno´s´c
√
9 + x
2
−
p9 + y
2
≤ L|x−y|
zachodzi dla wszystkich x, y ≥ 4 .
(5 pt.)
Znale´z´c najwieksza taka liczbe ` , ˙ze nier´
owno´s´c `|x − y| ≤
√
9 + x
2
−
p9 + y
2
zachodzi dla wszystkich x, y ≥ 4 .
4. Niech f (x) = (x − 4)
3
px
2
(x − 12)
4
. Wiadomo, ˙ze f
0
(x) = (x − 8)(3x − 4)
3
q
x−
12
x
dla x 6= 0 oraz
f
00
(x) =
2(x−4)(3x
2
−
32x−16)
3
√
x
4
(x−12)
2
dla x /
∈ {0, 12}
(3 pt.)
Czy istnieja f
0
(0) , f
00
(0) i f
00
(12) ? Odpowied´z nale˙zy uzasadni´c.
(4 pt.)
Znale´z´c przedzia ly, na kt´
orych funkcja f jest ´sci´sle rosnaca, na kt´
orych jest ´sci´sle
malejaca i wszystkie lokalne ekstrema funkcji f .
(4 pt.)
Znale´z´c przedzia ly, na kt´
orych funkcja f jest ´sci´sle wypuk la, na kt´
orych jest ´sci´sle
wkles la i wszystkie punkty przegiecia funkcji f .
(4 pt.)
Korzystajac z uzyskanych rezultat´
ow naszkicowa´c wykres funkcji f .
5. Niech f (x) = x
1 + ln(2 + x) − ln 2 − (x + 1) ln(x + 1) .
(1 pt.)
Obliczy´c f (0) .
(3 pt.)
Obliczy´c f
0
(x) .
(6 pt.)
Udowodni´c, ˙ze dla dowolnej liczby x > 0 zachodzi nier´
owno´s´c
x
1 − ln 2 + ln(1 + x) > (x + 1) ln(x + 1) .
Ciekawostki
kolejnymi pochodnymi funkcji tangens w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , 2 , 0 , 16 , 0 , 272 , . . . ,
kolejnymi pochodnymi funkcji sinus w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , −1 , 0 , 1 , 0 , −1 , . . .
kolejnymi pochodnymi funkcji ln w punkcie 1 sa liczby: 1 , −1 , 2 , −6 , 24 , −120 , 720 , . . .
