Zadania do projektu 2

1. Masy i współrzędne czterech punktów materialnych są następujące:
m

1

= 5 kg

x

1

= y

1

= 0 cm

m

2

= 3 kg

x

2

= y

2

= 8 cm

m

3

= 2 kg

x

3

= 3 cm; y

3

= 0 cm

m

4

= 6 kg

x

4

= - 2 cm; y

4

= -6 cm

Proszę znaleźć współrzędne środka masy tej grupy punktów materialnych.

2. Kulka ołowiana o masie m

1

= 500 g, która porusza się z prędkością v

1

= 10 m/s,

zderza się z nieruchomą kulką woskową o masie m

2

= 200g, następnie obie kulki

poruszają się razem. Jaka jest energia kinetyczna kulek po zderzeniu?

3. Cztery jednakowe ciała o równych masach m = 20 g leżą na prostej w pewnych

odstępach od siebie. W skrajne ciało uderza takie samo ciało, które porusza się z
prędkością v

0

= 10 m/s wzdłuż prostej, na której rozłożone są ciała. Jaka jest energia

kinetyczna układu ciał, jeśli zderzenie jest niesprężyste.

4. Pręt o długości L = 1 m i o ciężarze P = 15 N jednym końcem jest przymocowany

na zawiasie do sufitu. pręt jest utrzymywany w położeniu odchylonym za pomocą
sznura pionowego przywiązanego do swobodnego końca pręta. Jakie jest naprężenie
T sznura, jeśli środek ciężkości pręta znajduje się w odległości s = 0.4 m od
zawiasu.

5. Pręt jednorodny z przymocowanym na jednym z jego końców ciężarem o masie m

znajduje się w równowadze w położeniu poziomym, jeśli jest podparty w odległości
1/5 swojej długości od ciężaru. Ile wynosi masa pręta M?

6. Jaka siła grawitacyjna działa na kosmonautę o masie 60 kg znajdującego się na

orbicie o promieniu dwukrotnie większym od promienia Ziemi?

7. Jeśli siła przyciągania między dwoma kulami wzrosła 16 razy to jak zmieniła się

odległość między nimi?

8. Jaki jest moment bezwładności trójkąta o podstawie a i wysokości h oraz gęstości

powierzchniowej

σ

:

a). względem podstawy jako osi
b). względem osi przechodzącej przez wierzchołek A równolegle do podstawy a.

Dzielimy trójkąt na paski i rozpatrujemy dowolny pasek o długości b i grubości dx odległy od
podstawy trójkąta o x.

Masa

dm =

σ

ds =

σ

bdx

Dla trójkąta obowiązuje nastpująca zależność:

b/a =(h-x)/h stąd b = a(h-x)/h

dm =

σ

(a(h-x)/h)dx

Moment bezwładności trójkąta: I =

3

4

3

3

2

0

2

2

12

1

)

4

3

1

(

)

(

ah

h

x

x

a

dx

h

x

x

a

dx

x

h

x

h

a

I

dm

x

I

h

m

σ

σ

σ

σ

=

−

=

−

=

−

=

=

∫

∫

∫

b)
Odległość paska od osi obrotu wynosi x.
Z rysunku: b/a = x/h
b = ax/h

Masa

dm =

σ

ds =

σ

bdx =

σ

(ax/h)dx

Moment bezwładności:

∫

∫

=

=

h

m

dx

x

h

a

I

dm

x

I

0

3

2

σ

9. Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby blok o masie M i o kształcie sześcianu

(długość krawędzi a) przewrócić na drugi bok?

a

b

dx

h-x

h

x

oś

10. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi

pionowej przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o
masie m. Obliczyć prędkość kątową tarczy

ω

, gdy człowiek zacznie się poruszać

wzdłuż jej brzegu z prędkością v względem niej.

11. Obliczyć moment bezwładności cienkiego krążka o promieniu R = 10 cm i masie m

= 200 g, jeżeli wiruje on wokół osi stycznej do krawędzi krążka.

12. Na równię o wysokości h wtacza się walec z prędkością v

0

. Z jaką prędkością v

1

spadnie walec po osiągnięciu końca równi, jeśli toczy się po równi bez poślizgu?
Moment bezwładności walca I=mR

2

/2, R – to promień walca, a m – masa walca.

Gdy nie występuje poślizg, siły tarcia nie wykonują pracy, więc obowiązuje zasada
zachowania energii.

13. Ciężka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłożono siłę F leży na płaszczyźnie

poziomej. W którą stronę i z jakim przyspieszeniem liniowym będzie poruszać się
szpula w zależności od kąta między kierunkiem działania siły a płaszczyzną. Masa
szpuli m, zewnętrzny i wewnętrzny promień odpowiednio R i r, moment
bezwładności względem osi przechodzącej przez środek I

o

.

v

0

B

A

C

h

Proszę zacząć od sformułowania równania ruchu postępowego i równania ruchu obrotowego
względem osi przechodzącej przez środek masy.

T

a

R

r

F

α