Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
1
WYKŁAD 6
ELEMENTY ANALIZY OBLIGACJI
1. Wycena obligacji o stałym oprocentowaniu
2. Stopa zwrotu z obligacji
3.Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
1
WYKŁAD 6
ELEMENTY ANALIZY OBLIGACJI
1. Wycena obligacji o stałym oprocentowaniu
2. Stopa zwrotu z obligacji
3.Czas trwania obligacji
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
1. WYCENA OBLIGACJI O STAŁYM OPROCENTO-
WANIU
Obligacja
Obligacja jest instrumentem dłużnym, którego emitent (dłuż-
nik) zobowiązuje się wobec inwestora (wierzyciela) do zwró-
cenia pożyczonej kwoty wraz z odsetkami w ściśle określonym
terminie .
Typowa obligacja określa:
1. Datę wymagalności określonej kwoty (datę wykupu obligacji)
2. Ustaloną w umowie wysokość odsetek, które zazwyczaj są
płatne w okresach rocznych (Europa) lub półrocznych
(USA)
Elementy analizy obligacji
2
t – czas
R
R
R
n
n-1
3
2
1
E – cena emisyjna
obligacji
R –odsetki
W –cena wykupu
Rys.5.1 Charakterystyka oczekiwanych przepływów generowanych
przez typową obligację
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
3
Eminenci obligacji:
Skarb Państwa
NBP i Banki
Podmioty posiadające osobowość prawną (Firmy, funda-
cje, spółdzielnie, organizacje społeczne)
Gminy, związki międzygminne, związki komunalne
Miasto stołeczne Warszawa
Inwestorzy:
osoby prawne
jednostki organizacyjne nie posiadające osobowości prawnej
osoby fizyczne
Rodzaje obligacji:
imienne, na okaziciela, materialne, zdematerializowane, ak-
tywne, pasywne, w obrocie publicznym, w obrocie niepublicz-
nym (prywatnym), o stałym oprocentowaniu, o zmiennym
oprocentowaniu, indeksowane, różnicowe indeksowane, kupo-
nowe, zerokuponowe, dyskontowe, z określonym terminem
wykupu, bezterminowe, zabezpieczone, nie zabezpieczone,
krajowe, zagraniczne, euroobligacje, komunalne, skarbowe,
zamienne, wymienne, z prawem pierwszeństwa, z opcją przed-
terminowego wykupu (call), z opcją przedterminowego odkupu
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
4
(put), z opcją wyboru waluty, obligacje śmieciowe, obligacje z
odroczonym terminem płatności, z kuponem rosnącym, z ku-
ponem hybrydowym i inne.
Ryzyka związane z inwestowaniem w obligacje:
stopy procentowej, reinwestycji, przedterminowego wykupu,
kredytowe (niedotrzymanie zobowiązań) inflacji, walutowe,
płynności, zmienności (opcje – oczekiwana zmienność stóp
procentowych, - ryzyko ryzyka)
Wycena instrumentów finansowych - cena bieżąca
Cena bieżąca dowolnego instrumentu finansowego jest równa
wartości teraźniejszej (Present Value) przepływów gotówko-
wych związanych z tym instrumentem.
Cena bieżąca instrumentu finansowego:
1. Charakterystyka oczekiwanych przepływów gotówkowych
2. Wartość wymaganej stopy zwrotu z inwestycji (inwestycje
o podobnym stopniu ryzyka, inwestycje alternatywne)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
5
Cena bieżąca obligacji o stałym oprocentowaniu
Założenia:
1. Wszystkie zobowiązania emitenta wobec posiadacza obli-
gacji zostaną uregulowane w terminie
2. Obligacja ma ustalony dzień wykupu
3. Cena bieżąca obligacji jest obliczana tuż po płatności ku-
ponu (na jeden okres przed płatnością kolejnego kuponu)
Oznaczenia:
C
n
– cena bieżąca obligacji na n-okresów (lat) przed wykupem
n – liczba okresów (lat) pozostałych do terminu wykupu
r – stopa kuponowa obligacji
N – nominał obligacji
R= r
⋅N – wysokość kuponu (odsetki)
W– cena wykupu tzn. kwota płacona posiadaczowi w dniu wy-
kupu.
Zakładamy, że W = N (opcje przedterminowego wykupu)
i – stopa zwrotu z obligacji (YTM –yield to maturity) stopa
zwrotu w terminie do wykupu – IRR
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
v = (1+i)
-1
– czynnik dyskontujący.
R
t – czas
R
R
R
Data
wykupu
Data
wyceny
3
2
1
E – cena emisyjna
obligacji
N
n –okresów
R
R
Rys.5.2 Charakterystyka oczekiwanych przepływów gotówkowych
obligacji stałym oprocentowaniu
n
i|
n
n
Nv
Ra
C
+
=
(6.1)
n
i|
n
n
Nv
rNa
C
+
=
(6.2)
Przykład 6.1
Przyjmując wymaganą stopę zwrotu i=23%, wyznaczyć cenę
bieżącą obligacji o nominale N=1000zł, kuponie r=23% płat-
nym na koniec każdego roku:
a) n=10 (10 lat do wykupu)
b) n=5 (5 lat do wykupu)
Elementy analizy obligacji
6
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Ad. a.
R = rN=0,23 1000zł=230 zł
C
10
= 230
10
23
,
0
|
10
)
23
,
0
1
(
1000
a
−
+
⋅
+
12616
,
0
)
23
,
1
(
;
7993
,
3
a
10
23
,
0
|
10
≅
≅
−
C
10
= 873,84 + 126,16 = 1000 zł
Ad. b.
C
5
= 230
5
23
,
0
|
5
)
23
,
0
1
(
1000
a
−
+
⋅
+
3552
,
0
)
23
,
1
(
8035
,
2
a
5
23
,
0
|
5
≈
≈
−
C
5
= 644,80 + 355,20 = 1000 zł
☺☺☺☺☺☺☺☺
Jeżeli stopa zwrotu z obligacji jest równa stopie kuponu (i = r),
to dla każdego okresu do wykupu (n) cena bieżąca obligacji
jest równa jej wartości nominalnej (C
n
= N).
Rozważmy przypadek i
≠ r
n
i|
n
n
Nv
rNa
C
+
=
i
v
1
a
n
i|
n
−
=
;
N
a
i
1
v
i|
n
n
+
−
=
N
a
)
i
r
(
N
C
i|
n
n
+
−
=
(6.3)
Elementy analizy obligacji
7
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
8
Obligacja sprzedawana z dyskontem
r
i
C
n
N
Stopa
<
Stopa
Cena
<
Wartość
kuponowa
zwrotu
bieżąca nominalna
Dyskonto D = N – C
n
= – N(r – i)
i|
n
a
= N(i – r)
i|
n
a
Obligacja sprzedawana z premią
r
i
C
n
N
Stopa
>
Stopa
Cena
>
Wartość
kuponowa
zwrotu
bieżąca nominalna
Premia P = C
n
– N = N(r – i)
i|
n
a
(6.4)
= N(r – i)
i|
n
a
Premia P +
Dyskonto D –
Cena bieżąca obligacji zmienia się przeciwnie do zmiany wy-
maganej stopy zwrotu.
Przykład 6.2
Wyznaczyć bieżącą cenę obligacji opisanej w przykładzie 6.1
w przypadku:
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
a) zmiany wymaganej stopy zwrotu z 23% do 15%
b) zmiany wymaganej stopy zwrotu z 23% do 31%
Ad. a.
Cena bieżąca wzrośnie o premię
Premia P – C
n
– N = N(r – i)
i|
n
a
P = 1000(0,23 – 0,15)
15
,
0
|
5
a
P = 1000(0,08)3,3522 = 268,176
C
5
= 1000 + 268,176
≈ 1268,18 zł cena bieżąca
Ad. b.
Cena bieżąca maleje dyskonto
Dyskonto D = N – C
n
= N(i – r)
i|
n
a
D = 1000(0,31 – 0,23)
31
,
0
|
5
a
D = 1000(0,08) 2,3897 = 191,176
C
5
= 1000 – 191,176
≈ 808,82 zł cena bieżąca
☺☺☺☺☺☺☺☺
Liczba lat od
momentu emisji
i = 15%
stopa rynkowa
i = 23%
stopa odsetkowa
i = 31%stopa
rynkowa
0
1000
1 1381,73
1000
764,65
2 1358,99
1000
771,69
3 1332,83
1000
780,91
4 1302,76
1000
793,00
5 1268,17
1000
808,83
6 1228,40
1000
829,56
7 1182,66
1000
856,73
8 1130,06
1000
892,31
9 1069,57
1000
938,93
Elementy analizy obligacji
9
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
10 1000,00
1000
1000,00
Tablica 6.1. Cena bieżąca obligacji 10-letniej. Nominał N = 1000zł.
Stopa kuponu r = 23%.
Rys.6.3 Cena bieżąca obligacji 10 – letniej.
Liczba lat od
momentu emisji
Stopa
rynkowa
Stopa
odsetkowa
0 0,23
0,23
1 0,23
0,18
2 0,23
0,14
3 0,23
0,10
4 0,23
0,16
5 0,23
0,20
6 0,23
0,26
7 0,23
0,30
8 0,23
0,25
9 0,23
0,20
10 0,23
0,17
Tablica 6.2. Scenariusz zmian stopy rynkowej.
Elementy analizy obligacji
10
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
11
Rys.6.4 Cena bieżąca obligacji w zależności od zmiany stopy rynkowej
Lp. Stopa
procentowa
Obligacja
10-letnia
Obligacja
2-letnia
0
1 0,05
2389,91
1334,69
2 0,10
1798,79
1225,62
3 0,15
1401,50
1130,06
4 0,20
1125,77
1045,83
5 0,25 928,59
971,20
6 0,30 783,59
904,73
7 0,35 674,19
845,27
8 0,40 589,69
791,84
9 0,45 523,01
743,64
10 0,50 469,36
700,00
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Elementy analizy obligacji
12
Tabela 6.3. Cena bieżąca obligacji 10-letniej i 2 –letniej o nominale
1000zł i kuponie 23% w zależności od zmian rynkowej stopy zwrotu
Rys. 6.5. Cena bieżąca obligacji 10-letniej i 2 –letniej w zależności od
zmian rynkowej stopy zwrotu
Przyczyny zmian ceny bieżącej obligacji
1. Pogorszenie (polepszenie) zdolności kredytowej eminenta
2. Zbliżająca się data wykupu
3. Zmiana rynkowej stopy zwrotu porównywalnych obligacji
Założenia upraszczające przyjęte do obliczenia ceny bieżącej
obligacji
1. Regularne płatności odsetek
2. Znane przepływy gotówkowe
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
3. Można określić wymaganą stopę zwrotu i - YTM
4. Stała stopa zwrotu w całym okresie do wykupu obligacji
Cena bieżąca obligacji między płatnościami kuponu
k
R
t – czas
R
R
3
2
1
E – cena emisyjna
obligacji
N– cena wykupu
n –okresów do wykupu
R
R - odsetki
k+s
k+1
n
Rys. 5.5 Cena bieżąca obligacji w momencie k
Elementy analizy obligacji
13
(6.5)
k
n
k
k
Ra
B
i
n
Nv
−
−
=
+
gdzie: B
k
- cena bieżąca obligacji w momencie k
[(n – k) okresów do wykupu]
B
k+s
- cena bieżąca obligacji dla s
∈(0,1) między płat-
nościami kuponu
f
s
k
B
+
- cena wyrównawcza obligacji (cena skumulowa-
na, „cena brudna”,- flat price, dirty price)
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
m
s
k
B
+
- cena rynkowa (cena „czysta” market price, cle-
an price)
cena „brudna” = cena „ czysta” + odsetki narosłe od ostatniej
płatności
(6.6)
s
m
s
k
f
s
k
R
B
B
+
=
+
+
W praktyce giełdowej podaje się:
cenę „czystą”
m
s
k
B
+
narosłe odsetki R
s
= N
⋅r
s
(r
0
= 0, r
1
= r)
1. Metoda teoretyczna (procent złożony)
(6.7)
s
k
f
s
k
)
i
1
(
B
B
+
=
+
(6.8)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⋅
=
⋅
=
i
1
)
i
1
(
r
N
r
N
R
s
s
s
Cena „czysta” obligacji
Elementy analizy obligacji
14
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⋅
−
+
=
+
i
1
)
i
1
(
r
N
)
i
1
(
B
B
s
s
k
m
s
k
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
(6.9)
2. Metoda praktyczna (procent prosty)
(6.10)
)
s
i
1
B
B
k
f
s
k
⋅
+
=
(
Elementy analizy obligacji
15
(6.11)
+
s
r
N
r
N
R
s
s
⋅
⋅
=
(6.12)
⋅
=
s
r
N
)
s
i
1
B
B
(
Rys.6.6 Cena „czysta” a cena „brudna” obligacji (zakładamy, że r = i)
3. Metoda teoretyczno - praktyczna (mieszana)
k
m
s
k
⋅
⋅
−
⋅
+
=
+
R odsetki
N=1000zł
cena „czysta”
k
t – czas
3
2
1
n
k+s k+1
cena „brudna”
s
r
N
)
i
1
(
B
B
s
t
m
s
k
⋅
⋅
−
+
=
+
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
(6.13)
Premia P =
m
s
k
B
+
- N
gdy i < r
Dyskonto D = N -
gdy i > r
m
s
k
B
+
Przykład 6.3.
Obliczyć cenę „brudną” i „czystą” obligacji z przykładu 5.2a
dla s = 0,5 ( w połowie okresu między płatnościami kuponów)
a) metoda teoretyczna (procent składany)
B
5
= 1268,18 zł – bieżąca cena obligacji
zł
97
,
1359
)
15
,
1
(
18
,
1268
)
i
1
(
B
B
5
,
0
5
,
0
5
f
)
5
,
0
5
(
=
=
+
=
+
98
,
110
15
,
0
1
)
15
,
1
(
230
R
5
,
0
s
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
zł
b) metoda praktyczna (procent prosty)
zł
29
,
1363
075
,
1
18
,
1268
)
5
,
0
15
,
0
1
(
B
B
5
f
)
5
,
0
5
(
=
⋅
=
⋅
+
=
+
R
s
= 230 0,5 = 115
zł
29
,
1248
115
29
,
1363
B
m
)
5
,
0
5
(
=
−
=
+
c) metoda mieszana
115
s
f
)
5
,
0
5
(
R
;
97
,
1359
B
=
+
=
zł
97
,
1244
115
97
,
1359
B
m
)
5
,
0
5
(
=
−
=
+
Elementy analizy obligacji
16
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
☺☺☺☺☺☺☺☺
Elementy analizy obligacji
17
t – czas
3
2
1
E–cena emisyjna
n
N –cena wykupu
Rys.6.5. Cena bieżąca obligacji zerokuponowej
C
n
= Nv
n