Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

1

WYKŁAD 6

ELEMENTY ANALIZY OBLIGACJI

1. Wycena obligacji o stałym oprocentowaniu

2. Stopa zwrotu z obligacji

3.Czas trwania obligacji

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

1. WYCENA OBLIGACJI O STAŁYM OPROCENTO-

WANIU

Obligacja

Obligacja jest instrumentem dłużnym, którego emitent (dłuż-

nik) zobowiązuje się wobec inwestora (wierzyciela) do zwró-

cenia pożyczonej kwoty wraz z odsetkami w ściśle określonym

terminie .

Typowa obligacja określa:

1. Datę wymagalności określonej kwoty (datę wykupu obligacji)

2. Ustaloną w umowie wysokość odsetek, które zazwyczaj są

płatne w okresach rocznych (Europa) lub półrocznych

(USA)

Elementy analizy obligacji

2

t – czas

R

R

R

n

n-1

3

2

1

E – cena emisyjna
obligacji

R –odsetki

W –cena wykupu

Rys.5.1 Charakterystyka oczekiwanych przepływów generowanych

przez typową obligację

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

3

Eminenci obligacji:

Skarb Państwa

NBP i Banki

Podmioty posiadające osobowość prawną (Firmy, funda-

cje, spółdzielnie, organizacje społeczne)

Gminy, związki międzygminne, związki komunalne

Miasto stołeczne Warszawa

Inwestorzy:

osoby prawne

jednostki organizacyjne nie posiadające osobowości prawnej

osoby fizyczne

Rodzaje obligacji:

imienne, na okaziciela, materialne, zdematerializowane, ak-

tywne, pasywne, w obrocie publicznym, w obrocie niepublicz-

nym (prywatnym), o stałym oprocentowaniu, o zmiennym

oprocentowaniu, indeksowane, różnicowe indeksowane, kupo-

nowe, zerokuponowe, dyskontowe, z określonym terminem

wykupu, bezterminowe, zabezpieczone, nie zabezpieczone,

krajowe, zagraniczne, euroobligacje, komunalne, skarbowe,

zamienne, wymienne, z prawem pierwszeństwa, z opcją przed-

terminowego wykupu (call), z opcją przedterminowego odkupu

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

4

(put), z opcją wyboru waluty, obligacje śmieciowe, obligacje z

odroczonym terminem płatności, z kuponem rosnącym, z ku-

ponem hybrydowym i inne.

Ryzyka związane z inwestowaniem w obligacje:

stopy procentowej, reinwestycji, przedterminowego wykupu,

kredytowe (niedotrzymanie zobowiązań) inflacji, walutowe,

płynności, zmienności (opcje – oczekiwana zmienność stóp

procentowych, - ryzyko ryzyka)

Wycena instrumentów finansowych - cena bieżąca

Cena bieżąca dowolnego instrumentu finansowego jest równa

wartości teraźniejszej (Present Value) przepływów gotówko-

wych związanych z tym instrumentem.

Cena bieżąca instrumentu finansowego:

1. Charakterystyka oczekiwanych przepływów gotówkowych

2. Wartość wymaganej stopy zwrotu z inwestycji (inwestycje

o podobnym stopniu ryzyka, inwestycje alternatywne)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

5

Cena bieżąca obligacji o stałym oprocentowaniu

Założenia:

1. Wszystkie zobowiązania emitenta wobec posiadacza obli-

gacji zostaną uregulowane w terminie

2. Obligacja ma ustalony dzień wykupu

3. Cena bieżąca obligacji jest obliczana tuż po płatności ku-

ponu (na jeden okres przed płatnością kolejnego kuponu)

Oznaczenia:

C

n

– cena bieżąca obligacji na n-okresów (lat) przed wykupem

n – liczba okresów (lat) pozostałych do terminu wykupu

r – stopa kuponowa obligacji

N – nominał obligacji

R= r

⋅N – wysokość kuponu (odsetki)

W– cena wykupu tzn. kwota płacona posiadaczowi w dniu wy-

kupu.

Zakładamy, że W = N (opcje przedterminowego wykupu)

i – stopa zwrotu z obligacji (YTM –yield to maturity) stopa

zwrotu w terminie do wykupu – IRR

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

v = (1+i)

-1

– czynnik dyskontujący.

R

t – czas

R

R

R

Data
wykupu

Data
wyceny

3

2

1

E – cena emisyjna
obligacji

N

n –okresów

R

R

Rys.5.2 Charakterystyka oczekiwanych przepływów gotówkowych

obligacji stałym oprocentowaniu

n

i|

n

n

Nv

Ra

C

+

=

(6.1)

n

i|

n

n

Nv

rNa

C

+

=

(6.2)

Przykład 6.1

Przyjmując wymaganą stopę zwrotu i=23%, wyznaczyć cenę

bieżącą obligacji o nominale N=1000zł, kuponie r=23% płat-

nym na koniec każdego roku:

a) n=10 (10 lat do wykupu)

b) n=5 (5 lat do wykupu)

Elementy analizy obligacji

6

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Ad. a.

R = rN=0,23 1000zł=230 zł

C

10

= 230

10

23

,

0

|

10

)

23

,

0

1

(

1000

a

−

+

⋅

+

12616

,

0

)

23

,

1

(

;

7993

,

3

a

10

23

,

0

|

10

≅

≅

−

C

10

= 873,84 + 126,16 = 1000 zł

Ad. b.

C

5

= 230

5

23

,

0

|

5

)

23

,

0

1

(

1000

a

−

+

⋅

+

3552

,

0

)

23

,

1

(

8035

,

2

a

5

23

,

0

|

5

≈

≈

−

C

5

= 644,80 + 355,20 = 1000 zł

☺☺☺☺☺☺☺☺

Jeżeli stopa zwrotu z obligacji jest równa stopie kuponu (i = r),

to dla każdego okresu do wykupu (n) cena bieżąca obligacji

jest równa jej wartości nominalnej (C

n

= N).

Rozważmy przypadek i

≠ r

n

i|

n

n

Nv

rNa

C

+

=

i

v

1

a

n

i|

n

−

=

;

N

a

i

1

v

i|

n

n

+

−

=

N

a

)

i

r

(

N

C

i|

n

n

+

−

=

(6.3)

Elementy analizy obligacji

7

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

8

Obligacja sprzedawana z dyskontem

r

i

C

n

N

Stopa

<

Stopa

Cena

<

Wartość

kuponowa

zwrotu

bieżąca nominalna

Dyskonto D = N – C

n

= – N(r – i)

i|

n

a

= N(i – r)

i|

n

a

Obligacja sprzedawana z premią

r

i

C

n

N

Stopa

>

Stopa

Cena

>

Wartość

kuponowa

zwrotu

bieżąca nominalna

Premia P = C

n

– N = N(r – i)

i|

n

a

(6.4)

= N(r – i)

i|

n

a

Premia P +
Dyskonto D –

Cena bieżąca obligacji zmienia się przeciwnie do zmiany wy-

maganej stopy zwrotu.

Przykład 6.2

Wyznaczyć bieżącą cenę obligacji opisanej w przykładzie 6.1

w przypadku:

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

a) zmiany wymaganej stopy zwrotu z 23% do 15%

b) zmiany wymaganej stopy zwrotu z 23% do 31%

Ad. a.

Cena bieżąca wzrośnie o premię

Premia P – C

n

– N = N(r – i)

i|

n

a

P = 1000(0,23 – 0,15)

15

,

0

|

5

a

P = 1000(0,08)3,3522 = 268,176

C

5

= 1000 + 268,176

≈ 1268,18 zł cena bieżąca

Ad. b.

Cena bieżąca maleje dyskonto

Dyskonto D = N – C

n

= N(i – r)

i|

n

a

D = 1000(0,31 – 0,23)

31

,

0

|

5

a

D = 1000(0,08) 2,3897 = 191,176

C

5

= 1000 – 191,176

≈ 808,82 zł cena bieżąca

☺☺☺☺☺☺☺☺

Liczba lat od
momentu emisji

i = 15%

stopa rynkowa

i = 23%

stopa odsetkowa

i = 31%stopa

rynkowa

0

1000

1 1381,73

1000

764,65

2 1358,99

1000

771,69

3 1332,83

1000

780,91

4 1302,76

1000

793,00

5 1268,17

1000

808,83

6 1228,40

1000

829,56

7 1182,66

1000

856,73

8 1130,06

1000

892,31

9 1069,57

1000

938,93

Elementy analizy obligacji

9

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

10 1000,00

1000

1000,00

Tablica 6.1. Cena bieżąca obligacji 10-letniej. Nominał N = 1000zł.

Stopa kuponu r = 23%.

Rys.6.3 Cena bieżąca obligacji 10 – letniej.

Liczba lat od

momentu emisji

Stopa

rynkowa

Stopa

odsetkowa

0 0,23

0,23

1 0,23

0,18

2 0,23

0,14

3 0,23

0,10

4 0,23

0,16

5 0,23

0,20

6 0,23

0,26

7 0,23

0,30

8 0,23

0,25

9 0,23

0,20

10 0,23

0,17

Tablica 6.2. Scenariusz zmian stopy rynkowej.

Elementy analizy obligacji

10

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

11

Rys.6.4 Cena bieżąca obligacji w zależności od zmiany stopy rynkowej

Lp. Stopa

procentowa

Obligacja

10-letnia

Obligacja

2-letnia

0
1 0,05

2389,91

1334,69

2 0,10

1798,79

1225,62

3 0,15

1401,50

1130,06

4 0,20

1125,77

1045,83

5 0,25 928,59

971,20

6 0,30 783,59

904,73

7 0,35 674,19

845,27

8 0,40 589,69

791,84

9 0,45 523,01

743,64

10 0,50 469,36

700,00

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

Elementy analizy obligacji

12

Tabela 6.3. Cena bieżąca obligacji 10-letniej i 2 –letniej o nominale

1000zł i kuponie 23% w zależności od zmian rynkowej stopy zwrotu

Rys. 6.5. Cena bieżąca obligacji 10-letniej i 2 –letniej w zależności od

zmian rynkowej stopy zwrotu

Przyczyny zmian ceny bieżącej obligacji

1. Pogorszenie (polepszenie) zdolności kredytowej eminenta

2. Zbliżająca się data wykupu

3. Zmiana rynkowej stopy zwrotu porównywalnych obligacji

Założenia upraszczające przyjęte do obliczenia ceny bieżącej

obligacji

1. Regularne płatności odsetek

2. Znane przepływy gotówkowe

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

3. Można określić wymaganą stopę zwrotu i - YTM

4. Stała stopa zwrotu w całym okresie do wykupu obligacji

Cena bieżąca obligacji między płatnościami kuponu

k

R

t – czas

R

R

3

2

1

E – cena emisyjna
obligacji

N– cena wykupu

n –okresów do wykupu

R

R - odsetki

k+s

k+1

n

Rys. 5.5 Cena bieżąca obligacji w momencie k

Elementy analizy obligacji

13

(6.5)

k

n

k

k

Ra

B

i

n

Nv

−

−

=

+

gdzie: B

k

- cena bieżąca obligacji w momencie k

[(n – k) okresów do wykupu]

B

k+s

- cena bieżąca obligacji dla s

∈(0,1) między płat-

nościami kuponu

f

s

k

B

+

- cena wyrównawcza obligacji (cena skumulowa-

na, „cena brudna”,- flat price, dirty price)

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

m

s

k

B

+

- cena rynkowa (cena „czysta” market price, cle-

an price)

cena „brudna” = cena „ czysta” + odsetki narosłe od ostatniej

płatności

(6.6)

s

m

s

k

f

s

k

R

B

B

+

=

+

+

W praktyce giełdowej podaje się:

cenę „czystą”

m

s

k

B

+

narosłe odsetki R

s

= N

⋅r

s

(r

0

= 0, r

1

= r)

1. Metoda teoretyczna (procent złożony)

(6.7)

s

k

f

s

k

)

i

1

(

B

B

+

=

+

(6.8)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

⋅

=

⋅

=

i

1

)

i

1

(

r

N

r

N

R

s

s

s

Cena „czysta” obligacji

Elementy analizy obligacji

14

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

⋅

−

+

=

+

i

1

)

i

1

(

r

N

)

i

1

(

B

B

s

s

k

m

s

k

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

(6.9)

2. Metoda praktyczna (procent prosty)

(6.10)

)

s

i

1

B

B

k

f

s

k

⋅

+

=

(

Elementy analizy obligacji

15

(6.11)

+

s

r

N

r

N

R

s

s

⋅

⋅

=

(6.12)

⋅

=

s

r

N

)

s

i

1

B

B

(

Rys.6.6 Cena „czysta” a cena „brudna” obligacji (zakładamy, że r = i)

3. Metoda teoretyczno - praktyczna (mieszana)

k

m

s

k

⋅

⋅

−

⋅

+

=

+

R odsetki
N=1000zł

cena „czysta”

k

t – czas

3

2

1

n

k+s k+1

cena „brudna”

s

r

N

)

i

1

(

B

B

s

t

m

s

k

⋅

⋅

−

+

=

+

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

(6.13)

Premia P =

m

s

k

B

+

- N

gdy i < r

Dyskonto D = N -

gdy i > r

m

s

k

B

+

Przykład 6.3.

Obliczyć cenę „brudną” i „czystą” obligacji z przykładu 5.2a
dla s = 0,5 ( w połowie okresu między płatnościami kuponów)

a) metoda teoretyczna (procent składany)

B

5

= 1268,18 zł – bieżąca cena obligacji

zł

97

,

1359

)

15

,

1

(

18

,

1268

)

i

1

(

B

B

5

,

0

5

,

0

5

f

)

5

,

0

5

(

=

=

+

=

+

98

,

110

15

,

0

1

)

15

,

1

(

230

R

5

,

0

s

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

zł

b) metoda praktyczna (procent prosty)

zł

29

,

1363

075

,

1

18

,

1268

)

5

,

0

15

,

0

1

(

B

B

5

f

)

5

,

0

5

(

=

⋅

=

⋅

+

=

+

R

s

= 230 0,5 = 115

zł

29

,

1248

115

29

,

1363

B

m

)

5

,

0

5

(

=

−

=

+

c) metoda mieszana

115

s

f

)

5

,

0

5

(

R

;

97

,

1359

B

=

+

=

zł

97

,

1244

115

97

,

1359

B

m

)

5

,

0

5

(

=

−

=

+

Elementy analizy obligacji

16

Prof. Piotr Chrzan

MATEMATYKA FINANSOWA

☺☺☺☺☺☺☺☺

Elementy analizy obligacji

17

t – czas

3

2

1

E–cena emisyjna

n

N –cena wykupu

Rys.6.5. Cena bieżąca obligacji zerokuponowej

C

n

= Nv

n