98

otrzymujemy wzór na przy

Ğpieszenie punktu M w naturalnym ukáadzie wspóárzĊd-

nych:

a

e

s



dv

dt

v

2

U

e

n

n

(5.19)

lub

a

a

a

s



.

(5.20)

Z otrzymanego wzoru wynika,

Īe przyĞpieszenie w rozwaĪanym ukáadzie

wspó

árzĊdnych s, n, b ma dwie skáadowe: styczną a

s

i normaln

ą a

n

(skierowan

ą do

Ğrodka krzywizny) i leĪy w páaszczyĨnie ĞciĞle stycznej sn. Moduáy tych skáado-
wych s

ą nastĊpujące:

a

dv

dt

a

v

s

n

,

2

U

,

(5.21)

a warto

Ğü przyĞpieszenia caákowitego obliczymy ze wzoru:

a

a

a

s



2

n

2

t

.

(22)

Ze wzorów (5.21) wida

ü, Īe przyĞpieszenie styczne a

s

jest miar

ą zmiany prĊd-

ko

Ğci i jest równe zeru, gdy moduá prĊdkoĞci bĊdzie staáy, z kolei przyĞpieszenie

normalne a

n

jest miar

ą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przyĞpieszenie

normalne jest równe zeru.

W ruchu punktu po krzywej p

áaskiej znane są kierunki skáadowych przyĞpie-

szenia albo ich wyznaczenie nie nastr

Ċcza wiĊkszych trudnoĞci, poniewaĪ wektory

obu sk

áadowych przyĞpieszenia bĊdą leĪaáy w páaszczyĨnie ruchu. W przypadku

ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych sk

áadowych przyĞpie-

szenia mog

ą siĊ pojawiü trudnoĞci natury matematycznej.

Przyk

áad 5.1. Punkt porusza siĊ w páaszczyĨnie xy zgodnie z równaniami ru-

chu:

x

t







4

1

3

2

,

y =

.

Wyznaczy

ü równanie toru, prĊdkoĞü, przyĞpieszenie styczne normalne i caákowite

oraz promie

Ĕ krzywizny dla czasu t

1

= 0,5 s. Przyj

ąü wymiary w metrach, a czas

w sekundach.

Rozwi

ązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu naleĪy z równaĔ ruchu

wyeliminowa

ü parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu

i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:

99





y

x

2

9

4

1



 .

Równanie to przedstawia parabol

Ċ.

Wspó

árzĊdne prĊdkoĞci punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduá ze

wzoru (5.8).

v

dx

dt

t

dy

dt

x





8

3

,

v

y

,

 

s

m

5

25

9

2

1

64

t

v

a

,

9

t

64

v

v

v

2

1

2

2
y

2
x

/



¸

¹

·

¨

©

§





.

Wspó

árzĊdne przyĞpieszenia i jego wartoĞü wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):

a

dv

dt

dv

dt

x

x

y



8

0

,

a

y

,

a

a

a

m s

x

y





2

2

64

0

8

/

2

.

Przy

Ğpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):

a

dv

dt

t

t

t

t

s

˜





2 64

2 64

9

64

64

9

2

2

,

 

a t

m s

s

1

2

2

64

1

2

64

1

2

9

32

25

6 4

˜

§
©¨

·
¹¸



,

/

.

W celu wyznaczenia przy

Ğpieszenia normalnego przeksztaácimy wzór (5.22) do

postaci:

a

a

a

n

s



2

2

.

Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wy

Īej wartoĞci liczbowych otrzyma-

my przy

Ğpieszenie normalne w chwili :

t

1

 

 

a

t

m s

n

1

2

2

2

8

6 4

4 8



,

,

/

.

Promie

Ĕ krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):

m

,2

5

8

,

4

5

a

v

ȡ

2

n

2

.

100

Przyk

áad 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w prostokąt-

nym uk

áadzie wspóárzĊdnych:

x

t

t

t

 





2

3

6

3

2

3

2

2

,

y = 3

t

,

gdzie x i y s

ą podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyü równanie toru,

promie

Ĕ krzywizny, prĊdkoĞü, przyĞpieszenie styczne, normalne i caákowite. Tor

oraz sk

áadowe prĊdkoĞci i przyĞpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawiü

na rysunku.

Rozwi

ązanie. JeĪeli drugie równanie ruchu pomnoĪymy stronami przez 

i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:

2

y

x



1

2

2 .

x

0

y

x

v

0

a

v

0x

v

0y

a

y

a

x

B

A

O

M

y

0

Rys. 5.6. Pr

ĊdkoĞü i przyĞpieszenie punktu we wspóárzĊdnych prostokątnych na páasz-

czy

Ĩnie

Jest to równanie prostej, która odcina na osi odci

Ċtych odcinek OA = 4 m i na osi

rz

Ċdnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). PoáoĪenie punktu M na prostej (torze) dla

chwili pocz

ątkowej t = 0 wyznaczymy z równaĔ ruchu: x

0

2

, y = 3

0

. Poniewa

Ī

promie

Ĕ krzywizny jest równy nieskoĔczonoĞci (

f

U

), przy

Ğpieszenie normalne

jest równe zeru:

a

v

n

2

0

U

.

Wspó

árzĊdne prostokątne prĊdkoĞci i przyĞpieszeĔ oraz ich moduáy obliczymy tak

jak w poprzednim przyk

áadzie.

Pr

ĊdkoĞü:

101









v

dx

dt

t

dy

dt

t

x









3 1 4

3

2

1 4

,

v

y

,

(a)











4t

+

1

5

2

3

=

t

4

1

4

1

t

4

1

3

v

v

v

2

2

2
y

2
x











.

(b)

Przy

Ğpieszenie:

a

dv

dt

dv

dt

x

x

y





12

6

,

a

y

,

a

a

a

m s

x

y





2

2

2

2

12

6

6 5

/

2

.

Przy

Ğpieszenie styczne:

a

a

dv

dt

m s

s

˜

3

2

5 4

6 5

2

/

.

Z otrzymanych wyników widzimy,

Īe punkt M porusza siĊ po prostej ze staáym

przy

Ğpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.

Pr

ĊdkoĞci w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i

(b) t = 0.

v

m

x

y

0

0

3

3

2

3

2

5





,

v

,

v

0

/ s

.

Przyk

áad 5.3. TrzpieĔ AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimoĞrodu w ksztaácie

tarczy ko

áowej o promieniu r tak, Īe caáy czas pozostaje z nim w kontakcie. OĞ

obrotu mimo

Ğrodu przechodzi przez punkt O oddalony od Ğrodka tarczy C o OC =

e. Mimo

Ğród obraca siĊ wokóá osi obrotu ze staáą prĊdkoĞcią kątową

.

Wyznaczy

ü prĊdkoĞü i przyĞpieszenie trzpienia dla czasu t

Z S



s

1

1

= 0,5 s, je

Īeli oĞ

trzpienia pokrywa si

Ċ z osią x tak jak na rysunku.

Rozwi

ązanie. Dla obliczenia prĊdkoĞci i przyĞpieszenia trzpienia musimy uáo-

Īyü jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b moĪemy
napisa

ü:





x

OA

OD

DA

e

CD

e

r

e

e

r

e

A













cos + r

cos

sin

cos

sin

2

2

M

M

M

M

2

2

2

2

2

M

.

102

฀

y

O

A

C

B

r

x

y

O

A

C

B

r

x

D

e

M

a)

b)

Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB

Po podstawieniu do tej zale

ĪnoĞci, zgodnie z treĞcią zadania,

t

t

S

Z

M

otrzy-

mamy równanie ruchu punktu A:

x

e

r

e

A





cos t

sin

2

S

2

2

t

S .

(a)

Pr

ĊdkoĞü punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania wzglĊdem

czasu:

S



S

S

S



S

S



t

sin

e

r

2

t

cos

t

sin

e

+

t

sin

e

dt

dx

v

2

2

2

2

A

A

 

.

t

sin

e

r

t

2

sin

4

e

t

sin

e

2

2

2

2

S



S

S



S

S



(b)

Po zró

Īniczkowaniu powyĪszego wzoru wzglĊdem czasu i uporządkowaniu wyra-

zów otrzymamy przy

Ğpieszenie:

 





 





»

»

»

»

¼

º

«

«

«

«

¬

ª

S



S



S

S



S



S

S

S

S



t

sin

e

r

t

sin

e

r

t

2

sin

4

e

t

sin

e

r

t

2

cos

2

4

e

+

t

cos

e

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A

.

(c)

Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t

1

= 0,5 s otrzymamy warto

Ğü prĊdkoĞci

i przy

Ğpieszenia dla tego czasu:

 

 

2

2

2

2

1

A

1

A

e

r

2

e

t

a

,

e

t

v



S

S



.