5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu

Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do okre-
ślenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem nieru-
chomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i końcu
w rozważanym punkcie M.

z

L

y

x

O

r

M

hodograf wektora
wodzącego

wektor
wodzący

Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego

Wektorową funkcję czasu

( )

r r

= t (5.1)

nazywamy wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:

( ) ( ) ( ) ( )

r r

i

j

k

=

=

+

+

t

x t

y t

z t

(5.2)

lub równoważnych trzech równań skalarnych

( )

( )

( )

x x t

y y t

z z t

=

=

=

,

,

. (5.3)

Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi rów-
naniami ruchu.

91

Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy
nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.
W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t

1

położenie punktu M

1

wyznacza

wektor wodzący r

1

= r(t

1

), a w chwili t

2

= t

1

+

∆t punkt zajmuje położenie M

2

wy-

znaczone przez wektor wodzący r

2

= r(t

2

), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po upływie

czasu

∆t = t

2

– t

1

wektor wodzący uzyskał przyrost

∆r = r

2

– r

1

. Iloraz

∆r/∆t jest

wektorem współliniowym z wektorem

∆r, czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy

M

1

M

2

. Jeżeli przyrost czasu

∆t będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy po-

chodną wektora r względem czasu:

lim

t 0

∆

∆

∆

→

=

=

r

r

v

t

d

dt

,

nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

v

r

=

d

dt

. (5.4)

O

z

y

x

r

1

r

2

M

1

L

M

2

∆r

∆

∆

r
t

v

r

=

d

dt

Rys. 5.2. Prędkość punktu

Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M

2

dąży do punktu M

1

, to cięciwa M

1

M

2

dąży

do stycznej do toru w punkcie M

1

. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do

toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r.

92

Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania jego pochodna

v

r

i

j

=

=

+

+

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz
dt

k

k

. (5.5)

Po zapisaniu prędkości v w układzie współrzędnych x, y, z

v

i

j

=

+

+

v

v

v

x

y

z

(5.6)

i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości:

v

dx

dt

v

dy

dt

v

dz

dt

x

y

z

=

=

,

,

=

.

(5.7)

Widzimy, że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu odpo-
wiednich współrzędnych wektora wodzącego.
Wartość prędkości określa wzór:

v

v

v

v

x

y

z

=

+

+

2

2

2

. (5.8)

W czasie ruchu punktu M jego prędkość

v w ogólnym przypadku ruchu zmienia

zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M, odpo-
wiadających chwilom t

1

i t

2

= t

1

+

∆t, wektory prędkości oznaczymy odpowiednio

przez

v

1

i

v

2

i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się w jednym punkcie

O

1

(rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie

∆t = t

2

– t

1

uzyskała przyrost

∆v = v

2

–

v

1

. Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy hodografem

prędkości

.

v

1

O

1

∆v

∆

∆

v
t

v

2

a

v

=

d

dt

hodograf prędkości

Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu

Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor

∆v/∆t

o kierunku przyrostu prędkości

∆v. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to

93

w granicy otrzymamy pochodną prędkości

v względem czasu, nazywaną przyśpie-

szeniem

a punktu M:

lim

t 0

∆

∆

∆

→

=

=

v

v

a

t

d

dt

.

Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą
pochodną wektora wodzącego względem czasu

.

a

v

=

=

d

dt

d

dt

2

2

r

k

. (5.9)

Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v.
W

prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie a możemy za-

pisać w następujący sposób:

a

i

j

=

+

+

a

a

a

x

y

z

. (5.10)

W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):

a

v

i

j

=

=

+

+

d

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

x

y

z

k . (5.11)

Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane zależ-
nościami:

a

dv

dt

d x

dt

a

dv

dt

d y

dt

a

dv

dt

d z
dt

x

x

y

y

z

z

=

=

=

=

=

=

2

2

2

2

2

2

,

,

. (5.12)

Z

powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w nieru-

chomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi wzglę-
dem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem czasu
odpowiednich współrzędnych tego punktu.
Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:

a

a

a

a

x

y

=

+

+

2

2

z

2

. (5.13)

5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie współrzędnych

W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości

v i przyśpiesze-

nia

a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie takiego postę-

94

powania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i jak zmieniają
się moduły i kierunki wektorów prędkości

v i przyśpieszenia a w funkcji przebytej

drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie przyjmijmy w punk-
cie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s, n, b o kierunkach
odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do krzywej
w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu współ-
rzędnych będą określone odpowiednio wersorami

e

s

,

e

n

i

e

b

. Tak zdefiniowane

wersory

e

s

,

e

n

i

e

b

wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L prawoskrętny układ

współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym.

z

y

x

r(l)

M

O

s

b

e

s

e

n

e

b

L

n

Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych

Wykażemy, że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l mie-
rzonej wzdłuż toru:

( )

r r

= l , (5.14)

to wersory te są opisane wzorami:

e

r

e

r

e

e

e

s

s

n

b

d

dl

d

dl

=

=

=

,

,

ρ

2

2

n

×

,

(5.15)

gdzie

ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M.

W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie ściśle stycznej sn
widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy
punkt M i drugi M

′ tak, aby długość ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była niewiel-

ka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego

∆r i przyrostu

drogi

∆l

95

lim

,

∆

∆

∆

→

=

0

r

r

l

d

dl

to otrzymamy pochodną wektora wodzącego r względem drogi l. Moduł tej po-
chodnej jest równy jedności, ponieważ gdy

∆l będzie dążyć do zera, to długość

cięciwy MM

′ = ∆r będzie dążyć do długości łuku ∆l:

lim

l 0

∆

∆

∆

→

=

=

r

r

l

d

dl

1 .

Zatem pochodna wyrażona wzorem:

e

r

s

=

d

dl

jest równa wersorowi stycznej e

s

do toru w punkcie M.

r(l+

∆l)

O

M

M

N

∆e

s

e

s

s

e

s

∆r

r(l)

n

n

′

e

n

ρ

L

′

e

s

Rys. 5.5. Ruch punktu w płaszczyźnie ściśle stycznej

Aby

udowodnić słuszność wzoru na wersor normalnej e

n

w punkcie M, wykre-

ślamy styczną s oraz jej wersor e

s

i normalną n, a w punkcie M

′ wersor stycznej

i normalną n

′. Punkt przecięcia osi n′ i n oznaczymy przez N. Widzimy, że wersor

e

′

e

s

s

podczas przemieszczania się z punktu M do M

′ doznał przyrostu ∆e

s

. Jeżeli zbu-

dujemy wektor będący ilorazem przyrostu

∆e

s

i długości łuku

∆l i wyznaczymy

granicę tej wielkości przy

∆l dążącym do zera, to otrzymamy drugą pochodną wek-

tora wodzącego r względem drogi l:

lim

l 0

∆

∆

∆

→

=

=

e

e

s

s

l

d

dl

d

dl

2

2

r

. (a)

96

Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli
punkt M

′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆e

s

i wersorem

e

s

będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że

iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności:

e e

s

s

⋅ = 1.

Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy:

e

e

s

s

d

dt

⋅

= 0 lub e

e

s

s

⋅

=

d

dl

dl
dt

0 ,

a po podzieleniu przez dl/dt

e

e

e

r

s

s

s

⋅

= ⋅

=

d

dl

d

dl

2

2

0 .

Z

powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi

jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s.
Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r wzglę-
dem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów

∆r trójkąt

e

s

∆e

s

i trójkąt N M M

′ są podobne. Możemy zatem napisać:

′

e

s

∆

∆

e

r

e

s

s

=

MN

.

Wiadomo także, że gdy

∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆r będzie

dążyć do długości łuku

∆l, czyli ⏐∆r⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem

w postaci:

∆

∆

e

e

s

s

l

MN

=

,

a po obliczeniu granicy tej równości mamy:

lim

l 0

∆

∆

∆

→

=

=

=

=

=

e

e

r

e

s

s

s

l

d

dl

d

dl

MN

MN

2

2

1

1

ρ

,

ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica:

lim

M

M

′→

′ =

M N

ρ

jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła ściśle stycznego w rozpatrywa-
nym punkcie.

97

Ostatecznie

moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l

jest równy odwrotności promienia krzywizny, nazywanej krzywizną
w rozważanym punkcie:

d

dl

2

2

1

r =

ρ

. (5.16)

Wersor osi normalnej e

n

otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku

normalnej przez jego moduł (5.16):

e

r

r

r

r

n

d

dl

d

dl

d

dl

d

dl

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2

1

ρ

ρ

.

Dla wyprowadzenia wzorów na prędkość v i przyśpieszenie a punktu M przed-
stawimy wektor wodzący r(t) w postaci funkcji złożonej: r(t) = r[l(t)].
Z definicji prędkości i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej
mamy:

v

r

r

=

=

d

dt

d

dl

dl
dt

.

W powyższym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem e

s

osi stycz-

nej s, a druga modułem prędkości równym pochodnej drogi względem czasu:

v

dl
dt

=

. (5.17)

Zatem prędkość przedstawia wzór:

v

e

= v

s

. (5.18)

Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie, że prędkość punktu jest styczna do toru.
Przyśpieszenie obliczymy, licząc pochodną prędkości względem czasu. Korzy-
stając ze wzoru na pochodną iloczynu, otrzymamy:

2

2

2

dl

d

v

dt

dv

dt

dl

dl

d

v

dt

dv

dt

d

v

dt

dv

r

e

e

e

e

e

a

s

s

s

s

s

+

=

+

=

+

=

.

Po podstawieniu do tego wzoru zależności na wersor normalnej:

d

dl

2

2

r

e

n

=

ρ

98

otrzymujemy wzór na przyśpieszenie punktu M w naturalnym układzie współrzęd-
nych:

a

e

s

=

+

dv

dt

v

2

ρ

e

n

n

(5.19)

lub

a a

a

s

= +

. (5.20)

Z otrzymanego wzoru wynika, że przyśpieszenie w rozważanym układzie
współrzędnych s, n, b ma dwie składowe: styczną a

s

i normalną a

n

(skierowaną do

środka krzywizny) i leży w płaszczyźnie ściśle stycznej sn. Moduły tych składo-
wych są następujące:

a

dv

dt

a

v

s

n

=

=

,

2

ρ

, (5.21)

a wartość przyśpieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru:

a

a

a

s

=

+

2

n

2

t

. (22)

Ze wzorów (5.21) widać, że przyśpieszenie styczne a

s

jest miarą zmiany pręd-

kości i jest równe zeru, gdy moduł prędkości będzie stały, z kolei przyśpieszenie
normalne a

n

jest miarą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przyśpieszenie

normalne jest równe zeru.
W ruchu punktu po krzywej płaskiej znane są kierunki składowych przyśpie-
szenia albo ich wyznaczenie nie nastręcza większych trudności, ponieważ wektory
obu składowych przyśpieszenia będą leżały w płaszczyźnie ruchu. W przypadku
ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych składowych przyśpie-
szenia mogą się pojawić trudności natury matematycznej.

Przykład 5.1. Punkt porusza się w płaszczyźnie xy zgodnie z równaniami ru-
chu:

x

t

= −

+

−

4

1

3

2

, y =

.

Wyznaczyć równanie toru, prędkość, przyśpieszenie styczne normalne i całkowite
oraz promień krzywizny dla czasu t

1

= 0,5 s. Przyjąć wymiary w metrach, a czas

w sekundach.

Rozwiązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu należy z równań ruchu
wyeliminować parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu
i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:

99

(

)

y

x

2

9
4

1

= −

− .

Równanie to przedstawia parabolę.
Współrzędne prędkości punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduł ze
wzoru (5.8).

v

dx

dt

t

dy

dt

x

=

= −

=

= −

8

3

, v

y

,

( )

s

m

5

25

9

2

1

64

t

v

a

,

9

t

64

v

v

v

2

1

2

2
y

2
x

/

=

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+

=

+

=

.

Współrzędne przyśpieszenia i jego wartość wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):

a

dv

dt

dv

dt

x

x

y

=

= −

=

=

8

0

, a

y

,

a

a

a

m s

x

y

=

+

=

+ =

2

2

64 0

8

/

2

.

Przyśpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):

a

dv

dt

t

t

t

t

s

=

=

⋅

+

=

+

2 64

2 64

9

64

64

9

2

2

,

( )

a t

m s

s

1

2

2

64

1
2

64

1
2

9

32

25

6 4

=

⋅

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

+

=

= ,

/

.

W celu wyznaczenia przyśpieszenia normalnego przekształcimy wzór (5.22) do
postaci:

a

a

a

n

s

=

−

2

2

.

Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyżej wartości liczbowych otrzyma-
my przyśpieszenie normalne w chwili :

t

1

( )

( )

a t

m s

n

1

2

2

2

8

6 4

4 8

=

−

=

,

,

/

.

Promień krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):

m

,2

5

8

,

4

5

a

v

ρ

2

n

2

=

=

=

.

100

Przykład 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w prostokąt-
nym układzie współrzędnych:

x

t

t

t

= − −

−

−

2 3

6

3

2

3

2

2

, y = 3

t

,

gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyć równanie toru,
promień krzywizny, prędkość, przyśpieszenie styczne, normalne i całkowite. Tor
oraz składowe prędkości i przyśpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawić
na rysunku.

Rozwiązanie. Jeżeli drugie równanie ruchu pomnożymy stronami przez

−

i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:

2

y

x

=

+

1
2

2 .

x

0

y

x

v

0

a

v

0x

v

0y

a

y

a

x

B

A

O

M

y

0

Rys. 5.6. Prędkość i przyśpieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na płasz-

czyźnie

Jest to równanie prostej, która odcina na osi odciętych odcinek OA = 4 m i na osi
rzędnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Położenie punktu M na prostej (torze) dla
chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równań ruchu: x

0

2

= , y = 3

0

. Ponieważ

promień krzywizny jest równy nieskończoności (

∞

=

ρ

), przyśpieszenie normalne

jest równe zeru:

a

v

n

=

=

2

0

ρ

.

Współrzędne prostokątne prędkości i przyśpieszeń oraz ich moduły obliczymy tak
jak w poprzednim przykładzie.

Prędkość:

101

(

)

(

)

v

dx

dt

t

dy

dt

t

x

=

= −

+

=

= −

+

3 1 4

3

2

1 4

, v

y

, (a)

(

)

(

)

(

4t

+

1

5

2

3

=

t

4

1

4

1

t

4

1

3

v

v

v

2

2

2
y

2
x

+

+

+

=

+

=

)

. (b)

Przyśpieszenie:

a

dv

dt

dv

dt

x

x

y

=

= −

=

= −

12

6

, a

y

,

a

a

a

m s

x

y

=

+

=

+

=

2

2

2

2

12

6

6 5

/

2

.

Przyśpieszenie styczne:

a

a

dv

dt

m s

s

= =

=

⋅ =

3

2

5 4 6 5

2

/

.

Z otrzymanych wyników widzimy, że punkt M porusza się po prostej ze stałym

przyśpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.
Prędkości w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i
(b) t = 0.

v

m

x

y

0

0

3

3

2

3

2

5

= −

= −

=

, v

, v

0

/ s

.

Przykład 5.3. Trzpień AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimośrodu w kształcie
tarczy kołowej o promieniu r tak, że cały czas pozostaje z nim w kontakcie. Oś
obrotu mimośrodu przechodzi przez punkt O oddalony od środka tarczy C o OC =
e. Mimośród obraca się wokół osi obrotu ze stałą prędkością kątową

.

Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie trzpienia dla czasu t

ω π

=

−

s

1

1

= 0,5 s, jeżeli oś

trzpienia pokrywa się z osią x tak jak na rysunku.

Rozwiązanie. Dla obliczenia prędkości i przyśpieszenia trzpienia musimy uło-
żyć jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b możemy
napisać:

(

)

x

OA OD DA e

CD

e

r

e

e

r

e

A

=

=

+

=

−

=

=

+

−

=

+

−

cos + r

cos

sin

cos

sin

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

2

2

2

ϕ

.

102

y

O

A

C

B

r

x

y

O

A

C

B

r

x

D

e

ϕ

a)

b)

Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB

Po podstawieniu do tej zależności, zgodnie z treścią zadania,

t

t

π

=

ω

=

ϕ

otrzy-

mamy równanie ruchu punktu A:

x

e

r

e

A

=

+

−

cos t

sin

2

π

2

2

t

π . (a)

Prędkość punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania względem
czasu:

=

π

−

π

π

π

−

π

π

−

=

=

t

sin

e

r

2

t

cos

t

sin

e

+

t

sin

e

dt

dx

v

2

2

2

2

A

A

( )

.

t

sin

e

r

t

2

sin

4

e

t

sin

e

2

2

2

2

π

−

π

π

−

π

π

−

=

(b)

Po zróżniczkowaniu powyższego wzoru względem czasu i uporządkowaniu wyra-
zów otrzymamy przyśpieszenie:

( )

(

)

( )

(

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

π

−

π

−

π

π

+

π

−

π

π

π

π

−

=

t

sin

e

r

t

sin

e

r

t

2

sin

4

e

t

sin

e

r

t

2

cos

2

4

e

+

t

cos

e

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A

. (c)

Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t

1

= 0,5 s otrzymamy wartość prędkości

i przyśpieszenia dla tego czasu:

( )

( )

2

2

2

2

1

A

1

A

e

r

2

e

t

a

,

e

t

v

−

π

=

π

−

=

.