KINEMATYKA PUNKTU

Poło

ż

enie punktu w przestrzeni okre

ś

lamy przez podanie jego współrz

ę

dnych. Ruch

punktu, to zmiana poło

ż

enia punktu odniesiona (podzielona) do czasu.

Pr

ę

dko

ść

punktu mówi jak szybko zmienia si

ę

poło

ż

enie punktu.

Przyspieszenie punktu mówi jak szybko zmienia si

ę

pr

ę

dko

ść

punktu.

Pr

ę

dko

ś

ci

ą

ś

redni

ą

nazywamy wektor:

sr

s

v

t

=

△

△

0

s

s

s

= −

△

0

t

t

t

= −

△

Przyspieszeniem

ś

rednim nazywamy wektor:

sr

v

a

t

=

△

△

0

v

v

v

= −

△

0

t

t

t

= −

△

0

t

– chwila pocz

ą

tkowa

0

0

t

=

t

– ko

ń

cowa chwila czasu

t

△

– przyrost czasu – przedział czasu

0

s

– współrz

ę

dna punktu w chwili

0

0

t

=

, poło

ż

enie pocz

ą

tkowe

s

– współrz

ę

dna punktu w chwili

t

s

△

– przyrost współrz

ę

dnej drogowej – przyrost drogi

v

– pr

ę

dko

ść

punktu

a

– przyspieszenie punktu

Ruch jednostajny punktu – je

ż

eli pr

ę

dko

ść

punktu jest stała

0

0

0

s

s

s

s

s

v

const

t

t

t

t

−

−

=

=

=

=

−

△

△

0

s

s

vt

= +

–

równanie ruchu jednostajnego

Ruch jednostajnie zmienny punktu – je

ż

eli przyspieszenie punktu jest stałe

0

0

0

v v

v v

v

a

const

t

t

t

t

−

−

=

=

=

=

−

△

△

– równanie pr

ę

dko

ś

ci w ruchu jednostajnie zmiennym

– równanie ruchu jednostajnie zmiennego

0

s

,

0

v

,

a

– to wielko

ś

ci, które mog

ą

by

ć

dodatnie b

ą

d

ź

ujemne

0

2

0

0

1

2

v

v

at

s

s

v t

at

= +







= +

+



Ruch punktu po okr

ę

gu – mo

ż

e by

ć

jednostajny lub jednostajnie zmienny

v

– pr

ę

dko

ść

punktu jest zawsze styczna do toru

2

n

v

a

r

=

– przyspieszenie normalne, zawsze skierowane

do

ś

rodka krzywizny toru

a

τ

– przyspieszenie styczne – zawsze styczne do toru

n

a

a

τ

⊥

– zawsze

s

r

ϕ

=

,

v

r

ω

=

,

a

r

τ

ε

=

,

2

n

a

r

ω

=

ω

– pr

ę

dko

ść

k

ą

towa promienia

r

ε

– przyspieszenie k

ą

towe promienia

r

ϕ

– k

ą

t obrotu promienia

r

0

t

ϕ ϕ ω

=

+

– ruch jednostajny promienia

r

– pr

ę

dko

ść

k

ą

towa promienia

r

w ruchu jednostajnie zmiennym

– równanie ruchu jednostajnie zmiennego promienia

r

Rzut pionowy punktu

2

0

1

2

y

v t

g t

=

−

– równanie ruchu

0

v

v

g t

= −

– równanie pr

ę

dko

ś

ci

2

10

m

g

s

≈

– przyspieszenie ziemskie

Rzut poziomy

0

2

1

2

x

v t

y

H

g t

=







= −



równania ruchu

0

x

y

v

v

v

g t

=





= −



równania pr

ę

dko

ś

ci

L

– zasi

ę

g rzutu

0

2

0

0

1

2

t

t

t

ω ω ε

ϕ ϕ ω

ε

=

+







=

+

+



Rzut uko

ś

ny

0

2

0

cos

1

sin

2

x

v

t

y

v

t

g t

α

α

=







=

−



równania ruchu

0

0

cos

sin

x

y

v

v

v

v

g t

α

α

=





=

−



równania pr

ę

dko

ś

ci

H

– maksymalna wysoko

ść

rzutu

L

– zasi

ę

g rzutu

Zadania

1. Dwa pojazdy poruszaj

ą

si

ę

wzdłu

ż

tej samej drogi. Pojazd A z pr

ę

dko

ś

ci

ą

1

50

v

km h

=

, pojazd B z pr

ę

dko

ś

ci

ą

2

30

v

km h

=

. Przy drodze znajduj

ą

si

ę

dwie

miejscowo

ś

ci M

1

i M

2

odległe od siebie o 100 km. Wyznacz odległo

ść

mi

ę

dzy

pojazdami:
a) je

ś

li wyruszyły z miejscowo

ś

ci M

1

w tej samej chwili i poruszaj

ą

si

ę

w tym

samym kierunku;

b) je

ś

li wyruszyły z miejscowo

ś

ci M

1

w tej samej chwili i poruszaj

ą

si

ę

w przeciwnych kierunkach.

Pojazd A wyruszył z M

1

w kierunku M

2

, pojazd B z M

2

w tej samej chwili

i poruszaj

ą

si

ę

w tym samym kierunku. Wyznacz gdzie i kiedy si

ę

spotkaj

ą

.

2. Pojazd A wyruszył z miejscowo

ś

ci M

1

w kierunku M

2

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

1

70

v

km h

=

a pojazd B z miejscowo

ś

ci M

2

w kierunku M

1

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

2

50

v

km h

=

.

Odległo

ść

mi

ę

dzy miejscowo

ś

ciami wynosi 240 km. Gdzie i kiedy spotkaj

ą

si

ę

pojazdy?

3. Zaznacz na rysunku poło

ż

enie i wektor pr

ę

dko

ś

ci punktu w chwilach

0

0

t

=

,

1

1

t

s

=

,

2

2

t

s

=

je

ż

eli:

a)

2

3 [ ]

s

t m

= +

b)

2

3 [ ]

s

t m

= − +

c)

2

3 [ ]

s

t m

= −

d)

2

3 [ ]

s

t m

= − −

4. Poci

ą

g o długo

ś

ci

120

l

m

=

porusza si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

1

50

v

km h

=

. Jak długo

b

ę

dzie mijał człowieka:

a) stoj

ą

cego przy torze;

b) poruszaj

ą

cego si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

2

10

v

km h

=

w stron

ę

przeciwn

ą

do pr

ę

dko

ś

ci

poci

ą

gu.

5. Pojazd przejechał pewien odcinek

drogi w ci

ą

gu

50 min

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

jak

na wykresie. Ustal jego pr

ę

dko

ść

ś

redni

ą

.

6. Ci

ęż

ki pojazd wyruszył z miejsca postoju z pr

ę

dko

ś

ci

ą

27 km h

, a

3 min .

pó

ź

niej

wyjechał za nim goniec na motocyklu by dostarczy

ć

informacj

ę

. Obliczy

ć

po jakim

czasie i w jakiej odległo

ś

ci od miejsca postoju goniec dogoni pojazd, je

ż

eli

pr

ę

dko

ść

motocyklisty wynosiła

72 km h

.

7. Łód

ź

płyn

ą

c w gór

ę

rzeki (pod pr

ą

d) z jednej miejscowo

ś

ci do drugiej odległych

o

30km

pokonuje t

ą

odległo

ść

w czasie

45 min

, a płyn

ą

c w dół rzeki (z pr

ą

dem) –

w czasie

30 min

. Obliczy

ć

pr

ę

dko

ść

łodzi wzgl

ę

dem wody oraz pr

ę

dko

ść

nurtu

rzeki.

8. Prom przepływa w poprzek rzeki z przystani A do B le

żą

cych na jednej linii

prostopadłej do nurtu rzeki. Pr

ę

dko

ść

nurtu rzeki

2

r

v

km h

=

, pr

ę

dko

ść

promu

wzgl

ę

dem wody

4

p

v

km h

=

. Pod jakim k

ą

tem do linii brzegu ma płyn

ąć

prom by

trafił do przeciwległej przystani, je

ż

eli szeroko

ść

rzeki

100 3

d

m

=

.

9. Pojazd ruszył z miejsca i ruchem jednostajnie przyspieszonym przebył drog

ę

200

s

m

=

, osi

ą

gaj

ą

c pr

ę

dko

ść

ko

ń

cow

ą

10

v

m s

=

. Oblicz przyspieszenie

pojazdu oraz czas w jakim to si

ę

zdarzyło.

10. Pojazd jad

ą

cy z pr

ę

dko

ś

ci

ą

0

30

v

m s

=

zahamował w czasie

15

t

s

=

. Oblicz

drog

ę

hamowania.

11. Punkt porusza si

ę

ze stanu spoczynku z przyspieszeniem

2

4

a

m s

=

. Oblicz jak

ą

b

ę

dzie miał

ś

redni

ą

pr

ę

dko

ść

w ci

ą

gu pierwszych 5 sekund od

0

t

do

1

t

i w ci

ą

gu

kolejnych 5 sekund od

1

t

do

2

t

.

0

0

t

=

,

1

5

t

s

=

,

2

10

t

s

=

12. Z balonu na wysoko

ś

ci

500

H

m

=

odczepiono worek z piaskiem, który spada

swobodnie.

a) jak długo b

ę

dzie spadał worek.

b) z jak

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

zetknie si

ę

z ziemi

ą

.

c) jak

ą

pr

ę

dko

ść

b

ę

dzie miał w połowie wysoko

ś

ci.

d) okre

ś

l jego poło

ż

enie i pr

ę

dko

ść

w chwili

1

5

t

s

=

.

13. Kamie

ń

został wyrzucony w gór

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

0

20

v

m s

=

. Oblicz wysoko

ść

na

jak

ą

si

ę

wzniesie oraz czas wznoszenia. Jak długo kamie

ń

b

ę

dzie spadał z tej

wysoko

ś

ci i jak

ą

b

ę

dzie miał pr

ę

dko

ść

w chwili upadku?

14. Rozwi

ąż

zadanie Galileusza: z punktu A le

żą

cego na

obwodzie koła o

ś

rednicy

d

w płaszczy

ź

nie pionowej

poprowadzono ci

ę

ciwy. Traktuj

ą

c ka

ż

d

ą

z nich jako

równi

ę

oblicz ile czasu b

ę

dzie si

ę

zsuwa

ć

z punktu A bez

tarcia ciało zanim osi

ą

gnie obwód koła.

15. W

chwili,

gdy

autobus

jad

ą

cy

ruchem

jednostajnym

z

pr

ę

dko

ś

ci

ą

1

20

v

m s

=

przeje

ż

d

ż

ał obok stoj

ą

cego samochodu, ten ruszył z przyspieszeniem

2

2

a

m s

=

w pogoni za autobusem. Kiedy, gdzie i z jak

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

samochód

dogoni autobus?

16. Jakie przyspieszenie normalne ma samochód poruszaj

ą

cy si

ę

na zakr

ę

cie

o promieniu krzywizny

200

r

m

=

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

0

10

v

m s

=

?

17. Karuzela wykonuje w ci

ą

gu minuty

30

n

=

obrotów. Oblicz jak

ą

pr

ę

dko

ść

liniow

ą

i przyspieszenie normalne ma człowiek, który siedzi na karuzeli. Promie

ń

toru, po

którym porusza si

ę

człowiek wynosi

4

r

m

=

.

18. Wagon został wepchni

ę

ty na pochylni

ę

o nachyleniu 3% z pr

ę

dko

ś

ci

ą

0

18

v

km h

=

. Obliczy

ć

drog

ę

, jak

ą

przeb

ę

dzie wagon do chwili zatrzymania.

19. Pocisk wystrzelono poziomo z pr

ę

dko

ś

ci

ą

0

2 10

v

m s

=

z wysoko

ś

ci

100

H

m

=

.

Wyznaczy

ć

czas, po jakim pocisk spadnie na ziemi

ę

oraz k

ą

t nachylenia wektora

pr

ę

dko

ś

ci do pionu w chwili zetkni

ę

cia pocisku z ziemi

ą

.

20. Pod jakim k

ą

tem do poziomu trzeba rzuci

ć

ciało aby zasi

ę

g rzutu równał si

ę

najwi

ę

kszej wysoko

ś

ci na jak

ą

si

ę

wzniesie?

21. Pocisk wystrzelono pod k

ą

tem

60

α

=

do poziomu z pr

ę

dko

ś

ci

ą

400 m s

.

Wyznacz maksymaln

ą

wysoko

ść

na jak

ą

wzniesie si

ę

pocisk, czas do chwili

upadku, zasi

ę

g rzutu, pr

ę

dko

ść

z jak

ą

pocisk uderzy w ziemi

ę

.