otrzymujemy wzór na przyĞpieszenie punktu M w naturalnym ukáadzie wspóárzĊdnych:
dv
v2
a
e
e
(5.19)
s
dt
U n
lub
a a a .
(5.20)
s
n
Z otrzymanego wzoru wynika, Īe przyĞpieszenie w rozwaĪanym ukáadzie wspóárzĊdnych s, n, b ma dwie skáadowe: styczną as i normalną an (skierowaną do Ğrodka krzywizny) i leĪy w páaszczyĨnie ĞciĞle stycznej sn. Moduáy tych skáadowych są nastĊpujące:
dv
v2
a
,
a
,
(5.21)
s
dt
n
U
a wartoĞü przyĞpieszenia caákowitego obliczymy ze wzoru: a
a2 a2 .
(22)
s
n
Ze wzorów (5.21) widaü, Īe przyĞpieszenie styczne as jest miarą zmiany prĊd-koĞci i jest równe zeru, gdy moduá prĊdkoĞci bĊdzie staáy, z kolei przyĞpieszenie normalne an jest miarą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przyĞpieszenie normalne jest równe zeru.
W ruchu punktu po krzywej páaskiej znane są kierunki skáadowych przyĞpieszenia albo ich wyznaczenie nie nastrĊcza wiĊkszych trudnoĞci, poniewaĪ wektory obu skáadowych przyĞpieszenia bĊdą leĪaáy w páaszczyĨnie ruchu. W przypadku ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych skáadowych przyĞpieszenia mogą siĊ pojawiü trudnoĞci natury matematycznej.
Przykáad 5.1. Punkt porusza siĊ w páaszczyĨnie xy zgodnie z równaniami ruchu:
x 4t2 1,
y = t
3 .
Wyznaczyü równanie toru, prĊdkoĞü, przyĞpieszenie styczne normalne i caákowite oraz promieĔ krzywizny dla czasu t1 = 0,5 s. Przyjąü wymiary w metrach, a czas w sekundach.
Rozwiązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu naleĪy z równaĔ ruchu wyeliminowaü parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:
y2
9
x
1 .
4
Równanie to przedstawia parabolĊ.
WspóárzĊdne prĊdkoĞci punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduá ze wzoru (5.8).
dx
dy
v
8t, v
3 ,
x
dt
y
dt
2
§ ·
v
v2 v2
64t 2 9 a
, v
¨ ¸
/ .
x
y
t1
1
64
9
25
m
5
s
© 2 ¹
WspóárzĊdne przyĞpieszenia i jego wartoĞü wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13): dv
dv
a
x
y
8, a
0,
x
dt
y
dt
a
a2 a2
64 0 8 m / s2 .
x
y
PrzyĞpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21): dv
2 64t
64t
a
,
s
dt
2 64t2 9
64t2 9
1
64
32
a t
2
6, 4 m / s2 .
s
1
2
§ 1
25
·
64
9
©¨ 2¹¸
W celu wyznaczenia przyĞpieszenia normalnego przeksztaácimy wzór (5.22) do postaci:
a a 2 a 2 .
n
s
Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyĪej wartoĞci liczbowych otrzymamy przyĞpieszenie normalne w chwili t : 1
2
a t
2
, , m / s2
8
6 4
4 8
.
n
1
PromieĔ krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21): v2
52
ȡ
m
,2
5
.
a
8
,
4
n
Przykáad 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w prostokąt-nym ukáadzie wspóárzĊdnych:
2
3
x 2 t
3 6t
t 3 2
,
y = 3
t ,
2
gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyü równanie toru, promieĔ krzywizny, prĊdkoĞü, przyĞpieszenie styczne, normalne i caákowite. Tor oraz skáadowe prĊdkoĞci i przyĞpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawiü na rysunku.
Rozwiązanie. JeĪeli drugie równanie ruchu pomnoĪymy stronami przez 2
i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci: 1
y
x 2 .
2
y
x0
a
v
x
0x
M
v0
v
a
B
0y
y0
ay
A
O
x
Rys. 5.6. PrĊdkoĞü i przyĞpieszenie punktu we wspóárzĊdnych prostokątnych na páaszczyĨnie
Jest to równanie prostej, która odcina na osi odciĊtych odcinek OA = 4 m i na osi rzĊdnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). PoáoĪenie punktu M na prostej (torze) dla chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równaĔ ruchu: x 2, y = 3 . PoniewaĪ
0
0
promieĔ krzywizny jest równy nieskoĔczonoĞci ( U f ), przyĞpieszenie normalne jest równe zeru:
v2
a
0 .
n
U
WspóárzĊdne prostokątne prĊdkoĞci i przyĞpieszeĔ oraz ich moduáy obliczymy tak jak w poprzednim przykáadzie.
PrĊdkoĞü:
dx
dy
3
v
3 1 4t, v
,
(a)
y
1 4t
x
dt
dt
2
v
v2 v2 3
. (b)
x
y
1 4 2 1
t
1 4t2 3
=
51 + 4t
4
2
PrzyĞpieszenie:
dv
dv
a
x
y
12, a
6 ,
x
dt
y
dt
a
a2 a2
2 2
12
6 6 5 m / s2 .
x
y
PrzyĞpieszenie styczne:
dv
3
a a
5 4 6 5 m s2
/
.
s
dt
2
Z otrzymanych wyników widzimy, Īe punkt M porusza siĊ po prostej ze staáym przyĞpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.
PrĊdkoĞci w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i (b) t = 0.
3
3
v
3, v , v
5 m / s .
0x
0y
2
0
2
Przykáad 5.3. TrzpieĔ AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimoĞrodu w ksztaácie tarczy koáowej o promieniu r tak, Īe caáy czas pozostaje z nim w kontakcie. OĞ
obrotu mimoĞrodu przechodzi przez punkt O oddalony od Ğrodka tarczy C o OC =
e. MimoĞród obraca siĊ wokóá osi obrotu ze staáą prĊdkoĞcią kątową Z S s 1 .
Wyznaczyü prĊdkoĞü i przyĞpieszenie trzpienia dla czasu t1 = 0,5 s, jeĪeli oĞ
trzpienia pokrywa siĊ z osią x tak jak na rysunku.
Rozwiązanie. Dla obliczenia prĊdkoĞci i przyĞpieszenia trzpienia musimy uáo-
Īyü jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b moĪemy napisaü:
x OA OD DA e cosM + r2 CD2
A
.
2
e cosM r2 e sinM e cosM r2 e2 sin2M
a)
b)
y
y
r
C
C
e
r
O
O
M
A
B
x
D
A
B
x
Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB
Po podstawieniu do tej zaleĪnoĞci, zgodnie z treĞcią zadania, M Zt t S otrzymamy równanie ruchu punktu A:
x
e cos t r e sin2
S
2
2
t
S .
(a)
A
PrĊdkoĞü punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania wzglĊdem czasu:
dx
e2SsinSt
S
v
A S
e sinS
cos t
t +
A
dt
2 r 2 e2sin 2St
e2S
sin2 t
S
e sin
S
t
S
.
(b)
4
r 2 e2sin 2 t
S
Po zróĪniczkowaniu powyĪszego wzoru wzglĊdem czasu i uporządkowaniu wyra-zów otrzymamy przyĞpieszenie:
ª
2Scos2Str 2 e2sin 2St
2 S
e
sin 2 2Stº
«
e
»
a
S
e
.
(c)
A
«
S
4
cos t +
«
4
r2 e2sin2St
»
r 2 e2sin 2St
»
«¬
»¼
Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t1 = 0,5 s otrzymamy wartoĞü prĊdkoĞci i przyĞpieszenia dla tego czasu:
e S
v
t
eS a
,
t
.
A 1
A 1
2
2
2
2
2 r e