ILOCZYN WEKTOROWY, MIESZANY

1 . Czy wektory

]

2

,

2

,

1

,

1

[

a



,

]

0

,

1

,

0

,

2

[

b



,

]

10

,

0

,

5

,

3

[

c



,

]

2

,

1

,

1

,

0

[

d



są liniowo

niezależne?

2. Dane są wektory

]

0

,

1

,

1

[

a



,

]

1

,

0

,

1

[

b



,

]

1

,

1

,

0

[

c



.

(a) Czy te wektory są liniowo niezależne?

(b) Wyrazić wektor

]

1

,

3

,

1

[

u



jako kombinację liniową powyższych wektorów.

3. Dane są wektory

]

3

,

2

,

1

[

a



,

]

2

,

3

,

1

[

b



,

]

12

,

2

[

c



,

]

6

,

2

,

5

[

d



. Znaleźć liczby

R

m

l

k ,

,

, takie, by wektory

a

k



, b

l



,

c

m



, d



tworzyły łamaną zamkniętą.

4. Niech

]

4

,

1

,

3

[

a



,

]

2

,

3

,

2

[

b



,

]

2

,

5

,

1

[

c



(a) Obliczyć iloczyny wektorowe



 

 



a b b c a c

,

,

.

(b) Czy wektory

c

b

a







,

,

leżą na jednej płaszczyźnie?

(c) Obliczyć pole równoległoboku wyznaczonego przez wektory b



i

c



.

5. Dane są punkty

)

3

,

2

,

1

(

A

,

)

,

1

,

1

(

a

B

,

)

1

,

,

1

(

a

C

,

)

4

,

2

,

2

(

D

. Dla jakiej wartości

a

wektory AB

, AC

, AD tworzą wspólną płaszczyznę

6. Dane są punkty

)

2

,

1

,

4

(

A

,

)

1

,

0

,

6

(

B

,

)

2

,

3

,

2

(

C

. Obliczyć pole i obwód trójkąta

ABC

.

7. Dane są punkty

)

2

,

2

,

1

(

1

A

,

)

4

,

1

,

2

(

2

A

,

)

1

,

1

,

3

(

3

A

.

(a) Sprawdzić, czy punkty te wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę.

(b) Znaleźć wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez punkty

3

2

1

,

,

A

A

A

.

(c) Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach

3

2

1

,

,

A

A

A

.

(d) Obliczyć wysokość spuszczoną z wierzchołka

2

A .

8. Dane są punkty

)

1

,

1

,

1

(

A

,

)

5

,

0

,

1

(

B

,

)

1

,

6

,

1

(

C

,

)

2

,

1

,

2

(

D

. Obliczyć wysokość

równoległościanu rozpiętego na wektorach

AD

,

AC

,

AB

, spuszczoną z wierzchołka D

na płaszczyznę wyznaczoną przez wektory .

Odpowiedzi.

1. nie

2. (a) tak

(b)

c

b

a

u









2

1

2

3

2

5

3

2

k

,

1

l

,

1

m

,

5

det G

4. (a)

]

11

,

2

,

14

[

b

a





,

]

13

,

2

,

16

[

c

b





,

]

14

,

2

,

18

[

c

a





(b) nie

(c) 429

5.

0

6

5

2

a

a

;

2

a

lub

3

a

6. pole

3

, obwód

)

13

2

3

(

2

7. (b)

]

5

,

11

,

7

[

lub

]

5

,

11

,

7

[

(c)

195

2

1

(d)

30

2

1

8.

2

7

10