Algebra opracowanie zagadnien n Nieznany

background image

Iloczyn skalarny:
Funkcja jest iloczyne skalarnym w danej przestrzeni jeżeli spełnione sa następujące warunki:

1)

<x,x> ≥0 , <x,x>=0↔ x=0

2)

<x,y>=<y,x> V x,y є v

3)

<ax+by,z>=a<x,z>+b<y,z>

Norma wektora i jej własności:
Norma wektora vєV dana jest wzsorem ||v||=
Własnośc normy: ||v||=0↔v=0 , ||v||≥0, ||α*v||=||α||*||v||
Tożsamośc równoległoboku:

Dowód

Nierównośc Schwarza :

|<u,v>

|≤||u||*||v||

Dowod:

Własnośc trójkata:

||u+v||≤||u||+||v||

Dowód:

Wektory ortogonalne:
Mówimy że wektory

,

przestrzeni euklidesowej są ortogonalne jeżeli spełniają warunki: <

Twierdzenie pitagorasa dla przestrzeni euklidesowej:

Wektory

Dowód:
Dla dowolnych wektorów

Układy ortogonalne:
Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej nazywamy ortogonalnym wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa wektory z tego
zboru sa ortogonalne. Każdy ortogonalny układ niezerowych wektorów przestrzeni euklidesowej jest liniowo niezależny.
Układ ortogonalny:
Zb

iór wektorów przestrzeni euklidesowej nazywamy układem ortogonalnym gdy jest to układ ortogonalny złożony z

unormowanych wektorów.
Algorytm ortogonalizacji Grama Schmita:
Mamy u1,u2…,un
v1=u1

v2=u2-

v3=u3-

22. WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA W BAZIE:
Mamy zbiory wektorów v

1

, v

2

, … , v

n

oraz wektor u.

ORTONORMALNEJ:
α

1

=<u,v

1

>

α

2

=<u,v

2

>

.
α

n

=<u,v

n

>

ORTOGONALNEJ:
α

1

=

α

2

=

.
α

n

=

23. MACIERZ ORTOGONALNA I JEJ WŁASNOŚCI:
Macierz A jest ortogonalna  A*A

T

=I i A

T

*A=I  A

-1

=A

T

Własności:

A

-1

=A

T

Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną

25. RZUT ORTOGONALNY NA PODPRZESTRZEŃ – TW. O JEDNOZNACZNOŚCI
Niech E

0

będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E oraz niech {

będzie

bazą ortonormalną podprzestrzeni E

0.

Wtedy dla dowolnego wektora

εE . Istnieje jednoznacznie wyznaczony rzut

tego wektora na podprzestrzeń E

0

. Rzut ten jest określony wzorem:

Uwaga: Dla bazy ortogonalnej {

podprzestrzeni E

0

powyższy wzór przyjmuje postać:

27. WZÓR MACIERZY NA RZUT ORTOGONALNY:

*

MACIERZ RZUTU:

*

28. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW I „NAJLEPSZE ROZWIĄZANIE” SPRZECZNEGO UKŁADU
RÓWNAŃ:

30. MACIERZ SYMETRYCZNA I JEJ WARTOŚCI WŁASNE:
Macierz symetryczna

– wtedy, gdy na przekątnej znajdują się dowolne liczby, a pozostałe są względem tej przekątnej

symetryczne: A=

Własności:

Dla macierzy symetrycznych S, T i liczb(skalarów) a, b macierz aS+bT jest symetryczna

Dla dowolnej macierzy A macierze A+

oraz A

są symetryczne

31. ORTOGONALNA DIAGONALIZACJA MACIERZY SYMETRYCZNEJ:
Macierz rzeczywista jest ortogonalnie diagonalizowalna  jest symetryczna.
Macierz A jest ortogonalnie diagonalizowalna, gdy istnieje macierz ortogonalna P oraz macierz diagonalna D, taka że:

35. TW. SYLVESTERA:
Macierz symetryczna

zadaje formę kwadratową:

a)

Dodatnio określona 

b)

Ujemnie określoną

c)

Dodatnio póło kreśloną 

detA=0

d)

Ujemnie póło kreśloną 

detA=0

e)

W pozostałych przypadkach nieokreślon

Tw. Cayleya Hamiltona:
Kazda macierz kwadratowa spelnia swoje rownanie charakterystyczne:

Dowod:
Niech

Oznaczamy B=A-

i macierz dopełnienia B0

Wtedy detB=

Zatem:
B*

Z drugiej strony wyrazy amcierzey B0 sa wielomianami stopnia n-1 od zmiennej

Zatem możemy zapisać:

Stad:
B*(B0)

(A

Możemy porównać współrzędne ostatniego wielomianu z wielomianem wyzej i dostajemy:
AB0=a0I AB1-B0=a1I AB2-

B1=a2I….. A

-

=

Obliczamy:

Odwzorowanie liniowe: def. φ: V W jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy: (a)

,

V

φ(

+

)=φ(

+φ(

) (b)

V α k φ(α

) =αφ(

Twierdzenie o jednoznaczności odwzorowania liniowego. Niech

będzie bazą (uporządkoway układ wektorów) w przestrzeni V,

, wówczas istnieje dokładnie jedno

odwzorowanie liniowe φ:V W takie, że φ(

)=

i=1,2,...,n. Dowód. Weźmy dowolny wektor v V. Wtedy v zapisuje się

jednoznacznie w postaci v=

*

+...+

*

. Zadaje odwzorowanie: φ(v)=

φ(

)+

φ(

. Sprawdzam, że φ jest liniowe oraz

φ(

)=

. Weźmy v=

*

+...+

*

, u=

*

+...+

*

, wtedy: v+u=(

+

)

+...+(

+

)

, φ(v+u)=(

+

)

+...+(

+

)

,

v)+ (u)=

*

+...

*

+

+...+

= (

+

)

+...+(

+

)

. Tw. o postaci jądra i obrazu odwzorowania liniowego: Niech

L:U V będzie przekształceniem liniowym. Wtedy: (1) zbiór KerL(jądro) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni U. (2) Zbiór
ImL(obraz) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V. Dowód: (1) oczywiście KerL V oraz KerL . Niech

,

KerL i

,

R.

Wówczas L(

)=L(

=

. Zatem L(

+

)=

L(

)+

L(

)=

*

+

*

= . To oznacza, że

+

KerL. (2) ImL V oraz

ImL . Niech

,

ImL i

,

R. Wtedy istnieją wektory

,

U takie, że L(

)=

i L(

)=

. Korzystając z liniowości

przekształcenia L otrzymamy: L(

+

)=

L(

)+

L(

)=

+

. Wektor

+

jest obrazem wektora

+

U

w przekształceniu L, czyli:

+

ImL. Twierdzenie o wymiarach jądra i obrazu. (dim-wymiar) Niech V,W będą skooczenie

background image

wymiarowymi przestrzeniami liniowymi oraz niech :V W, będzie przekształceniem liniowym. Wtedy:
dim(Ker )+dim(Im )=dimV. Odwzorowanie liniowe nie podwyższa wymiarów tzn. dim (Im ) dimV. Dowód: Oznaczmy: dimV=n,
dim(Ker )=k (1) Niech 0<k<n. Niech

,...,

będzie bazą Ker V. Uzupełniamy

,...,

,

,

,...,

– baza V.

,...,

/ Ker . Wystarczy pokazad, że wektory (

), (

stanowią bazę Im . Sprawdzam liniową niezależnośd: niech

(

)+...+

(

)=Θ stąd: (

+...+

)= Θ tzn:

+...+

Ker . Stąd:

K

+...+

=

+...+

,

+...+

-...-

= Θ

,...,

są bazą=>

=

=...=

=...=

=0. Sprawdzam, że

(

),..., (m) generują Im . Weźmy w Im tzn: w= (v),gdzie v V, v=

+...+

w= (

+...+

)=

(

)+

(

)+...+

(

)+

(

)+...+

(

) (2) k=0<n =>Ker ={Θ} Zaczynam dowód:

...,

-

baza V,dalej tak samo jak w (1). (3) k=n tzn. Ker =V=> v V (v)=Θ, dim(Im )=0, dim Ker + 0 = dim V. Twierdzenie o zmianie
macierzy przekształcenia przy zmianie baz
. Niech L:U V będzie przekształceniem liniowym oraz neich A będzie macierzą tego
przekształcenia w bazie Bu={

,...,

} przestrzeni U oraz w bazie Bv={

,...,

} przestrzeni V. Wtedy macierz A’ przekształcenia

liniowego L w bazie B’u={

’,...,

’} przestrzeni U oraz w bazie B’v={

’,...,

’} przestrzeni V ma postad: A’=

AP, gdzie P oznacza

macierz przejścia z bazy Bu do bazy B’u, a Q macierz przejścia z bazy Bv do bazy B’v. Uwaga: Jeżeli L jest przekształceniem liniowym
przestrzeni V w siebie, to zależnośd między macierzą A tego przekształcenia w bazie Bu={

,...,

} i macierzą A’ przekształcenia w

bazie B’u={

’,...,

’} ma postad: A’=

AP, gdzie P oznacza macierz przejścia z bazy Bu do bazy B’u. Działania na

przekształceniach. (1) Niech

i

:U->V będą przekształceniami liniowymi. Sumą przekształceo

i

nazywamy przekształcenie

(

+

):U->V określone wzorem (

+

)(

)=

(

)+

(

) dla

U (2) Niech L:U->V będzie przekształceniem liniowym oraz niech

α R. Iloczynem liczby α i przekształcenia L nazywamy przekształcenie (αL):U->V określone wzorem: (αL)(

)=α(L(

)) dla

U. (3)

Niech L:U->V oraz K:V->W będą przekształceniami liniowymi. Złożeniem przekształceo L i K nazywamy przekształcenie (K L):U->W
określone wzorem: (K L)(

)=K(L(

)) dla

U (4) Niech przekształcenie liniowe L:U->V będzie różnowartościowe oraz niech ImL=V.

Przekształceniem odwrotnym do przekształcenia L nazywamy przekształcenie (

):V->U określone wzorem: (

)( )=

 =L(

)

dla

U oraz V

8. Warunki odwracalności odwzorowania liniowego Niech L:U->V będzie
przekształceniem liniowym przestrzeni skooczenie wymiarowych tego samego wymiaru. Ponad to A niech będzie macierzą
przekształcenia L w ustalonych bazach przestrzeni U i V. Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. przekształcenie L jest odwracalne (bijekcją);
2. przekształcenie L jest różnowartościowe (monomorfizm);
3. Ker L={0};
4. Im L=V;
5. rzA=dimV
6. detA≠0
Równoważnośd tych warunków wynika z ciągu implikacji: 1=>2=>3=>4=>5=>6=>1
Dowód:
1=>2Równoważnośd przekształcenia L wynika z def. Odwracalności przekształcenia.
2=>3Załóżmy, że przekształcenie L jest różnowartościowe. Wówczas dla dowolnych dwóch wektorów u

1

, u

2

ϵU z warunku u

1

≠u

2

wynika, że L(u

1

) ≠L(u

2

). Jeżeli zatem u≠0, to L(u) ≠0. Wektor 0 jest zatem jedynym wektorem, którego obraz jest wektorem

zerowym w przestrzeni V. Stąd Ker L={0}.
3=>4 Załóżmy, że Ker L={0}. Ze wzoru dim Ker L + dim Im L=dim U wynika, ze dim Im L= dim U. Ale dim U=dimV, więc dim Im L =dim
V. Zbiór Im L jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V, przy czym wymiary obu przestrzeni są równe. Stąd wynika, że Im L=V. 4=>5
Załóżmy, że Im L=V. Z (*) wynika, że rzA=dim Im L, zatem rzeczywiście rz A= dim V. 5=>6
Załóżmy, że rzA=dimV=n. Macierz A jest macierzą kwadratową stopnia n, więc det A≠0.
6=>1 Załóżmy, że det A≠0. Stąd wynika, że rzA=dimV. Ale rzA=dim Im L, więc Im L= V. Załóżmy teraz, że L(u

1

)=L(u

2

). Wówczas L(u

1

-

u

2

)= L(u

1

)- L(u

2

)=0. Stąd wynika, że AX=0, gdzie X jest kolumnowym wektorem współrzędnych wektora u

1

-u

2

=0, czyli u

1

=u

2

.

Przekształcenie L jest zatem różnowartościowe, jego obrazem jest cała przestrzeo V. To oznacza, ze L jest odwracalne.
9. Związek działao na odwzorowaniach z działaniami na macierzach
1. Niech przekształcenie liniowe L

1

,L

2

:U->V mają w ustalonych bazach przestrzeni U i V odpowiednio macierze przekształceo A

L1

i

A

L2

. Wtedy macierz A

L1+L2

sumy L

1

+L

2

tych przekształceo ma w tych samych bazach przestrzeni U i V postad: A

L1+L2

= A

L1

+ A

L2

2. Niech przekształcenie liniowe L:U->V ma w ustalonych bazach przestrzeni U i V macierz przekształcenia A

L

oraz niech αϵR. Wtedy

macierz A

αL

iloczynu liczby α i przekształcenia L ma w tych samych bazach przestrzeniu U i V postad: A

αL

=αA

L

3. Niech przekształcenia liniowe L: U->V oraz K: V->W mają w ustalonych bazach przestrzeni U, V i W odpowiednio macierze A

L

i A

K

.

Wtedy macierz A

K○L

złożenia K○L tych przekształceo ma w tych samych bazach przestrzeni U,V i W postad: A

K○L

=A

K

*AL.

4. Niech przekształcenie liniowe L: U->V ma przekształcenie odwrotne L

-1

:V->U. Ponadto niech A

L

i A

L

-1

oznaczają odpowiednio

macierze przekształceo L i L

-1

w ustalonych bazach przestrzeni U i V. Wtedy: A

L

-1

=(A

L

)

-1

10. Wartości i wektory własne odwzorowania liniowego i macierzy
Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego L: V->V w bazie B={v

1

,v

2

…,v

n

} przestrzeni liniowej V ( rzeczywistej i zespolonej).

Wówczas:
1. λ jest wartością włąsną przekształcenia L , gdy: det(A- λI)=0
2. wektor v jest wektorem własnym przekształcenia L odpowiadającym wartości własnej λ , gdy jego współrzędne {x

1

,x

2

,….,x

n

} w

bazie B są niezerowym rozwiązaniem układu równao:(A – λI)
11. Twierdzenie o liniowej niezależności wektorów własnych
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym przekształcenia liniowego są liniowo niezależne.
DOWÓD:
Załóżmy nie wprost, że wektory v

1

,v

2

….,v

n

są liniowo zależne. Niech 1≤L≤k oznacza największą liczbę, dla której wektory v

1

,v

2

….,v

n

są liniowo niezależne. Z założenia 1≤L≤k z określenia liczby l wynika, że wektory v

1

,v

2

,…v

L

,v

L+1

są liniowo zależne. Oznacza to

istnienie liczb α

1

2

,…,α

L

L+1

, nie wszystkich równych zeru i takich, że: α

1

v

1

2

v

2

+….+ α

L

v

L

+ α

L+1

v

L+1

=0

Po nałożeniu na obie strony tej równości przekształcenia L i i wykorzystaniu def. Wektora własnego otrzymujemy zależnośd:
L(α

1

v

1

2

v

2

+….+ α

L

v

L

+ α

L+1

v

L+1

)= α

1

L(v

1

)+α

2

L(v

2

)+….+ α

L

L(v

L

)+ α

L+1

L(v

L+1

)= α

1

λ

1

v

1

2

λ

2

v

2

+….+ α

L

λ

L

v

L

+ α

L+1

λ

L+1

v

L+1

=L(0)=0

Z drugiej strony:
λ

L+1

1

v

1

2

v

2

+….+ α

L

v

L

+ α

L+1

v

L+1

)= λ

L+1

*0=0

Zatem:
α

1

1

L+1

)v

1

+ α

2

2

L+1

)v

2

+…+ α

L

L

L+1

)v

L

=(α

1

λ

1

v

1

+ α

2

λ

2

v

2

+…+ α

L

λ

L

v

L

)- (α

1

λ

L+1

v

1

+ α

2

λ

L+1

v

2

+…+ α

L

λ

L+1

v

L

)= -α

L+1

λ

L+1

v

L+1

+ α

L+ 1

λ

L+1

v

L+1

=0

Z liniowej niezależności wektorów v

1

,v

2

….,v

L

wynika, że:

α

1

1

L+1

)=0, α

2

1

L+1

)=0, …., α

L

L

L+1

)=0

Ale wartości własne λ

1

2

,…,λ

k

są parami różne, więc α

1

=0, α

2

=0, …., α

L

=0

Równośd definiująca liczby α

1

2

,…,α

L

L+1

wygląda następująco:

0*v

1

+0*v

2

+…+0*v

L

L+1

v

L+1

= α

L+1

v

L+1

=0

Ale v

L+1

≠0, więc α

L+1

=0. Otrzymaliśmy sprzecznośd z liniową zależnością wektorów v

1

,v

2

,…v

L

,v

L+1

. Stąd wniosek, że wektory v

1

,v

2

,…v

k

są liniowo niezależne.
12. Krotnośd algebraiczna wartości własnej
Krotnością algebraiczną wartości własnej λ nazywamy jej wielokrotnośd, jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego
(oznaczenie K

a

(λ)).

Krotnośd geometryczna wartości własnej
Krotnością geometryczną wartości własnej λ nazywamy dimV

λ

(oznaczenie K

g

(λ))

13. Twierdzenie o warunkach diagonalizowalności macierzy
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia n. Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. macierz A jest diagonalizowalna
2. wektory własne macierzy A tworzą bazę przestrzeni R

n

(C

n

)

3. A=PBP

-1

, gdzie B jest macierzą diagonalną, której główną przekątną tworzą kolejne wartości własne macierzy A, zaś

odpowiadające im wektory własne tworzą kolejne kolumny macierzy P.
14. Wielomian charakterystyczny macierzy
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną). Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian rzeczywisty
( zespolony) określony wzorem: W

A

(λ)=det(A-λI)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Egzamin GPS opracowane zagadnie Nieznany
,fizyka2,opracowanie zagadnien Nieznany (2)
Inzynieria opracowane zagadnien Nieznany
Egzamin GPS opracowane zagadnie Nieznany
Opracowanie zagadnienia trybow Nieznany
NIB opracowane zagadnienia id 3 Nieznany
Opracowanie zagadnien IUDG id 3 Nieznany
Opracowanie zagadnien do egzami Nieznany
Opracowane zagadnienia z PiSP i Nieznany
opracowanie zagadnien edi oprac Nieznany
opracowane zagadnienia mgr id 3 Nieznany
opracowane zagadnienia 2 id 337 Nieznany
opracowane zagadnienia 1 id 337 Nieznany
owi, opracowane zagadnienia pdf Nieznany
opracowane zagadnienia na franc Nieznany
opracowane zagadnienia na egzam Nieznany
Opracowanie zagadnien id 338645 Nieznany
Opracowanie Zagadnień na egzamin Mikroprocki

więcej podobnych podstron